高考数学易错题解题方法(3) 共7套 免费

高考 数学 易错题 解题方法 教案 习题

高考数学易错题解题方法大全（3）(共7套)

一.选择题

【范例1】集合A {3,log2a},B {a,b},若A B {2},则A B （ ） A．{2,3,4} B．{2 ,4} C．{2,3} D．{1，2,3,4} 答案：A

【错解分析】此题主要考查对集合的交集的理解。 【解题指导】 A B {2}, log2a 2,a 4，b 2.

【练习1】已知集合P xx 1 2 ，Q xx a ，则集合P Q 的充要条件是（ ） A．a≤－3 B．a≤1 C．a＞－3 D．a＞1

【范例2】

函数y

的定义域为（ ）

A． xx 2 B． xx 1 C． xx 2 1 D． xx 2或x 1 答案：C

【错解分析】此题容易错选为A，容易漏掉x 1的情况。

【解题指导】求具体函数的定义域时要是式子每个部分都有意义. 【练习2】若函数f(x)的定义域为[a,b]，且b a 0， 则函数g(x) f(x) f( x)的定义域是（ ） A．[a,b] B.[ b, a] C.[ b,b] D.[a, a]

【范例3】如果执行右面的程序框图，那么输出的S （ ）

A．1275 B．2550 C．5050 D．2500

答案:B．

【错解分析】此题容易错选为C，应该认真分析流程图中的信息。 【解题指导】S 2 4 6 100 2550

【练习3】下面是一个算法的程序框图，当输 入的值x为8时，则其输出的结果是（ ） A．0.5 B． 1 C．2 D．4

【范例4】已知集合A {x|x 5}，集合B {x|x a}，若命题“x A”是命题“x B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）

A．a 5 B．a 5 C．a 5 D．a 5 答案

: A

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【错解分析】此题容易错选为B，请注意是充分不必要条件，而不是充要条件。 【解题指导】由题意，画数轴易知A B. 【练习4】已知下列三组条件：

1

（1）A: ，B:sin ；（2）A:x 1，B:x2 (a2 1)x a2 0（a为实常数）；

6

2

（3）A:定义域为R上的函数f(x)满足f(1) f(2)，B:定义域为R的函数f(x)是单调减函数．其中A是B的充分不必要条件的有 （ ） A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）

【范例5】已知i为虚数单位，则复数z 2 3i对应的点位于 （ ）

1 i

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案:C

【错解分析】此题主要考查复数的四则运算，必须熟练掌握。 【解题指导】z

2 3i(2 3i)(1 i) 1 5i15

i 1 i(1 i)(1 i)222

21 i

【练习5】在复平面内，复数 对应的点与原点的距离是（ ）

D. x x 6

2

A. 1

2

1

【范例6】设函数f(x)

2

2x 5x b

2

1

,g(x)

2

，若f(x) g(x)对于任意实数x恒成

立，则实数b的取值范围是（ ）

A．b 12 B．b 12 C．b 15 D．b 15 答案：D

【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是没有注意y ()是单调减函数。

21

x

1 1

【解题指导】由f(x) g(x)即 可得2x2 5x b x2 x 6

2 2

即x2 6x b 6 0恒成立，由 36 4(b 6) 0，解得b 15.

2x 5x b

2

x x 6

2

【练习6】已知f(x) a(a 1),g(x) b(b 1),当f(x1) g(x2) 2时，有x1 x2,则a,b的大小关系是（ ）

A．a b B．a b C．a b D．a b 二.填空题

2

【范例7】已知数列 an 的通项公式是an n 12n 32,其前n项和是Sn,则对任意的n m（其中

xx

m,n N

*

），Sn Sm的最大值是答案：10

【错解分析】此题容易错选认为求最大项。

2

【解题指导】由an n 12n 32 (n 4)(n 8) 0得4 n 8，即在数列 an 中，前三项以及

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从第9项起后的各项均为负且a4 a8 0，因此Sn Sm的最大值是a5 a6 a7 3 4 3 10. 【练习7】已知等差数列 an 的前n项和是Sn，且a1 2008，且存在自然数p 10,使得SP ap，则当n p时，Sn与an的大小关系是【范例8】函数y 2cosxsin(x

32

3

)的最小值是 .

答案：

1

【错解分析】此题容易在化简上出错，对于三角变换的公式一定要熟练掌握，一定要化到三个一的形式：

y Asin( x )。

【解题指导】∵y 2cosxsin(x

12

32

)3

2cosx(sinx cosx)

12

sin2x

32

cos2x

32

sin(2x

3

)

32

，此函数的最小值为

1，tan( - )=-2

32

1

【练习8】已知

1 cos2 sin cos

2

13

，则tan( 2 )等于 .

y m≥0恒成立，则实数

【范例9】已知圆x y 1 2上任一点Pm的取值范围是 .

x,y ，其坐标均使得不等式x

答案： 1,

【错解分析】此题容易忘记数形结合思想的使用。

【解题指导】求出圆的斜率为-1的两条切线，画图研究他们和x y m=0的关系.

【练习9】a,b为不共线的向量，设条件M:b (a b)；条件N:对一切x R，不等式a xb≥a b恒成立．则M是N的 条件． 【范例10】圆x y答案:2x

2

2

11的过点( 2,7)的切线方程为7y 11 0

【错解分析】此题容易忘记判断点与圆的位置关系。

【解题指导】（一）易知点在圆上，故切线只有一条，且斜率为

277

，

2222

（二）借助结论：过圆x y r上一点(x0,y0)的切线为x0x y0y r。

【练习10】过点P(4,2)作圆x y 4的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点，则 OAB的外接

22

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圆方程为 .

【范例11】在平面直角坐标系中，椭圆

xa

22

yb

22

1(a b 0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的

a2

圆做圆M，若过点P c,0 ，所作圆M的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为

答

e

ca

2

案

：

【错解分析】此题容易错在对图中椭圆，及圆的性质提取不全。

a2 【解题指导】过点 c,0 作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形OAPB是一个正方形，即圆心O

2

a

2 a

到点P c,0

c

，故e

ca

2

.

【练习11】已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为L，若在L上存在点M，使线段OM的垂直平分线经

过点F，则椭圆的离心率的取值范围是 .

【范例12】如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P1P2，P2P3，P3P1的中点，沿AB、BC、CA折起，使P1、P2、P3三点重合后为点P，则折起角P—AB—C的余弦值为 . 答案：

13

后二面

【错解分析】此题容易出现的错误有多种，主要原因是没有认真地画出折叠后的三棱锥。 【解题指导】取AB的中点D,连接CD,PD,则∠PDC为二面角P—AB—C的平面角.

【练习12】正方形ABCD与正方形ABEF构成60的二面角C AB E，则AD与BF的夹角的余弦值是 . 三.解答题

【范例13】

已知(x

的展开式中前三项的系数成等差数列．

n

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数最大的项．

【错解分析】此题容易错在：审题不清楚，误用前三项的二项式系数成等差。 解：（1）由题设，得 C0 n

14

Cn 2

2

12

Cn

1

， 即n2 9n 8 0，解得n＝8，n＝1（舍去）．

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（2）设第r＋1

1 11 1rr 1

≥，C≥C， 8 r88rr 1 2(r 1) 2

的系数最大，则 2即 解得

1111rr 1 C8≥r 1C8.≥.r 229 1 2r

9

r＝2或r＝3．

所以系数最大的项为T3 7x，T4 7x2．

5

说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用．

【练习13】函数f(x) (

ax

x)（a为实数且是常数）

94

9

（1）已知f(x)的展开式中x3的系数为，求a的值；

（2）是否存在a的值，使x在定义域中取任意值时f(x) 27恒成立？若存在，求出a的值，若不存在，

请说明理由。 【范例14】已知函数f(x) lnx,g(x)

（1）求F（x）的单调区间；

（2）若以y F(x)(x 0,3 )图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k

数a的最小值。

（3）是否存在实数m，使得函数y g(

2ax 1

2

ax

(a 0)，设F(x) f(x) g(x)。

12

恒成立，求实

) m 1的图象与y f(1 x)的图象恰好有四个不

2

同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说名理由。

【错解分析】（1）在F（x）的定义域(0, )内才能求单调区间。

（2）对恒成立问题的解决理解不清楚

解:(1) F(x) f(x) g(x) lnx

ax

(x 0 F'(x)

1x ax

2

x ax

2

(x 0)

a 0,由F (x) 0 x (a, ), F(x)在（a, ）上单调递增。

由F (x) 0 x (0,a), F(x)在（0,a）上单调递减 F(x)的单调递减区间为（

x ax

2

。 a, ）

12

0,a），单调递增区间为（

x0 ax0

2

（2）F (x)

12

12

(0 x 3),k F (x0)

12

(0 x0 3)恒成立

12

a ( a

x0 x0)min 当x0 1时， , anmn

2ax 1

2

2

x0 x0取得最大值

2

12

4分

) m 1

2

（3）若y g(

2

12

x m

2

12

的图象与

y f(1 x) ln(x 1)的图象恰有四个不同交点，

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即

12

x m

2

2

12

ln(x 1)有四个不同的根，亦即 12x

12

2

2

m ln(x 1)

12

有四个不同的根。

2

令G(x) ln(x2 1)

2xx 1

2

x

12

3

，

x(x 1)(x 1)

x 1

2

则G (x) x

2x x xx 1

2

。

当x变化时G (x).G(x)的变化情况如下表：

12

由表格知：G(x)最小值 G(0) ,G(x)最大值 G(1) G( 1) ln2 0。

12 12

画出草图和验证G(2) G( 2) ln5 2 y G(x)与y m恰有四个不同的交点，

当m (

12

,ln2)时，y g(

2

2

可知，当m (,ln2)时，

2

1

12

x2 m

12

的图象与

2ax 1

2

) m 1

y f(1 x) ln(x 1)的图象恰有四个不同的交点。

【练习14】已知f(x) xlnx,g(x) x2 ax 3． ⑴ 求函数f(x)在[t,t 2](t 0)上的最小值；

⑵ 对一切x (0, )，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； ⑶ 证明对一切x (0, )，都有lnx

1e

x

2ex

成立．

【范例15】某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为

1112

512

，至少一项技术指标达标的概率为

．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品. （1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？

（2）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？ 【错解分析】遇到“至多”，“至少”问题我们通常求其对立事件的概率。 解：（1）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2

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5

P (1 P) (1 P) P 1212 12

由题意得：

1 (1 P) (1 P) 11

12

12

解得：P1

34

,P2

23

或P1

23

,P2

34

，∴P

P1P2

12

.

即，一个零件经过检测为合格品的概率为.

2

1

（2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为

13 1 5 1 1 C C5

16 2 2

4

5

5

5

【练习15】某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是

45和34

. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.

（1）求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；

（2）求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率； （3）工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销

上岗资格的概率.

练习题参考答案：

1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．an Sn 8． 1 9．充要 10. (x 2) (y 1) 5

11. ,1

2

13. 解：（1）a

14

2

2

4

ax

x) 27，只要

1

19

（2）依题意，得x 0，而要(对于a 0，

a

49

ax

1

x 33

ax

x2

3()3 33

24

xa

时满足题意。

14．解：⑴ f'(x) lnx 1，

当x (0,)，f'(x) 0，f(x)单调递减，当x (, )，f'(x) 0，f(x)单调递增．

e

e

1

1

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① 0 t t 2 ② 0 t ③

1e

1e

1e

，t无解；

1e

t 2，即0 t

1e

时，f(x)min f() ；

e

e

11

t t 2，即t

时，f(x)在[t,t 2]上单调递增，f(x)min f(t) tlnt；

所以f(x)min

1 1

， 0 t ee

．

tlnt，t 1 e

⑵ 2xlnx x2 ax 3，则a 2lnx x 设h(x) 2lnx x

3x

(x 0)，则h'(x)

3x

，

，

(x 3)(x 1)

x

2

当x (0,1)，h'(x) 0，h(x)单调递增，x (1, )，h'(x) 0，h(x)单调递减， 所以h(x)min h(1) 4，

因为对一切x (0, )，2f(x) g(x)恒成立，所以a h(x)min 4； ⑶ 问题等价于证明xlnx

xe

x

2e

(x (0, ))，

1e

由⑴可知f(x) xlnx(x (0, ))的最小值是 设m(x)

xe

x

，当且仅当x

1e

时取到，

2e

(x (0, ))，则m'(x)

1e

1 xe

x

，

易得m(x)max m(1)

，当且仅当x 1时取到，

1e

x

从而对一切x (0, )，都有lnx

2ex

成立．

15．解：（1）记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A1，

4361

P(A1) 1 P(A1) 1 () .

5125

（2）记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A2，“连续3个月参加技能测试，

乙工人恰好通过1次”为事件B1，则

42448332921

P(A2) C3 () (1 ) ,P(B2) C3 () (1 ) ,

551254464P(A2B2) P(A2)P(B2)

48125

964

27500

.

27500

.

两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为

（3）记“乙恰好测试4次后，被撤销上网资格”为事件A3，

321213123

P(A3) () () () .

4444464

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