专题3 函数的零点问题（精讲深剖）-2019年高考数学高频考点全突

-----------精讲深剖 函数的零点、方程根的问题方法灵活，综合性强也是高考的热点，常常给人带来“不识庐山真面目”的困惑，而对其问题进行归纳分类剖析，此类问题即在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查。

本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。

?x2?2ax?a,1.【2018年天津高考理第14题】已知a?0,函数f(x)??2??x?2ax?2a,x?0,x?0.若关

于x的方程f(x)?ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是__________. 【答案】(4,8)

【点评】本题为分段函数零点问题，先由分段函数条件，进行分类解决，即当x?0时，得：x2?2ax?a?ax,

?x2?,x?0?x2x2?x?1,将零点个数问, 同理可得：a?,此时建立函数g(x)??2然后分离变量得：a??x?1x?2?x,x?0??x?2题，转化为函数图像（借助对勾函数和图像平移）的交点问题解决。

同时绘制函数图像如图所示,考察临界条件,

结合a?0，y?a观察可得,实数a的取值范围是(4,8)。

【点评】：先由分段函数条件，进行分类解决，即当x?0时，得：x2?2ax?a?ax,然后分离变量得：

x2x2a??, 化为函数g(x)??，运用导数研究函数，将零点个数问题转化为函数图像的交点问题决。

x?1x?1

【点评】先由分段函数进行分类讨论，运用换元法化为二次函数图像问题解决。 解法四：由题；关于x的方程f(x)?ax恰有恰有2个互异的实数解,

?x2?ax?a,等价于g(x)?f(x)?ax??2??x?ax?2a,如图

x?0,x?0.有2个互异的实数解。

yaxO-2a

2???1?a?4a?0a?0时；则使g(x)有2个互异的实数解，需满足；?，解得；4?a?8 2??a?8a?0??22???1?a?4a?0或?，解得为?，综上4?a?8. 2??a?8a?0??2?x2?ax?a,【点评】构建函数整体解决，即化为g(x)?f(x)?ax??2??x?ax?2a,分类求解可得,所谓大道至简。

x?0,x?0.讨论二次函数的交点问题，

1.（人教A版必修1第88页例1）求函数f(x)?lnx?2x?6的零点的个数. 【解析】用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表与图像如下:

x 1 2 －3 4 5 6 7 8 9

f(x) －4 1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由上表和图可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0,这说明函数f(x)在区间（2，3）内有零点． 因为函数f(x)在定义域（0，+∞）内是增函数,所以它仅有一个零点．

【反思回顾】（1）知识反思：函数零点的定义、函数的性质及应用及数形结合思想；

（2）解题反思：本题为运用函数思想解决方程的求解问题，需要理解零点的概念（三种等价的解释）。 由函数思想丰富了求解方程的思路。感受函数思想的作用及数形结合的方法。

（3）推而广之：比较两个数值的大小，在后续的对数函数、幂函数及三角函数学习中也有类似的问题出现，其解决问题的基本思想为函数思想，即运用对应函数的函数性质进行大小比较；

1.函数零点的定义

(1) 一般地，对于函数y?f?x?，我们把方程f?x??0的实数根x称为函数y?f?x?的零点； (2) 明确三个等价关系(三者相互转化)

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者能相互转化，在解决有关零点的问题以及已知零点的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．

2.函数零点存在性定理：设函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，且f?a?f?b??0，那么在开区间?a,b?内至少有函数f?x?的一个零点，即至少有一点x0??a,b?，使得f?x0??0。 （1）f?x?在?a,b?上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提

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