12.3.2角的平分线的性质(二)

角的平分线的性质（二）

教学目标:1、 角的平分线的性质

2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

教学重点：角平分线的性质及其应用．

教学难点：灵活应用两个性质解决问题．

教学过程：

一．创设情境，引入新课

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．

二．导入新课

角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．

折出如图所示的折痕PD、PE．

画一画：

按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？ 投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．

结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求． 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：

已知：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

由已知事项推出的事项：PD=PE．

于是我们得角的平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）

问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

讨论：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．

由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．

由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤， 使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题， 我们可以直接利用性质解决问题．

三、巩固应用

例 ：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离， 也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线， 根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．

因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．

所以PD=PE．

同理PE=PF．

所以PD=PE=PF．

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

四：练习作业：

1．课本练习．

2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一

点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F

是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF

3、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等

强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的

性质，无须再证三角形全等．

五．课时小结

今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①

角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平

分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．

六．课后作业

1、课本习题 2、《练习册》

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