微分中值定理及其应用习题课

微分中值定理及其应用习题课

一 基本定理

1）．罗尔中值定理

若函数f满足如下条件： （ⅰ）f在闭区间?a,b?上连续； （ⅱ）f在开区间?a,b?内可导； （ⅲ）f(a)?f(b),

则在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0

注 罗尔中值定理主要用于说明f??x??0有根，关键是要找两点使这两点函数值相等．

注 介值定理主要用于说明f?x??0有根，关键是要找两点使这两点函数值异号．

（1） 证f?x??0有根

???法1 用介值定理（若此时易找两点使函数值异号）.? ?法2 将f?x??0转化为f?x??g??x??0,对g?x?用罗尔定理?? ?若很容易求出g?x?，使f?x??g??x?，且对g?x?很容易????找两点使函数值相等.???????法1 费马定理（易找极值点或内部最值点）,（2）证f??x??0有根?

法2 罗尔定理易找两点使函数值相等.????（3）证根唯一的方法?（4）证f?n? ?法1 单调性,?法2 反证法+罗尔定理.

?x??0有根，经常对f?n?1??x?用罗尔定理．

（5）证至少存在一点?，使含?的代数式

1

Ga,b,f?a?,f?b?,?,f???,f?????f?n?????0成立的常用方法是构造辅助函数，

然后对辅助函数用罗尔定理．

2）．拉格朗日中值定理

若函数f满足如下条件： （ⅰ）f在闭区间[a,b]上连续； （ⅱ）f在开区间?a,b?内可导， 则在（a,b）内至少存在一点?，使得

??f?(?)?f(b)?f(a)．

b?a注 看到函数增量，或隐含增量（含条件f?a??0），经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，经常要考虑拉格朗日中值定理． 3）．柯西中值定理

设函数f和g满足 （i）在[a,b]上都连续； (ii)在(a,b)上都可导；

(iii)f?(x)和g?(x)不同时为零； (iv)g(a)?g(b) 则存在??(a,b)，使得

f?(?)f(b)?f(a)? ． g?(?)g(b)?g(a)注 看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理． 4）．泰勒中值定理

若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有

2

f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?o?(x?x0)n?2!n!．

若函数f在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)内存在(n?1)阶导函数，则对任意给定的x,x0?[a,b]，至少存在一点??(a,b)，使得

f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?f??(x0)(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)f(n?1)(?)n ?(x?x0)?(x?x0)n?1 ．

n!(n?1)!注 看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理．

注 对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀

一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒； 中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱； 函数增量想拉柯，易积结论用阿罗； 多个中值多次用，把握特征心自得．

二 疑难解答

1．极值与最值有什么区别与联系？

答1）极值是一个局部概念,因为f(x0)是函数f(x)的极值,是与x0的某邻域

U?x0?上的函数值f(x)比较而言的；而最值是对整个区间而言的,是一个整体概

念．

2）闭区间?a,b?上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值大于最小值（常函数除外）,但可能无极值（因为极值点x0必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有可能在端点取）．即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值．因此若f?a?(是函数的最值,则f?a?不可能是极值;若f(x0)（x0?(a,b)）是函数的最值,则一定是极值．即（最值不一定是极值，反之,极值也不一定是最值,极值一般可能很多个,但若极值只有一个,即为最值）．

3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最

3

小值点是极小值点．

2．极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？

答：1）由费马定理可知,可导的极值点是稳定点．

2）稳定点未必是极值点．例如f(x)?x3，x?0为它的稳定点（因为，但由f(x)?x3的图像和极值点的定义易知x?0不是f(x)?x3的极f?(0)?0）值点．

3）导数不存在的点也可能是函数的极值点．例如由f(x)?x的图像和极值的定义易知f(x)?x在x?0取得极小值，但在x?0不可导，即极值点未必是稳定点．

极值点有可能是稳定点和不可导的点． 3．导函数的介值定理有什么作用？

答：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数．

4. 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件？

答 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立．例如

函数f(x)???x,0?x?1,在[0,1]上不满足罗尔中值定理的条件(1)，因为

x?1,?0,f(x)在点x?1处不连续．由于f?(x)?1,x?(0,1)，所以在开区间(0,1)内找不到

使得等式f?(?)?0成立的点?，如图，无水平切线(图1)；

函数g(x)?x,x?[?1,1]，g(x)在[?1,1]上不满足罗尔中值定理的条件(2)，因为g(x)在点x?0处不可导．由于g?(x)???1,0?x?1,所以在开区间(?1,1)内找不

?1,?1?x?0,?到使得等式g?(?)?0成立的点?，如图，无水平切线(图2)．

函数h(x)?x,x?[0,1]．h(x)在[0,1]上不满足罗尔中值定理的条件(3)，因为

h(x)在区间端点的函数值不相等，即h(0)?h(1)．由于h?(x)?1,x?(0,1)，所以

4

在开区间(0,1)内找不到使得等式h?(?)?0成立的点?，如图，无水平切线(图3)．

尽管如此，但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件．例如，函数

?0,x?[0,1) f(x)???x,x?[1,2],??0?在?0,2?不连续，在?0,2?不可导，f?0??f?2?，但f(x)????1,上点都满足f?(x)?0．

5.为什么不将罗尔条件(i)(ii)合并为f(x)在?a,b?上可导？

答 可以，但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数．例如函数

x?01,??，?0,1?x??1,2?f(x)?(3?x)x, x?[0,3]，f?(x)?31(?x)，显然x?0时，函数不可导（f(x)?(3?x)x是初等函2x数，f?(x)?3(1?x)在x?0处没有定义，则原函数在x?0不可导）

，即不符合加

2xy 强条件；但它满足定理的三个条件，有水平切线(图)

6.罗尔定理结论中的?值唯一吗？

y=f (x) 0 3 x 答 不一定唯一,可能有一个,几个，甚至无限多个．

例如

5

1?4?xsin2,x?0;f(x)??在??1,1?上满足罗尔定理的三个条件．显然, x?0,x?0.?111?3?4xsin2?2x2sincos,x?0f?(x)??在(-1,1)内存在无限多xxx?0,x?0.?个cn?1(n??1,?2,?),使得f?(cn)?0． 2n?7．拉格朗日公式有哪些等价表示形式？

答 ①f(b)?f(a)?f?(?)(b?a),a???b； 注 a???b?0???a?b?a?0???ab?a?1，令????ab?a，则有

0???1，

??a??(b?a)，于是有

②f(b)?f(a)?f?(a??(b?a))(b?a),0???1； 令h?b?a，则有

③f(a?h)?f(a)?f?(a??h)h,0???1. 注 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于a?b，还是a?b都成立，而?则是介于a与b之间的某一定数

8． 试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？

答：（1）在应用导数极限定理时，如果只注意limf?(x)存在的条件，而忽视

x?x0了f在点x0的某邻域U(x0)内连续，则会导致错误的结论，例如

?x,x?0 f(x)???1,x?0f(x)在u0(0)中可导，且f?(x)?1，于是有limf?(x)，若认为f?(0)存在，

x?0且f?(0)?1，这就导致错误结论，事实上，因为f(x)在点0处不连续，当然不可

6

导．

（2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似．

?1）设f在点x0的右邻域U?(x0)内连续，在U?(x0)内可导，且极限

x?x0?limf?(x)?f??x0?0?存在，则f在点x0右可导，且

f???x0??lim?f?(x)?f??x0?0?．

x?x0?2）设f在点x0的左邻域U?(x0)内连续，在U?(x0)内可导，且极限

x?x0?limf?(x)?f??x0?0?存在，则f在点x0左可导，且

f???x0??lim?f?(x)?f??x0?0?．

x?x0（3）若函数f在点x0的某邻域U(x0)内连续，在U?(x0)内可导，极限

x?x0limf?(x)不存在，一般不能得到f??x0?不存在的结论．

1?2xsin,x?0,??例 设函数f?x??? 则f?x?在U?0?中连续，且在U?0?内x?? 0, x?0.可导，

f??x??2xsinx?011?cos,x?0. xxx?x0显然limf??x?不存在，但f??0??0．此例说明：导数极限定理中的limf??x?存在是充分条件不是必要条件．

9. 若函数f在区间I上可导，则在区间I上的每一点， f?(x)有第一类间断点吗？

答 若函数f在区间I上可导，则在区间I上的每一点，要么是f?(x)的连续点,要么是f?(x)的第二类间断点,即导函数不可能有第一类间断点．

?x0?I，由f在区间I上可导，则f在点x0处的左右导数存在，并且相等，

即

7

f???x0??f???x0??f??x0?，由此（1）若f?(x)在点x0处的左右极限存在，则根据

导数极限定理，

f?(x)在点x0处的左右极限相等，即

从而f?(x)在点x0处连续；（2）若f?(x)在点x0f??x0?0??f??x0?0??f??x0?，

处的左右极限至少有一个不存在，则x0是f?(x)的第二类间断点．

10．1）f?x?在?a,b?上有定义,在?a,b?内严格递增（减）,那么f?x?在?a,b?上是否一定严格递增（减）呢？

2）若f在?a,b?上（严格）递增（减），且在点a右连续，则f在[a,b）上亦为（严格）递增（减），对右端点b可类似讨论．

答： 1）不一定．例函数f?x???递增，但在?0,1?上不是严格递增的．

2）只需证明x?a，f?x??f?a?，这时存在x1,x2??a,b?，满足

?x,0?x?1在?0,1?有定义，在?0,1?内严格

?1,x?0a?x1?x2?x，由f在?a,b?中的（严格）递增性有f?x1??f?x2??f?x?，令

x1?a?，由f在点a的右连续性，f?a??lim?f?x1??f?x2??f?x?，于是

x1?af?a??f?x?．

注 （1）证f在?a,b?上严格递增的方法是证f??x??0,?x?(a,b)，或

f??x??0，?x?(a,b)，而f??x??0的点只有有限个．

（2）证f在?a,b?上严格递增，只要证f在?a,b?上连续，在?a,b?上严

格递增．

11．函数在区间I上可微，若f??x??0与f在I上严格递增有什么关系？ 答 函数在区间I上可微，若f??x??0 f在I上严格递增．

8

反例：f?x??x3在R上严格递增，但f??x??3x2，f??0??0，导数可为0． 注 若函数f在?a,b?内可导，则f在?a,b?内严格递增（递减）的充要条件是： （ⅰ）对一切x?(a,b)，有f??x??0（f??x??0）； （ⅱ）在?a,b?内的任何子区间上f??x??0．

12．下面是利用拉格朗日中值定理推导柯西中值定理的方法，正确吗？ 由函数f和g在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，对f和g分别用拉格朗日中值定理得

f(b)?f(a)f????(b?a)f????． ????g(b)?g(a)g???(b?a)g???答：不正确，错在对f和g分别用拉格朗日中值定理时得到的中值点不一定相同，即应该是

f(b)?f(a)f???1?(b?a)f???1?． ??g(b)?g(a)g???2?(b?a)g???2?而柯西中值定理的

f?(?)f(b)?f(a)?中两个?是一样的． g?(?)g(b)?g(a)13． 试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时各有什么特点？

答（1）罗辑推理关系：罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的，在此基础上，又推得另两个中植定理，即：

费马定理?罗尔中值定理?拉格朗日中值定理?柯西中值定理

（2）由证明方法看：由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了辅助函数

f(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a);

b?a由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数

F(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(g(x)?g(a))

g(b)?g(a)9

反之，在柯西中值定理设g(x)?x，就得到拉格朗日中值定理；进一步更设

f(a)?f(b)，又得到罗尔中值定理，所以，若能首先证明柯西中值定理，则另外

两个中值定理都是它的特殊情形．

（3）从应用方面看：

（ⅰ）罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外，在讨论方程f?(x)?0的根的分布情况也有重要作用．

（ⅱ）拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用．函数的单调性是函数在区间上的整体性质，中值定理中的f?(?)只是f?(x)在某点?的局部性质，但因中值点?的不明确性，故只能假设在整个区间?a,b?内

f?(x)?0，并用以推得f(x)在?a,b?上的递增性质．这里存在着整体→局部→整体

的辩证关系，也就是应用拉格朗日中值定理的实质所在．

（ⅲ）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，后者是利用导数讨论函数f的增量与自变量增量比的性质，而前者是利用导数的比来讨论两个函数f与g的增量比的性质．

柯西定理的典型应用是讨论

0型不定式极限．在补充了f与g在点x0处的函0数值f(x0)?g(x0)?0之后，利用

f(x)f(x)?f(x0)f?(?)（?介于x0与x之间） ??g(x)g(x)?g(x0)g?(?)使函数值之比可以用导数之比来表示，而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替代函数值之比的极限．

14．f??x0??0能说明f在x0的邻域上递增吗？ 答 不能，例函数

1?x2?xsin,?2x f(x)???0,?x?0,

x?0,10

f?????2泰勒公式是f?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?．

2!用泰勒公式的关键是x,x0如何取，而需证等式中出现二阶导数f''(?)与f(x)在a,b，

a?ba?b的函数值，合理的方法是取x0?，x为a和b． 22a?b注：题目中如果出现(b?a)2，往往要令x0?．

2证 在泰勒公式f?x??f?x0??f??x0??x?x??0f??????x?x2!?02中取

x0?a?b，x分别为a和b得 2f??(?2)b?a2a?b?a?b?'?a?b?b?af(b)?f??f?(),??1?b, ???2!22?2??2?2f??(?2)a?b2a?b?a?b?'?a?b?a?bf(a)?f??f?(),a???, 2???2222!22????把上面两式相加,得

a?bf''(?1)?f''(?2)(b?a)2f(b)?2f()?f(a)??.

224不妨设f(?1)?f(?2),于是有

''''f''(?1)?f''(?2)f(?1)??f''(?2).

2''在???1,?2??上对f(x)应用达布定理,?????2,?1?使得

''f''(?1)?f''(?2)f(?)?,

2''这样就证得

a?b(b?a)2''f(b)?2f()?f(a)?f(?).

2426

12. 证下列不等式： 1）

b?abb?a，其中0?a?b； ?ln?baax3??? 2）sinx?x?，x??0,?；

6?2?3）

tanxx???， x??0,?． ?xsinx?2?证1）因为f(x)?lnx在?a,b?连续，在(a,b)内可导， 所以由拉格朗日中值定

理知， 存在??(a,b)使得 lnbb?a?lnb?lna?， a?因为 0?a???b， 所以

111??， b?ab?ab?ab?a ??b?a于是 从而

b?abb?a． ?ln?aa bx3 2） 令F(x)?sinx?x?，

6x2则F?(x)?cosx?1?，（此时F?(x)的符号不易判定）

2???F??(x)??sinx?x?0，（由于x??0,?时有sinx?x?tanx）

?2?则F?(x)在?0,?????上严格递增，于是F?(x)?F?(0)?0， 2?27

从而F(x)在?0,?????上严格递增，于是F(x)?F(0)?0， 2?x3???即sinx?x?，x??0,?．

6?2?3）分析：若直接令f?x??tanxx?，则求导比较复杂，需要转化，证xsinx???tanx?sinx?x2，x??0,?．

?2????证 原式等价于tanx?sinx?x2，x??0,?，

?2? 令f(x)?tanx?sinx?x2，则

f?(x)?sin（此时不易判断f??x?与0的大小关系） x(se2cx?1)?2x， f??(x)?3sec（此时不易判断f??x?与0的大小关系） x?cosx?2，

??? f???(x)?3tanxsecx?sinx?0,x??0,?．

?2????

故f??(x)在?0,?内严格递增．又f??(x)在x?0处连续且f??(0)?0，所以f??(x)?0，

?2???????x??0,?．从而f?(x)在?0,?内严格递增． 又f?(x)在x?0处连续，且?2??2???????f?(0)?0，所以f?(x)?0，x??0,?．于是f(x)在?0,?内严格递增， 且f(x)?2??2?

在x?0处连续， f(0)?0．所以

???f(x)?0,x??0,?．

?2?28

???即 tanx?sinx?x2，x??0,?．

?2?注 证f(x)?g(x)的步骤

（1）移项构造辅助函数（有时需要对辅助函数适当变形），使不等式一端为0，令一端即为辅助函数F(x)，常常令F(x)?f(x)?g(x)；

（2）求F?(x)，根据F?(x)的符号判断F(x)的单调性，（有时F?(x)的符号不易判定，需求F??(x)，由F??(x)的符号来确定F?(x)的单调性，再根据F?(x)的单调性来确定F?(x)的符号）；

(3)求出区间端点的函数值（或极限值），根据F(x)的单调性，得出证明． 13. 求下列不定式极限：

ex?11?2sinx (1)lim； (2)lim；

?x?0sinxcos3xx?6 (3)limln?1?x??xtanx?x； (4)lim；

x?0x?0cosx?1x?sinx? (5)limx?21?tanx?6?1； (6)lim??x?；

x?0xsecx?5e?1??sinx (7)lim?tanx?x?0； (8)limxx?111?x；

(9)lim1?xx?0?12x?sinxlnx； ； (10)lim?x?011??tanx?x2?1(11)lim?2???． ?； (12)lim2x?0x?0xxsinx????注 （口诀）先定型后定法，求解过程要四化（乘除中使用，加减不要用）----

1看到无穷小因子，等价化； 2看到无理因子，有理化； 3看到幂指函数因子u?x?v?x?，对数恒等式化u?x?v?x??ev?x?lnu?x?；

29

4看到非零极限因子（极限不为0的因子），代入化．

e?1xex?1ex?lim?1（利用等价无穷小代解 (1)lim= lim=1或 limx?0sinxx?0cosxx?0sinxx?0x换）

(2)lim6x?2cosx31?2sinx= lim=．

??3cos3xx??3sin3xx?61?1ln?1?x??x1x(3)lim=lim1?x ?lim(?)?1．

x?0x?0x?0?sinxcosx?11?xsinx1?1ln?1?x??xln?1?x??x1或lim?lim?lim1?x?lim?1． x?0x?0x?0x?01cosx?1?x1?x?x22sec2x?1tan2xx2tanx?x?lim?lim?2． (4)lim= limx?0x?sinxx?01?cosxx?01?cosxx?012x2sec2x1tanx?6 (5)lim= lim=lim?1．

?secxtanx?secx?5?sinxx?x?x?2221?ex?1?xex?1?xex?11?1(6)lim??x?lim?lim?． ?= limx2x?0xx?0x?0x?0x(e?1)x2x2e?1???tanx? (7)lim?x?0sinxe= lim?x?0sinxlntanx=ex?0?limsinxlntanx?e1x1x2x?0?limxlntanxx?0?lim?elntanx1x

?e (8)limxx?111?xsec2xlimtanxx?0??1x2lnx1?x?elim1limtanxx?0??1x2?ex?0??lim?1．

? limex?1?elnxx?11?x?elim?1x?1x?e?1．

?1或limxx?111?x?lim?1?x?1?x?111?x1???lim??1?x?1?x?1??e?1． x?1??30

(9)lim1?x?0?12xx?ln(1?x2)= limexx?0?eln1?x2x?0xlim??=ex?01?x?e0?1．

2lim2x或lim1?xx?0?12x?1?2x2??lim??1?x???e0?1． x?0??x1lnxx?0． (10) limsinxlnx?limxlnx?lim?lim????x?0x?0x?01x?01?2xxsin2x?x2sin2x?x21??1?lim(11) lim?2? ?= lim2242x?0x?0x?0xxsinxxsinx??2sinxcosx?2xsin2x?2x?limx?0x?04x34x3

2cos2x?2?4sin2x1?lim?lim??.2x?0x?012x24x3?lim1?sin2x?x2sin2x?x2?1或 lim?2? ?lim??lim24x?0xx?0x2sin2xx?0sinxx??sinx?x??sinx?x?? ?lim

x?0x3x?2limx?0?sinx?x??2limcosx?1??1．

x3x?03x23ln?tanx?x2x2lim?lime(12)??x?0x?0?x?11tanxx?ex?0x2lim1lntanxx

?e?e12x?0limlntanx?lnxx2xsecx?tanx2x32?esec2x1?limtanxxx?02x2?exsec2x?tanxxtanxlimx?02x2

x?0lim?ex?0limsecx?2xsecxsecxtanx?secx6x2?e13tanx?x 或 lim?x?0?tanx?x?tanx?x?x?lim??1??x?0xx????31

12??tanx?x??lim??1??x?0?x???xtanx?x????x3

?e 或

x?0limtanx?xx3?ex?0limsec2x?13x2?ex?0limtan2x3x2?e ．

13ln?tanx?x2x2lim?e??limx?0x?0x???11tanxx?ex?0x2lim1lntanxx?ex?0x2lim1?tanx?x?ln?1??x???ex?0limtanx?xx3?e．

0?或； 0?13注 1型不定式极限有两种求法：（1）用对数恒等式化为0??，再化为（2）利用公式lim(1??)?e ???01??配底 1?无穷小量?配顶 无穷小量的倒数求解．

14．求函数f(x)?sinx?cosx的极值（0?x?2?）． 解 f?(x)?cosx?sinx，f??(x)??sinx?cosx, 令 f?(x)?0，得驻点 x1??4,x2?5?． 4而 f??()??2?0，所以 f()?2为极大值．

445??又 f??()?2＞0，所以 f()??2为极小值．

44说明 此题为可导函数且在驻点处f??(x)?0，所以找出驻点后，用第二充分条件进

行判断方便．

???x2x,x?0,?15．已知函数f(x)??问x为何值时，f(x)取得极值．

?x?1,x?0,??2x2x(1?lnx),x?0解 f?(x)??，当x?0时，

x?0?1, f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)x?lim?1, x?0?xx?0?f(x)?f(0)x2x?12x2x(1?lnx)?lim f??(0)?lim?lim???，

x?0?x?0?x?0x?0x132

所以，当x?0时，f?(x)不存在．

令f?(x)?0，即2x2x(1?lnx)?0，得驻点x?11（,将可疑点x?0及x?按ee大小顺序排列，把函数的定义域（??,??）分成三个部分区间，讨论在各部分区间上一阶导数的符号．）

11时，f??x??0；当x?时，f??x??0 ee1故当x?0时，函数取得极大值f?0??1，当x?时函数取得极小值

e当x?0时，f??x??0；当0?x??1??1?f?????． ?e??e?由此可见，分段函数求极值的步骤与非分段函数求极值的步骤一样，关键是在分段点求导时，要用导数定义来求．若在分段点处的导数为0或不存在，则分段点为可疑点；若在分段点处导数存在，但不等于0，则分段点不是可疑点．

16． 设f?x???x?x0???x?，（n为自然数），其中??x?是连续函数，问当

n2e??x0??0时，f?x?在点x0处是否取得极值？为什么？

分析 题中只知道??x?连续，因而f?x?也是连续的，但不知f?x?是否可导，故不

能用导数等于零来求驻点，只能用函数的极值定义来进行判断．此外，题中还有自然数n，f?x?在x0点是否取极值与n有关． 解 由于在

??x?点x0处连续，且??x0??0，故存在??0．当

x??x0??,x0???时，

??x??0，此时，函数f?x?在该邻域内的符号完全由因子?x?x0?决定，而

n?x?x0?n的符号又与n的奇偶性有关．

（1）若n为偶数，当x?(x0??,x0??)且x?x0时 f(x)?0，而

f(x0)?0，

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所以f(x0)?0为极小值．

（2）若n为奇数，当x?(x0??,x0)时f(x)?0，当x?(x0,x0??）时

f(x)?0，

所以 f(x0)?0不是极值．

小结 求函数的极值的步骤为： 1、找出可疑点 可疑点包括：（1）驻点；（2）使一阶导数不存在的点（但函数在此点连续）；（3）函数在该点有定义，但不连续． 2、判断．对（1）、（2）两类可疑点，利用极值存在的第一或第二充分条件；对第（3）类可疑点，则利用极值定义． 3、求出极值． 17． 求函数f(x)?arcsin最小值．

2x?2arctanx在（??,??）上的最大值和21?x?4,2(1?x)12?2???解 f(x)?=?1?x21?x2?1?x21?x?0,2当x?1当x?1

当x??1时，f?(x)?0，f(x)为常值函数, 当?1?x?1时，f?(x)?0，f(x)单调增加, 当x?1时，f?(x)?0，f(x)为常值函数,

又因f(x)在（??,??）内连续，所以f(?1)???为最小值，f(1)??为

最大值．

?x18．求函数y?xe的连续区间、可导区间、单调区间、凹凸区间、极值点、

拐点和渐近线．

解 y?xe?x?x???xe,???x??xe,x?0x?0

y?limy?0，因为lim所以函数在x=0处连续，故连续区间为（??,??） ??x?0x?034

?x??e(x?1),x?0又 y????x

??e(1?x),x?0f(x)?f(0)?xe?x?(0)?lim?lim??1， 而 y??x?0?x?0x?0xf(x)?f(0)xe?x?(0)?lim?lim?1， y?x?0?x?0?x?0x函数在x?0处不可导，在(??,0)和（0,??）可导．

?x?x?0?e(2?x)y?????x

x?0?e(x?2)?令y??0，得x=1，令y???0，得x=2，列表如下：

x y? y?? y?f(x) 图形 （??,0） — + 0 不存在 不存在 极小 拐点 （0,1） + — 1 0 — （1,2） — — 2 — 0 （2,+?） — + 极大 拐点 故单调增区间为（0,1），单调减区间为（—?，0），（1，+?），凸区间为（0,2），凹区间为（—?，0），（2,+ ?）；极小值点为x?0，极大值点x?1，拐点为（0,0），（2，2e?2）．又limy?limxex???x????x?0,故y?0为水平渐近线．

19． 方程3x?4x?6x?12x?20?0有几个实根？ 解 令 f(x)?3x?4x?6x?12x?20，

则 f?(x)?12x?12x?12x?12?12(x?1)(x?1) 令 f?(x)?0得 x1??1,x2?1

当x?(??,?1)时，f?(x)?0，函数单调减小;

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