极限部分（第一讲）

第一讲 极限与连续

第一讲 极限与连续

题型一、数列极限的计算

方法：（1）夹逼定理； （2）单调有界准则； （3）重要公式或转化为函数极限；

（4）化为定积分； （5）无穷级数收敛的必要条件． 1．一般项un为n项和数列极限

这类题目首先想到的方法是利用积分和式求极限，适用此法un的形式简单，套得上就套，套不上就用夹逼定理，但也要注意用夹逼定理时，左、右两个极限也可能要用积分和式求极限。

例1．1）设 数列un?1n?11n?122?21n?21n?222?……?1n?n122，求极限limun．

x?? 2）设数列un???……?n?n2，求极限limun．

x??解：1） 因为 un?1112n1?()n1n?121?()n2n1?……?1n1?()n2n

1??n1i21?()n1?????n??1i?1?dx1?(x)20 ?ln(x?x?1)022?ln(1?2)

2）该题与题1）只差根号中的n?n，就不可表示为定积分了，改用夹逼定理，

1?nn?n22?un?nn?12?1（n??）

所以 limun?1

n??注意：该题un中的1n?i2起作用的是n，将各项中的i换成为1或者n后，左、右两边求

2和后的极限是一致的，但是题1）中的就不是一样的．

sin?例2． 求极限lim[n??n?n?1sinn?2?n?……＋12sin?n?1nnsinin?1i]?limx???i?1．

n? 1

第一讲 极限与连续

sin?解： 因为lim[n??n?n?1sinn?2?n?……＋12sin?n?1nnsinin?1i]＝limx???i?1，在每项提出

1n，不

n?满足积分和式求极限，因此改用夹逼定理，将分母的n?

1n?1?1n?121n?1nn?1nnn1i分别改为n?1与n，有

?1n,??,1n?1?1n?1n1nn?1n，

即有

?i?1nsini?n?un??i?1sini?n，

?i?1sini?n1?1n?un?1nn?i?1sini?n，

左边：limn???n?1nsini?n?1n1i?1＝?sin?xdx＝

02?，

右边：limn???i?1sini?n?1n＝?sin?xdx＝

02?，

所以：limun?x??2?．

2．一般项un以迭代形式给出的数列极限

一般是用单调有界准则先去证明极限limun存在，再去求极限．

n??1）直接对un进行分析或用数学归纳法验证un单调有界；

2）设limun?l（存在）代入给定的表达式中，则该式变为l的代数方程，解出l即可．

n??例3．若数列un?1?12(un?aun) (n?1,2,?3,，且u1?a（a为正常数），试证数列un极限存在，并求之．

解：1）先证明数列{un}有极限，显然对任n?N均有un?0，且

12aunauna un?1?(un?)?un??即?un?有下界，又由于

un?1un

?11un2(un?aun)?12(1?aun2)?12(1?aa)?1

2

第一讲 极限与连续

即un?1?un，故数列?un?单调递减，因此极限limun存在．

x??2）再求出极限limun?l．

n??对un?1?12(un?aun)两边取极限，得l?12(l?al)，

2即 l?a，亦即l??a，

因为un?0，取l?例4．设0?x1?3，xn?1?此极限.

a，即得limun?n??a．

xn(3?xn)(n?1,2,?)，证明数列?xn?的极限存在，并求

解：先用归纳法证明?xn?有上界：首先，有0?x1?3得

0?x2?x1(3?x1)?12?x1?(3?x1)??32.

又设0?xn?32,则有

xn(3?xn)?12 0?xn?1? 再证?xn?单调增加：由 xn?1?xn???xn?(3?xn)??32.

xn(3?xn)?xn?xn(3?2xn)3?xn?xnxn(3?xn?xn)

?0,

有xn?1?xn.由单调有界准则知，limxn?a存在.

n??在递推公式xn?1?解得a?

32xn(3?xn)两边取极限，得a?a(3?a)，

, a?0（不合题意）.

3．数列un为n个因子连乘积的形式的极限

处理方法：1）取对数将其化为n项之和；2）乘除某因子，利用初等数学公式化简；3）将un作适当方次再放大，使中间各因式相消然后用夹逼定理；4）将un各式因式分解，使分子，分母相消；5）直接利用单调有界性．

3

第一讲 极限与连续

例5．设数列un?n21??2??1?1?????……n??n??2n??1?un． ??，求极限limn??n??2nn1??2?n???解：数列两边取对数得 lnun?2ln?1???1??……?1??

nn??n?n???1??[ln1????2ln1?12?n???1?+?+nln1?????]

n2?n??n?n??ln?i?1??i1??，

i?1?n?nnni1limun?limin??n???i?1nln??1??1n??n?0ln(1?x)dx

???x 1?1(1?x)dx22?0ln

11?2[x2ln(1?x)1x20??01?xdx]

1?12[ln2??0(x?1)dx?ln(1?x)10]?1，

4所以极限limu14n??n＝e．

例6．设数列xn?(1?122)(1?132)……(1?1n2)，求极限limxn??n．

解： 因为数列?xn?单调减少且有下界0，所以极限limxn存在．

n??222x?2?13?1n?22?32……1nn2 ?1?322?2?432……(n?1)?(n?1)1n?11n2?2?n?2（n??），所以 limx1n??n?2．

例7． 当x?1时，求极限lim(1?x)(1?x2)(1?x4)……(1?x2n)n??． 4．利用无穷级数收敛的必要条件 例8．求极限lim2nn??n!

?n解： 讨论无穷级数?2敛散性，

n?1n! 4

?n?1????x? ?1? 第一讲 极限与连续

2n?1因为 ??limn??(n?1)!2n＝lim2n?1?0?1，

x??(n)!?所以无穷级数?n?12nn!收敛，从而极限limn??2nn!?0．

5．利用数列极限与函数极限等值求极限

n例9．若a，b，c?0，试求极限lim(n??a?nb?3nc)．

nn解：lim(n??a?nb?3ncx)＝lim(x???na?xb?3xc)

x111111ln(lim)x???ax?bx?cx31x)?ln3x???e＝

limxln(ax?bx?cx31＝e （应用罗必塔法则）

11alimx???xlna?bxlnb?cxlnc111ax＝en?bx?cx1?2xnn?(?1x2)1＝ec)?n33lnabc，

于是 lim(n??a?b?3abc．

对于数列极限的求极限时，若要使用罗必塔法则，则要转化为相应的函数后再使用．

题型二、函数的极限的计算

1．带有根式函数的极限： 1）有理化去掉根号； 2）利用等价无穷小代换 例1．求极限lim1?x?1?x?31?x1?xx?03

2322解：原式?limx?0(1?x?(1?x?21?x)(1?x?31?x)(3(1?x)?1?x)((1?x)?21?x?1?x?23(1?x))(1?x))231?x)(1?x?3323

3?limx?0(3(1?x)?1?x?2(1?x?(1?x))1?x?1?x3?? （分离一部分出来） 1?x?1?x21?x)3 5

第一讲 极限与连续

于是 lim(1?x?0f(x)x1)x?lim(1?x?0f(x)xx)f(x)?f(x)x2?e．

2例2．已知 limn??nn????(n?1)＝2006，求常数?与?得值．

解： 提出分母中最大项 limnn???n???(n?1)?limn??n???1?(1?1n?lim)?n???n(1?1n???

)?1? ?lim?n???n????1n?limn??n????11? （(1?x)n?1?1nx）

若极限为2006， 应取?，? 使得 ????1?0 且

12006200520061??2006，

从而 ??， ????1??．

ax?sinx（ 练习：1．（98,5分）确定常数a,b,c的值，使 limx?0?2．（00,3分）若limsin6x?xf(x)x3x?0xbln(1?t)t3?c ?c?0?. dt?0，则lim6?f(x)x2x?0?______.

3．（02,7分）已知函数f(x)在?0,???内可导，f(x)?0,limf(x)?1，且满

x???1?f(x?hx)?hlim?ex，求f(x). 足 ??h?0f(x)??14．（08,4分）已知函数f(x)连续，且lim1?cos?xf(x)?(ex2?1， 则

x?0?1)f(x)f(0)?______. ）

题型四、无穷小量的比较：

例1．已知当x?0时，x?解： 由罗必塔法则

x?limx?022?x02costdt与Ax是等价无穷小，求常数A和k．

2k?x02costdtk2Ax＝limx?02x?2xcosxAkxk?14

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第一讲 极限与连续

＝limx?02(1?cosx)Akxk?24＝limx?0x8k?2Akx，

若k?2?8，则右边的极限趋于无穷大；若k?2?8，则右边的极限趋于零； 与题设等价无穷小矛盾，故k?2?8，即k?10，从而极限为

110A?1，得A?110．

题型五 函数的连续性及间断点的分类

2n?1例1．设f(x)?limx?ax2?bxn??x2n是连续函数，求?1a,b的值．

解：先求出函数的表示式，

当x?1时， f(x)?ax2?bx

1?abx2n?3??limx2n?2当x?1时， f(x)1?1， （

1n??xx?0）

x?x2n?1 当 x?1时，f(1)?12(1?a?b)， 当x??1时，f(?1)?12(?1?a?b)，

?ax2?bx,|x?|1??1?x,|x?|1所以 f(x)???1，

?(1?a?b),x?1?2?1??2(?1?a?b),x??1下面讨论函数的连续性：

函数f(x)在x?1处连续：f(1?0)?f(1?0)?f(1)，即a?b?1?12(1?a?b)f(x)在x??1处连续：f(?1?0)?f(?1?0)?f(?1)，

即a?b?1??12(?1?a?b)，

解方程组，得a?0,b?1．

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