20世纪的高考 - 1987年数学高考试卷

1987年数学高考试卷

理工农医类

一、本题每一个小题都给出代号为A，B，C，D四个结论，其中只有一个是正确结论。把正确结论的代号写在题后的括号内。

（1）设S、T是两个非空集合，且SúT，TúS，令X?S?T，则S?X?（ ） A、X B、T C、? D、S

x2y2（2）椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，令c2?a2?b2，那么它的准线方程是（ ）

aba2b2a2b2A、y?? B、y?? C、x?? D、x??

cccc

（3）设a，b满足ab?0，那么（ ）

A、a?b?a?b B、a?b?a?b C、a?b?a?b D、a?b?a?b

（4）已知E、F、G、H为空间中的四个点，设命题甲：点E、F、G、H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，那么（ ）

A、甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件，但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件

D、甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

（5）在区间(??,0)上为增函数的是（ ） A、y??log1(?x) B、y?2x22 C、y??(x?1) D、y?1?x 1?x

（6）要得到y?sin(2x?A、向左平移

（7）极坐标方程??sin??2cos?表示的曲线是（ ） A、直线 B、圆 C、双曲线 D、抛物线

?3)的图像，只要将y?sin2x的图像（ ）

???? B、向右平移 C、向左平移 D、向右平移 3366（8）函数y?arccos(cosx)(x?[???,])的图像是（ ） 22

二、只要求直接写出结果 （1）求函数y?tan2x的定义域； 3x2y2（2）已知方程??1表示双曲线，求?的范围；

2??1??（3）若(1?x)的展开式中，x3的系数等于x7的系数，求n； （4）求极限lim(n??n1232n?????)； 2222n?1n?1n?1n?12（5）在抛物线y?4x上求一点，使该点到直线y?4x?5的距离为最短；

（6）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数

（7）一个正三棱台的下底和上底周长分别为30cm和12cm，而层面积等于两底面积之差，求斜高

三、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值

四、如图三棱锥P?ABC中，已知PA?BC，PA?BC?L，PA、BC的公垂线ED?h，求证：三棱锥P?ABC的的体积V?

12Lh 64(a?1)2a(a?1)2五、设对所有实数x，不等式xlog2?2xlog2?log2?0恒成立，求a的取值范围 2aa?14a2

六、设复数z1和z2满足关系式z1z2?Az1?Az2?0，其中A是不为零的复数，证明： （1）z1?A?z2?A?A； （2）

七、设数列a1,a2,?an,?的前n项和Sn与an的关系是Sn??ban?1?数，且b??1

（1）求an和an?1的关系式； （2）写出用n和b表示an的式子； （3）当0?b?1时，求limSn

n??2z1?Az1?A?

z2?Az2?A1，其中b是与n无关的常

(1?b)n

八、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y?x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标

九、附加题，不计入总分 （1）求极限lim(1?x??21x)； 2x2（2）设y?xln(1?x)，求y?

答案： 一、（1）B；（2）C；（3）B；（4）A；（5）B；（6）D；（7）B；（8）A； 二、（1）三、

3?1；（2）???1或???2；（3）8；（4）2；（5）(,1)；（6）72；（7）3 221 16四、证明略 五、0?a?1 六、证明略

?b?bn?1,b?1?bb?(1?b)(1?b)n?1七、（1）an?（2）an??；（3）limSn?1 an?1?(n?2)；n?1n??1?b(1?b)?n,b?1??2n?1八、最小值是

1252525，坐标是(,) )或(,?4242422x2九、（1）e；（2）y??ln(1?x)?

1?x2?

文史类

一、本题每一个小题都给出代号为A，B，C，D四个结论，其中只有一个是正确结论。把正确结论的代号写在题后的括号内。

（1）设S、T是两个非空集合，且SúT，TúS，令X?S?T，则S?X?（ ） A、X B、T C、? D、S

x2y2（2）椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，令c2?a2?b2，那么它的准线方程是（ ）

aba2b2a2b2A、y?? B、y?? C、x?? D、x??

cccc

（3）设log34?log48?log8m?log416，那么m等于（ ） A、

（4）复数sin40°?icos40°的辐角为（ ）

A、40° B、140° C、220° D、310°

（5）二次函数y?f(x)的图像如图所示，那么此函数为（ ） A、y?x?4 B、y?4?x C、y?

（6）在区间(??,0)上为增函数的是（ ） A、y??log1(?x) B、y?2229 B、9 C、18 D、27 233(4?x2) D、y?(2?x2) 44x22 C、y??(x?1) D、y?1?x 1?x

（7）已知平面上一点P在原坐标系的坐标是(0,m)(m?0)，而在平移后得到的新坐标系中的坐标为(m,0)，那么新坐标系的原点O?在原坐标系的坐标为（ ）

A、(?m,m) B、(m,?m) C、(m,m) D、(?m,m)

（8）要得到y?sin(2x?A、向左平移

?3)的图像，只要将y?sin2x的图像（ ）

???? B、向右平移 C、向左平移 D、向右平移 3366

二、只要求直接写出结果 （1）求y?sin2x的周期；

2x2y2（2）已知方程??1表示双曲线，求?的范围；

2??1??（3）若(1?x)的展开式中，x3的系数等于x7的系数，求n； （4）求极限lim(n??n1232n?????)； n2?1n2?1n2?1n2?1（5）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数； （6）求函数y?log2(1?2x?3x2)的定义域；

（7）圆锥底面面积为3?，母线与底面所成的角为60°，求它的体积

三、发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是t的函数：IA?Isin?t，

IB?Isin(?t?120°)，IC?Isin(?t?240°)，求IC?IB?IC的值

四、在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为2，数

四、如图三棱锥P?ABC中，已知PA?BC，PA?BC?L，PA、BC的公垂线ED?h，求证：三棱锥P?ABC的的体积V?

13?i，求第三个顶点表示的复2212Lh 64(a?1)2a(a?1)2六、设对所有实数x，不等式xlog2?2xlog2?log2?0恒成立，求a的取值范围 2aa?14a2

七、设数列a1,a2,?an,?的前n项和Sn与an的关系是Sn?kan?1，其中k是与n无关的常数，且b?1 （1）写出用n和k表示an的式子； （3）若limSn?1，求k的取值范围

n??

八、正方形ABCD在直角坐标系内，已知其中一条边AB在直线y?x?4上，C，D在抛物线x?y上，求正方形ABCD的面积

答案： 一、（1）A；（2）C；（3）B；（4）D（5）C；（6）B；（7）A；（8）D； 二、（1）三、0 四、

21?；（2）???1或???2；（3）8；（4）2；（5）72；（6）??x?1；（7）3?

3213?i或2?3i 22五、证明略 六、0?a?1

kn?11七、（1）an??；（2） k?(k?1)n2八、18或50

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