2020年江苏省南通市中考数学模拟试卷(一)

中考数学模拟试卷

题号一二三四总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工

智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为

（）

A. 5.8×1010

B. 5.8×1011

C. 58×109

D. 0.58×1011

2.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

A. 三棱柱

B. 圆柱

C. 六棱柱

D. 圆锥

3.在式子，，，中，x可以取到3和4的是（）

A. B. C. D.

4.下列计算正确的是（）

A. 2a?3a=6a

B. （-a3）2=a6

C. 6a÷2a=3a

D. （-2a）3=-6a3

5.如图所示，已知直线a，b，其中a∥b，点C在直线b

上，∠DCB=90°，若∠1=75°，则∠2=（）

A. 25°

B. 15°

C. 20°

D. 30°

6.已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（2m-1）x-3一定不经过（）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

7.一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）

A. 9π

B. 18π

C. 27π

D. 39π

8.2015年1月份，无锡市某周的日最低气温统计如下表，则这七天中日最低气温的众

数和中位数分别是（）

日期19202122232425

最低气温/℃2453467

4，45，44，34，4.5

9.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC

交于点D，过D作半圆的切线与边AC交于点E，过E作

EF∥AB，与BC交于点F．若AB=20，OF=7.5，则CD的长

为（）

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A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

10.如图，点P为函数y =（x＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P半径

为2，A（3，0），B（6，0），点Q是⊙P上的动点，点C是QB的中点，则AC 的最小值是（）

A. 2

B. 2

C. 4

D. 2

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.八边形的外角和是______．

12.如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若，AC=3，

则DC=______．

13.因式分解：a2（x-y）-4b2（x-y）=______．

14.京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，

将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120

千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（小时），求

清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为______．

15.已知a，b是一元二次方程x2+x-1=0的两根，则3a2-b的值是______．

16.已知A1，A2，A3是抛物线y =x2+1（x＞0）上的三点，且A1，A2，A3三点的横坐标

为连续的整数，连接A1A3，过A2作A2Q⊥x轴于点Q，交A1A3于点P，则线段PA2的长为______．

17.定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：

如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF=FB+BC．

如图2，△ABC中，∠ABC=60°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，BD=1，作DE⊥AB 交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC=______°．

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18.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=BD=3，

CD=2，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到

点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA-AC于点

Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，

则线段BP的长度是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛

100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．

四、解答题（本大题共9小题，共88.0分）

20.（1）计算：（）-1+3tan30°+|-2|

（2）解不等式组

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21.先化简，再求代数式的值：，其中m=1．

22.我校为了了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本校九年级部分学生的身

体素质测试成绩为样本，按A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，如图，请你结合图表所给信息解答下列问题：

（1）将条形统计图在图中补充完整；

（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是______；

（3）若我校九年级共有2000名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数为______人；

23.车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个

通过．

（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是______．

（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．

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24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，

∠BAD=45°，AC=3，AB =，求BD的长．

25.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满足a＞b

＞c，a+b+c=0．

（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；

（2）设这两个函数的图象交于A，B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1的长的取值范围．

26.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个

菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．

（1）求证：EB=GD；

（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG =，求GD的长．

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27.以点P为端点竖直向下的一条射线PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线

PN1，PN2，我们规定：∠N1PN2为点P的“摇摆角”，射线PN摇摆扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”（含PN1，PN2）．

在平面直角坐标系xOy中，点P（2，3）．

（1）当点P的摇摆角为60°时，请判断O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C （2+，0）属于点P的摇摆区域内的点是______（填写字母即可）；

（2）如果过点D（1，0），点E（5，0）的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为______°；

（3）⊙W的圆心坐标为（a，0），半径为1，如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°时的摇摆区域内，求a的取值范围．

28.已知抛物线C：y=（x+2）[t（x+1）-（x+3）]，其中-7≤t≤-2，且无论t取任何符合

条件的实数，点A，P都在抛物线C上．

（1）当t=-5 时，求抛物线C的对称轴；

（2）当-60≤n≤-30 时，判断点（1，n）是否在抛物线C上，并说明理由；

（3）如图，若点A在x轴上，过点A作线段AP的垂线交y轴于点B，交抛物线C 于点D，当点D的纵坐标为m +时，求S△PAD的最小值．

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：将580 00000000用科学记数法表示应为5.8×1010．

故选：A．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|

＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2.【答案】C

【解析】【分析】

由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【解答】

解：由俯视图可知有六个棱，再由主视图及左视图分析可知为六棱柱，

故选C．

3.【答案】C

【解析】解：中x≠3，不符合题意；

中x≠4，不符合题意；

中x-3＞0即x3，符合题意；

中x-4＞0，即x＞4，不符合题意；

故选：C．

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．本题考查二次根式及分式有意义的条件，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．4.【答案】B

【解析】解：∵2a?3a=6a2，

∴选项A不正确；

∵（-a3）2=a6，

∴选项B正确；

∵6a÷2a=3，

∴选项C不正确；

∵（-2a）3=-8a3，

∴选项D不正确．

故选：B．

A：根据单项式乘单项式的方法判断即可．

B：根据积的乘方的运算方法判断即可．

C：根据整式除法的运算方法判断即可．

D：根据积的乘方的运算方法判断即可．

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（1）此题主要考查了整式的除法，解答此题的关键是熟练掌握整式的除法法则：①单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m）n=a mn（m，n是正整数）；②（ab）n=a n b n（n是正整数）．

（3）此题还考查了单项式乘单项式的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

5.【答案】B

【解析】解：∵∠1=75°，∠1与∠3是对顶角，

∴∠3=∠1=75°，

∵a∥b，点C在直线b上，∠DCB=90°，

∴∠2+∠DCB+∠3=180°，

∴∠2=180°-∠3-∠DCB=180°-75°-90°=15°．

故选：B．

先根据对顶角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性

质即可得出结论．

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．

6.【答案】B

【解析】解：∵关于x的方程mx+3=4的解为x=1，

∴m+3=4，

∴m=1，

∴直线y=（2m-1）x-3为直线y=x-3，

∴直线y=（2m-1）x-3一定不经过第二象限，

故选：B．

关于x的方程mx+3=4的解为x=1，于是得到m+3=4，求得m=1，得到直线y=x-3，于是得到结论．

本题考查了一次函数与一元一次方程，求得m的值是解题的关键．

7.【答案】B

【解析】【分析】

利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形可求得圆锥底面半径和母线长，进而可求得圆锥的侧面积．

本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．

【解答】

解：设展开图的扇形的半径为R，圆锥的底面半径为r，则有2πr=πR，即R=2r，由勾股定理得，

R2=4r2=r2+（3）2，

∴r=3，R=6，底面周长=6π，圆锥的侧面积=×6π×6=18π．

故选：B．

8.【答案】A

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【解析】解：将一周气温按从小到大的顺序排列为2，3，4，4，5，6，7，

中位数为第四个数4；

4出现了2次，故众数为4．

故选：A．

众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

9.【答案】C

【解析】解：连结AD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠ADE=90°，∠2+∠C=90°，

∵DE为切线，

∴ED=EA，

∴∠ADE=∠2，

∴∠1=∠C，

∴ED=EC，

∴CE=AE，

∵EF∥AB，

∴EF为△ABC的中位线，

∴BF=CF，

而BO=AO，

∴OF为△ABC的中位线，

∴OF∥AE，

∴AE=OF=7.5，

∴AC=2AE=15，

在Rt△ACD中，BC ===25，

∵∠DCA=∠ACB，

∴△CDA∽△CAB，

∴=，即=，

∴CD=9．

故选：C．

连结AD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线长定理得到ED=EA，则∠ADE=∠2，于是利用等角的余角相等得∠1=∠C，则AE=DE=CE，则可判断EF为△ABC 的中位线，得到BF=CF，接着可判断OF为△ABC的中位线，得到OF∥AE，所以

AE=OF=7.5，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理计算出BC=25，再证明△CDA∽△CAB，于是利用相似比可计算出CD．

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．

10.【答案】A

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【解析】解：∵点P为函数y =（x＞0）的图象上

一点，且到两坐标轴距离相等，

∴可设P（x，x）（x＞0），则x =，解得x=±4（负

值舍去），

∴点P（4，4）．

如图，连接OP交⊙P于点Q′，连接BQ′，取

BQ′的中点C′，连接AC′，此时AC′最小．

∵A（3，0），B（6，0），点C是QB的中点，

∴OA=AB，CB=CQ，

∴AC =OQ．

当Q运动到Q′时，OQ最小，

此时AC的最小值AC′=OQ′=（OP-PQ′）=2-1．

故选：A．

易求点P（4，4），连接OP交⊙P于点Q′，连接BQ′．因为OA=AB，CB=CQ，所以AC =OQ，所以当OQ最小时，AC最小，Q运动到Q′时，OQ最小，由此即可解决

问题．

本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

11.【答案】360°

【解析】解：八边形的外角和是360度．

故答案为：360°．

任何凸多边形的外角和都是360度．

本题考查了多边形的内角与外角的知识，多边形的外角和是360度，不随着边数的变化而变化．

12.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理找出△DEC∽△ABC 是解题的关键.

由DE∥AB可得出△DEC∽△ABC ，根据相似三角形的性质可得出=（）2=，再结

合AC=3即可求出DC的长度.

【解答】

解：∵DE∥AB，

∴△DEC∽△ABC，

∴=（）2=，

∴=．

又∵AC=3，

∴DC=2．

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故答案为2.

13.【答案】（x-y）（a+2b）（a-2b）

【解析】解：a2（x-y）-4b2（x-y）

=（x-y）（a2-4b2）

=（x-y）（a+2b）（a-2b）．

故答案为：（x-y）（a+2b）（a-2b）．

直接提取公因式（x-y），进而利用平方差公式分解因式即可．

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

14.【答案】

【解析】【分析】

由题设清华园隧道全长为x千米，根据“地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（小

时）”列出方程．

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

【解答】

解：设清华园隧道全长为x千米，则地上区间全长为（11-x）千米，

依题意得：．

故答案是：．

15.【答案】8

【解析】解：由题意可知：a+b=-1，ab=-1，

a2+a=1，

∴原式=3（1-a）-b +

=3-3a-b +

=3-2a-（a+b）+

=3-2a +1+

=4-2a +

=4+

=4+

=4+4

=8，

故答案为：8．

根据根与系数的关系即可求出答案．

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用各根与系数的关系，本题属于基础题型．

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16.【答案】

【解析】解：设A1、A2、A3三点的横坐标依次

为n-1、n、n+1，

则A1M =（n-1）2+1，

A2Q =n2+1，

A3N =（n+1）2+1，

设直线A1A3的解析式为y=kx+b．

∴

解得，

∴直线A1A3的解析式为y=nx -n2+．

∴PB2=n2-n2+=n2+

∴PA2=PB2-A2Q =n2+-n2-1=，

故答案为．

设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，代入函数解析式就可以求出三个点的坐标，再根据待定系数法就可以求出直线A1A3的解析式．求出直线PQ与A1A3的交点坐标，进而求出PA2的长．

本题主要考查了函数图象上的点与解析式的关系，点在图象上，就一定满足函数的解析式．

17.【答案】60

【解析】解：如图2，连接OA、OC、OE，

∵AB=8，BC=6，BD=1，

∴AD=7，BD+BC=7，

∴AD=BD+BC，

而ED⊥AB，

∴点E为弧ABC的中点，即弧AE=弧CE，

∴∠AOE=∠COE，

∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，

∴∠AOE=∠COE=120°，

∴∠CAE =∠COE=60°．

故答案为60°．

如图2，连接OA、OC、OE，先计算得到AD=BD+BC=7，则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧ABC的中点，即弧AE=弧CE，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOE=∠COE，接着利用圆周角得到∠AOC=2∠ABC=120°，则可得到∠AOE=∠COE=120°，然后再利用圆

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周角定理得到∠CAE的度数．

本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形外心的定义和外心的性质．也考查了圆周角定理．

18.【答案】或4

【解析】解：①点Q在AB边上时，

∵AD⊥BC，AD=BD=3，CD=2，

∴S△ABD =BD?AD =×3×3=，∠B=45°，

∵PQ⊥BC，

∴BP=PQ，

设BP=x，则PQ=x，

∵CD=2，

∴S△DCQ =×2x=x，

S△AQD=S△ABD-S△BQD

=-×3×x

=-x

∵△ADQ与△CDQ的面积相等，

∴x =-x，

解得x =；

②如图

当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，

∵AD⊥BC，

∴Q'P'∥AD，

∵△ADQ与△CDQ的面积相等，

∴AQ'=CQ'，

∴AQ'=CQ'，

∴DP'=CP '=CD=1，

∵AD=BD=3，

∴BP'=BD+DP'=4，

综上所述，线段BP 的长度是或4．

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故答案为：或4．

分两种情况计算：①点Q在AB边上时，先求出△ABD的面积，设BP=x，再将△DCQ

和△AQD的面积用x表示出来，由面积相等建立方程求解即可；②当Q在AC上时，由面积相等可得点Q'是AC中点，进而得出点P'是CD的中点，从而求出DP'，则可得BP 的长．

本题考查了动点问题中相关线段的计算，数形结合、分类讨论及利用面积关系建立方程是解题的关键．

19.【答案】解：∵AB为南北方向，

∴△AEP和△BEP分别为直角三角形，

在Rt△AEP中，

∠APE=90°-60°=30°，

AE =AP =×100=50海里，

∴EP=100×cos30°=50海里，

在Rt△BEP中，

BE=EP =50海里，

∴AB=（50+50）海里．

答：测量船从A处航行到B处的路程为（50+50）海里．

【解析】将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△BEP和Rt△BEP中求解．要利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和等腰直角三角形的性质解答．

本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，找到题目中的特殊角并熟悉解直角三角形是解题的关键．

20.【答案】解：（1）原式=3-2++2-

=5-2；

（2），

解①得x≥-1，

解②得x＜3，

所以不等式组的解集为-1≤x＜3．

【解析】（1）根据负整数指数幂、平方根的意义和特殊角的三角函数值，绝对值的性质进行计算；

（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．

本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

21.【答案】解：原式=?

=，

当m=1时，原式=-0.5．

【解析】根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．

本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

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22.【答案】72°1800

【解析】解：（1）A所占的百分比是1-40%-30%-10%=20%，

抽取的总人数是：=100（人），

A的人数有100×20%=20（人），补图如下：

（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是360°×20%=72°；

故答案为：72°；

（3）根据题意得：

2000×（1-10%）=1800（人），

答：测试成绩合格以上（含合格）的人数为1800人．

（1）首先根据两种统计图中的B级的人数和所占的百分率求得总人数，然后即可求的A级的人数，从而补全统计图；

（2）求的A级所占的百分比后乘以360°即可求的其圆心角的度数；

（3）用总人数乘以合格的百分率即可求的合格的人数．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23.【答案】（1）

（2）设两辆车为甲，乙，

如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，

∴选择不同通道通过的概率==．

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【解析】解：（1）选择A通道通过的概率=，

故答案为：；

（2）见答案

（1）根据概率公式即可得到结论；

（2）画出树状图即可得到结论．

本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．

24.【答案】解：过D作DE⊥AB于点E，如图所示，

∵∠BAD=45°，

∴∠EAD=∠EDA=45°，

∴AE=DE，

设DE=a，则BE=AB-AE =3-a，

∵AC=3，AB =，∠C=90°，

∴S△ABD =，

∴，BD =a，

Rt△BED中，由勾股定理得：BD2=BE2+DE2，

∴，

解得：a =-3（舍）或，

∴BD =a=5，

即BD的长是5．

【解析】作辅助线，设DE=a，根据等积法可以得到BD与a的关系，利用勾股定理列方程可得BD的长．

本题考查勾股定理，解题的关键是作辅助线，构建等腰直角三角形，并根据参数列方程解决问题．

25.【答案】解：（1）联立方程得：ax2+2bx+c=0，

△=4（a2+ac+c2），

∵a＞b＞c，a+b+c=0，

∴a＞0，c＜0，

∴△＞0，

∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）设方程的两根为x1，x2，则

|A1B1|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，

=（-）2-==，

=4[（）2++1]，

=4[（+）2+]，

∵a＞b＞c，a+b+c=0，

∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，

∴-2＜＜-，

此时3＜A1B12＜12，

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∴＜|A1B1|＜2．

【解析】（1）首先将两函数联立得出ax2-2bx+c=0，再利用根的判别式得出它的符号即可；

（2）利用线段AB在x轴上的射影A1B1长的平方，以及a，b，c的符号得出|A1B1|的范围即可．

此题主要考查了二次函数的综合应用以及根的判别式等知识，熟练利用根的判别式以及两点之间的距离是解题关键．

26.【答案】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形

ABCD，

∴∠EAG=∠BAD，

∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，

∴∠EAB=∠GAD，

∵AE=AG，AB=AD，

∴△AEB≌△AGD，

∴EB=GD；

（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，

∵∠DAB=60°，

∴∠PAB=30°，

∴BP =AB=1，

AP ==，AE=AG =，

∴EP =2，

∴EB ===，

∴GD =．

【解析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；

（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP =AB=1，然后求得

EP =2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．

本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．

27.【答案】解：（1）B、C；

（2）90；

（3）如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°时的摇摆区域内，

此时⊙W与射线PN1相切，

设直线PN1与x轴交于点M，⊙W与射线PN1相切于点N，P为端点竖直向下的一条射线PN与x轴交于点Q，

由定义可知：∠PMW=60°，

∵NW=1，PQ=3，

∴sin∠PMW =，tan∠PMW =

∴MW =，MQ =，

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第19页，共22页 ∴OM =2-，

∴OW =OM +MW =2-+=2- ∴此时W 的坐标为：（2-，0）

由对称性可知：当⊙W 与射线PN 2相切时，

此时W 的坐标为：（2+，0）

∴a 的范围为：2-≤a ≤2+

【解析】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，

锐角三角函数，圆的切线判定与性质，等腰直角

三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．

（1）根据点P 的摇摆区域的定义出图图形后即可作出判断；

（2）根据题意分情况讨论，然后根据对称性即可求出此时点P 的摇摆角；

（3）如果⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60°时的摇摆区域内，此时⊙W 与射线PN 1相切，设直线PN 1与x 轴交于点M ，⊙W 与射线PN 1相切于点N ，P 为端点竖直向

下的一条射线PN 与x 轴交于点Q ，根据特殊角锐角三角函数即可求出OM ，

OW 的长度，从而可求出a 的范围．

【解答】

解：（1）根据“摇摆角”作出图形，如图所示，

将O、A、B、C四点在平面直角坐标系中描出，

后，

可以发现，B、C在点P的摇摆区域内，

故属于点P的摇摆区域内的点是B、C

（2）如图所示，当射线PN1过点D时，

由对称性可知，此时点E不在点P的摇摆区域内，

当射线PN2过点E时，

由对称性可知，此时点D在点P的摇摆区域内，

易知：此时PQ=QE，

∴∠EPQ=45°，

∴如果过点D（1，0），点E（5，0）的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为90°

（3）如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°

时的摇摆区域内，

此时⊙W与射线PN1相切，

设直线PN1与x轴交于点M，⊙W与射线PN1相

切于点N，P为端点竖直向下的一条射线PN与x

轴交于点Q，

由定义可知：∠PMW=60°，

∵NW=1，PQ=3，

∴sin∠PMW =，tan∠PMW =

∴MW =，MQ =，

∴OM =2-，

∴OW=OM+MW =2-+=2-

∴此时W的坐标为：（2-，0）

由对称性可知：当⊙W与射线PN2相切时，

此时W的坐标为：（2+，0）

∴a的范围为：2-≤a ≤2+

28.【答案】解：

（1）当t=-5时，y=-6x2-20x-16，

∵-=-，

∴对称轴为x =-；

（2）若（1，n）在抛物线上，将点（1，n）代入解析式，得n=6t-12，

∵-7≤t≤-2，

∴-54≤n≤-24，

∵-60≤n≤-30，

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∴当-60≤n＜-54时，点（1，n）不在抛物线C上；

当-54≤n≤-30时，点（1，n）在抛物线C上．

（3）由题得A（-2，0），P（-1，-2），

过点P作PN⊥x轴于点N，过D作DM⊥x轴于点M，

∴PN=AO=2，∠PNA=∠AOB=90°，

∵PA⊥AB，

∴∠PAN+∠BAO=90°，

又∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠PAN=∠ABO，

在△PAN和△ABO中

∴△PAN≌△ABO（AAS），

∴BO=AN=AO-NO=2-1=1，

∴PA=AB =，

∵∠DMA=∠BOA=90°，且∠DAM=∠BAO，

∴△DAM∽△BAO，

∴=，

∵点D的纵坐标为m +，

∴AD =（m +），

∴S△PAD =AP?AD =××（m +）=（m +）=m +

∵A（-2，0），B（0，1），

∴直线AB的解析式为y =x+1，当y=m +时，x=2m-1，

∴D点坐标为（2m-1，m +），代入抛物线C的解析式可得t =1+，∵-7≤t≤-2，

∴-≤m≤-，且m +＞0，

∴S△PAD =m +，

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