福建省2012届高三质量检查试题数学理（word版）

2012年福建省普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷

共5页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s=11222?? V=Sh (x?x)?(x?x)?…?(x?x)12n??3n

其中S为底面面积，h为高 球的表面积、体积公式

2 S?4?R，V?其中x为样本平均数 柱体体积公式

V=Sh

43 ?R3其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在复平面上，复数z?(?2?i)i的对应点所在象限是 A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2．平面向量a??2,1?，b??m,?2?，若a与b共线，则m的值为（ ） A．?1 B．?4 C．1 D．4

x2y23．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线方程是2x?y?0，则其离心率为（ ）

ab1

A．5 B．

5 2C．3 D．5

4．若集合A?{x|x2?x?2?0}，B?{x|?2?x?a}， 则“A?B??”的充要条件是 A． a??2 B．a??2 C．a??1 D．a??1 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x2的值是

A．2 B．

93 C． D．3 226．已知?an?是公差为2的等差数列，且a1,a3,a4成等比数列，则数列?an?的前9项和等于

A．0 B．8 C．144 D．162

7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是

A．2或22 B．22或?22 C．?2或?22 D．2或?22 8．设a?0，若关于x的不等式x?最小值为

A． 16

B． 9 C．

4

D． 2

a?5在x?(1,??）恒成立， 则a 的x?19．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是

A．1 B．1 C．1 D．1

242414410．定义在R上的函数f(x)及其导函数f?(x) 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a,b(a?b)，有

f?(a)?0,f?(b)?0．现给出如下结论：

①?x0?[a,b],f(x0）=0；②?x0?[a,b],f(x0）?f(b)；

③?x0?[a,b],f(x0）?f(a)；④?x0?[a,b],f(a）?f(b)?f?(x0)(a?b). 其中结论正确的个数是

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．

??x?2323?1?dx? . 15)展开式的常数项是 ． 2x2

12．(x?

13．圆C过坐标原点，圆心在x轴的正半轴上．若圆C被直线x?y?0截得的弦长为22,则圆C的方程是__________．

?x?2y?0,?14．在平面直角坐标系中，不等式组?2x?y?0,（a?0）表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0

?x?a?过该平面区域，则m的最大值是 .

15．对于非空实数集A，记A*?{y?设非空实数集合M?P，若m?1时，则m?P． 现x?Ay,?x}．

给出以下命题：

①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有P*?M*； ②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M*?P??； ③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M?P*??；

④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的b?M*，恒有a?b?P*， 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)

阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

sin(???)?sin?cos??cos?sin?------①

sin(???)?sin?cos??cos?sin?------②

由①+② 得sin??????sin??????2sin?cos?------③

A?BA?B,?? 22A?BA?Bcos代入③得 sinA?sinB?2sin. 22令????A,????B 有?? (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

cosA?cosB??2sinA?BA?Bsin; 22 (Ⅱ)若?ABC的三个内角A,B,C满足cos2A?cos2B?1?cos2C,试判断?ABC的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 17. (本小题满分13分)

在直角梯形ABCD中，AD??BC，BC?2AD?2AB?22,?ABC?90,如图（1）．把?ABD沿BD翻折，使得平面ABD?平面BCD.

3

?

（Ⅰ）求证：CD?AB；

（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；

（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60？若存在，求出若不存在，说明理由．

?BN的值；BC

18. (本小题满分13分)

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第三组 第四组 PM2.5（微克/立方米） (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] (60,75] (75,90) 频数（天） 4 12 8 8 4 4 频率 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 (Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；

（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为?，求?的分布列及数学期望E（?）． 19. (本小题满分13分)

已知F,0),F2(1,0)为平面内的两个定点，动点P满足PF1?PF2?22,记点P的轨迹为曲线?． 1(?1（Ⅰ）求曲线?的方程；

?????????????（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线?上的不同三点，且OA?OB?OC?0．

4

（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；

AB、OC与x轴所围成的三角形的面积． （ⅱ）当直线AB过点F1时，求直线

20．(本小题满分14分)

设函数f(x)的图象是由函数g(x)?cosx?3sinxcosx?（1）将函数g(x)的图象向右平移

数h(x)的图象；

（2）将函数h(x)的图象上各点的纵坐标缩短为原来的m(0?m?1)倍（横坐标不变），并将图象向

21的图象经下列两个步骤变换得到： 2?个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函122上平移1个单位，得到函数f(x)的图象． （Ⅰ）求f(x)的表达式；

（Ⅱ）判断方程f(x)?x的实根的个数，证明你的结论；

（Ⅲ）设数列{an}满足a1?0,an?1?f(an)，试探究数列{an}的单调性，并加以证明．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按

所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知向量??1?1??在矩阵M???0??1??2m??0????变换下得到的向量是． ???1???1??1（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）求曲线y?x?y?0在矩阵M对应的线性变换作用下得到的曲线方程．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点M的极坐标

??x?1?2cos?,C４2,)，曲线的参数方程为?(?为参数）为(．

4??y?2sin??（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 设实数a,b满足2a?b?9．

（Ⅰ）若9?b?a?3，求x的取值范围； （Ⅱ）若a,b?0，且z?ab，求z的最大值．

5

2

2011年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法

与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，

可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．A； 7．D； 8．C； 9．B； 10．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．

2 11．4 ； 12．10； 13．?x?2??y?4； 14．4； 15．①④．

23 三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求

解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．

解法一：(Ⅰ)证明:因为cos(???)?cos?cos??sin?sin?，------①

cos(???)?cos?cos??sin?sin?，------②?????????????????2分

①-② 得cos(???)?cos(???)??2sin?sin?.------③????????????3分

A?BA?B,??， 22A?BA?Bsin代入③得cosA?cosB??2sin.???????????????6分 22令????A,????B有??(Ⅱ)由二倍角公式,cos2A?cos2B?1?cos2C可化为

1?2sinA?1?2sinB?1?1?2sinC,?????????????????9分 所以sinA?sinC?sinB.?????????????????10分

设?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

由正弦定理可得a?c?b.????????????????12分

6

222222222

根据勾股定理的逆定理知?ABC为直角三角形.?????????????????13分 解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2A?cos2B?1?cos2C可化为

?2sin?A?B?sin?A?B??1?1?2sin2C，?????????????????8分 因为A,B,C为?ABC的内角，所以A?B?C??，

所以?sin?A?B?sin?A?B??sin2?A?B?. 又因为0?A?B??，所以sin?A?B??0, 所以sin?A?B??sin?A?B??0.

从而2sinAcosB?0.?????????????????10分 又sinA?0,所以cosB?0，故?B??2.?????????????????12分

所以?ABC为直角三角形. ?????????????????13分

17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能

力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．

解法一：（Ⅰ）由已知条件可得BD?2,CD?2,CD?BD．????????????2分 ∵平面ABD?平面BCD，平面ABD?平面BCD?BD． ∴CD?平面ABD．??????????????3分

又∵AB?平面ABD，∴CD?AB．??????????????4分

（Ⅱ）以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0)．

????????∴CD?(0,?2,0),AD?(?1,0,?1)．??????6分

设平面ACD的法向量为n?(x,y,z)， 则CD?n,AD?n∴??y?0,

?x?z?0,令x?1，得平面ACD的一个法向量为n?(1,0,?1)，

??????n?MC∴点M到平面ACD的距离d???????2．?????????????????8分

2MC7

（Ⅲ）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60．????????9分

?????????设BN??BC,0???1，则N(2?2?,2?,0)， ????∴AN?(1?2?,2?,?1)，

又∵平面ACD的法向量n?(1,0,?1)且直线AN与平面ACD所成角为60，

??????AN?n3，?????????????????11分 0∴sin60???????2AN?n可得8??2??1?0， ∴??211或???（舍去）． 42?综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60，此时解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）由已知条件可得AB?AD，AB?AD?BN1?．????13分 BC42，∴S?ABD?1AB?AD?1． 2由（Ⅰ）知CD?平面ABD，即CD为三棱锥C-ABD的高，又CD=2， ∴VC?ABD?12CD?S?ABD?， 331，??????????6分 2又∵点M为线段BC中点，

∴ 点M到平面ACD的距离等于点Ｂ到平面ACD的距离的∴VM?ADC?111VB?ADC?VC?ABD?， 2231AD?DC?2， 2设点M到平面ACD的距离为d，则1d?S?ADC?1，即1?d?2?1

3333∵CD?AD，AD=2,CD=2，∴S?ACD?解得d=

22，∴设点M到平面ACD的距离等于.?????????????8分 22（Ⅲ）同解法一． 解法三：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）∵点M为线段BC中点，

∴ 点M到平面ACD的距离等于点Ｂ到平面ACD的距离的由已知条件可得AB?AD，由（Ⅰ）知AB?CD，

1，????????????6分 28

又AD?CD?D，∴ AB?平面ACD， ∴点Ｂ到平面ACD的距离等于线段AB的长． ∵AB?2，∴设点M到平面ACD的距离等于

（Ⅲ）同解法一．

18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．

解：(Ⅰ) 众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．??????????????4分 （Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为

2?????????????????8分 27.5?0.1?22.5?0.3?37.5?0.2?52.5?0.2?67.5?0.1?82.5?0.1?40.5（微克/立方

米）．???????6分

因为40.5?35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进．?????????????????8分

（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则

P(A)?9.??????9分 10随机变量?的可能取值为0,1,2.且??B(2,9). 10所以P(??k)?C2(k9k9)(1?)2?k(k?0,1,2)，????????????????11分 1010所以变量?的分布列为

? p 0 1 2 1 10018 10081 100????????????????12分

E??0?118819?1??2??1.8（天）,或E??nP?2??1.8（天）. ????????13分 1001001001019．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运

算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．

解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点P到两定点F,0),F2(?1,0)的距离之和为定值22， 1(19

所以点P的轨迹是以F,0),F2(?1,0)为焦点的椭圆．????????????????2分 1(1又a?2，c?1，所以b?1，

x2?y2?1．????????????????4分 故所求方程为2（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)．

?????????????由OA?OB?OC?0，得x1?x2?x3?0，y1?y2?y3?0．??????????5分

（ⅰ）可设直线AB的方程为y?kx?n(k?0)，

代入x2?2y2?2并整理得，(1?2k2)x2?4knx?2n2?2?0，

4kn2ny?y?k(x?x)?2n?，， 12121?2k21?2k24kn2n1,?)k??从而可得点C的坐标为(，． OC221?2k1?2k2k1因为kAB?kOC??，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．???????????8分

2依题意，??0，则 x1?x2???????????????22（ⅱ）若AB?x轴时，A(?1,),B(?1,?),由OA?OB?OC?0，

22得点C(2,0)，所以点C不在椭圆?上，不合题意． 因此直线AB的斜率存在．???????????9分

4k22kn?kC(,?)． 由（ⅰ）可知，当直线AB过点F时, 有，点的坐标为1221?2k1?2k16k48k2224k?1?2k 代入x?2y?2得，，即， ??22222(1?2k)(1?2k)22所以k??2． ???????????11分 2122时，由（ⅰ）知，k?kOC??，从而kOC??．

222（1）当k?OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，故AB、其底边长为1，且底边上的高h?122??，224所求等腰三角形的面积S?122?1??． 24810

（2）当k??122时，又由（ⅰ）知，k?kOC??，从而kOC?，

222同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为

2． 82．???????13分 8 综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)．

?????????????由OA?OB?OC?0得：x1?x2?x3?0，y1?y2?y3?0．?????????5分

（ⅰ）因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在椭圆上，所以有：x12?2y12?2，x22?2y22?2， 两式相减，得(x1?x2)(x1?x2)?2(y1?y2)(y1?y2)?0， 从而有

y1?y2y1?y21???．

x1?x2x1?x22y3， x3又y1?y2??y3，kOC?所以kAB?kOC??1，即直线AB与OC的斜率之积为定值．????????????8分 2（ⅱ）同解法一．

20．本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运

算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分.

解:(Ⅰ)g?x??cosx?3sinxcosx?211?cos2x31??sin2x? ???????2分 222213????cos2x?sin2x?sin?2x????????????3分 226???h?x??sinx,??????????4分 f?x??msinx?1.??????????5分

(Ⅱ)方程f(x)?x有且只有一个实根. ??????????6分 理由如下：

11

由(Ⅰ)知f?x??msinx?1，令F?x??f?x??x?msinx?x?1, 因为F?0??1?0,又因为0?m?1?3????,所以F???m??1???0. 2222?2?所以F?x??0在?0,又因为F'?????至少有一个根. ??????????7分 2?1?0, 2?x??mcosx?1?m?1??所以函数F?x?在R上单调递减,

所以函数F?x?在R上有且只有一个零点，

即方程f?x??x有且只有一个实根. ??????????9分 (Ⅲ)因为a1?0,an?1?f?an??msinan?1,所以a2?1?a1,

又 a3?msin1?1，因为0?1??，所以0?sin1?1，所以a3?1?a2．

2由此猜测an?an?1(n?2),即数列?an?是单调递增数列. ??????????11分 以下用数学归纳法证明:n?N,且n?2时,an?an?1?0成立. (1)当n?2时,a2?1,a1?0,显然有a2?a1?0成立.

(2)假设n?k(k?2)时,命题成立，即ak?ak?1?0(k?2)．??????????12分 则n?k?1时,ak?1?f?ak??msinak?1，

11?，所以ak?f?ak?1??msinak?1?1?m?1??1?． 222?上单调递增，0?a?a??，

又sinx在0,k?1k22因为0?m???所以sinak?sinak?1?0，所以msinak?1?msinak?1?1， 即sinak?1?msinak?1?1?f(ak?1)?ak?0， 即n?k?1时,命题成立. ??????????13分 综合(1) ,(2)，n?N,且n?2时, an?an?1成立. 故数列?an?为单调递增数列. ??????????14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

12

本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分． 解：（Ⅰ）因为???1?0m??1??1?m?????， ???????1???1???1?所以???1?m??0???，即m=1．????????????????3分 ???????1???1??11??1?1?，所以M??1??0??1??．?????????????4分 1??1（Ⅱ）因为M???0?设曲线y2?x?y?0上任意一点(x,y)在矩阵M由?所对应的线性变换作用下的像是(x?,y?).

?x???1?1??x??x?y?， ?????????????????5分 ??????????y???01??y??y??x?y?x?,?x?x??y?,所以?得?代入曲线y2?x?y?0得y?2?x?．?????????6分

?y?y??y?y?由(x,y)的任意性可知, 曲线y2?x?y?0在矩阵M?1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2?x. ??????7分

（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程

本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．

４2,解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(?4)得点M的直角坐标为(４,4)，

所以直线OM的直角坐标方程为y?x．????????????????3分

??x?1?2cos?,(?为参数）（Ⅱ）由曲线C的参数方程?

??y?2sin?化为普通方程为(x?1)2?y2?2，???????????5分 圆心为A(1,0),，半径为r?2．

由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA?r?5?2．????7分 （3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲

本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．

解：（Ⅰ）由2a?b?9得9?b?2a，即|6?b|?2|a|． 所以9?b?a?3可化为3a?3，即a?1，解得?1?a?1． 所以a的取值范围?1?a?1．????????????????4分

13

（Ⅱ）因为a,b?0，

2所以z?ab?a?a?b?(a?a?b32a?b3)?()?33?27，?????????????6分 33当且仅当a?b?3时，等号成立．

故z的最大值为27．????????????????7分

14

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