复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)

复变函数与积分变换期末考试试卷（A卷）

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第四象限的复数是（ ）

A. 4+3i B. -3-3i C.-1+3i D.5-3i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） z=Re (z·z) A. z·

B.arg( 3i) arg( i)

C.Arg(3) arg(3)

D.z |z|2

3．不等式 |z| 3 所表示的区域为（ ） A. 圆的外部 4．积分

B.上半平面 C. 角形区域

D.圆的内部

2

|z| 3z 2dz的值为（ ）

A. 8 i B.2 C. 2 i D. 4 i 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）

A. ez

( )B.sinz ez C.tanz ez D.Rez

siz n

6．在复平面上，下列命题中，错误的是（ ）

．．A. cosz是周期函数

z

B. e是解析函数

z

C.eiz cosz isinz

D.

|z|

7

．在下列复数中，使得e 成立的是（ ）

A.z ln2 2 i

i

4

B.z ln4 2 i

i

4

C.z ln2 2 i 2i D.z ln4

ezdz

8．设C为正向圆周|z| 1, 则积分 等于（ ）

ccosz

A．2π B．2πi C．0 D．－2π 9．设C为正向圆周|z| 2, 则

1

C(z 1 i)2dz等于（ ）

D. 2 i

1

B. 0 C.2 i 2 i

10．以下关于级数的命题不正确的是（ ）

A.

复变函数与积分变换 第 1 页 共 6页

3 2i

A.级数 是绝对收敛的

7 n 0

n

B.级数

1 i

n 是收敛的 2n(n 1)n 2

1( 1)ni

C.级数 n 是收敛的

n n 0 2

3

D.级数

1i

n 是收敛的

n n 2 2

11．已知z 1 i，则下列正确的是（ ）

i

A.z 12

B.z 3 i

4

C.z 7 i12

i

D.z 3

12．下列关于幂级数的叙述，不正确 的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外，幂级数发散 C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散 D.在收敛圆周上，条件收敛

ez13．z 0是函数的（ ）

zsinz

A.本性奇点 C.二级极点 14．

B.一级极点 D.可去奇点

zcosz

在点 z 处的留数为（ ） z

A. B.

C.1 D. -1

15．关于 limA. 0

Imz

下列命题正确的是（ ）

z 0z

B. 不存在 C. 1

D. 1

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

16.复数z sin

icos的三角形式为____________. 33

2

2

17. 已知f(z) (x ay x) i(bxy y)在复平面上可导，则a b _________. 18. 设函数f(z)=

z

3tetdt，则f(z)等于____________.

(-1)nn

19. 幂极数 2z的收敛半径为_______.

n 1n

20.

设z1 1 i,z2 1，求

z1 z2

____________.

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C为从原点到2＋3i的直线段，计算积分I

复变函数与积分变换 第 2 页 共 6页

[(x 2y) ixy]dz

C

ez

cosz. (1)求f(z)的解析区域，22. 设f(z) （2）求f (z). 2

4 z

23. 将函数f(z)

1

在点z 0处展开为泰勒级数.

(z 1)(z 2)

1z 1

24. 将函数f(z)

e

在圆环0 |z 1| 内展开成洛朗级数. 2

(z 1)

四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）

25．已知u(x,y) x2 y2 2x，求一解析函数f(z) u(x,y) iv(x,y)，并使f(0) 2i。

26. 计算

|z |

dz

2(z 12)z( 1z) (

.

3)

1,

27. 求函数f(t) 1,

0,

1 t 0

0 t 1的傅氏变换。 其它

28．求函数 f(t) cos3t 的拉氏变换

复变函数与积分变换期末试卷答案

一、选择题

1．D. 2. C. 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 9.B 10.D 11.B 12.D 13.C 14.A 15.B

二、填空题 16．z cos

6

isin

6

, 17. 1, 18. 3(ze e 1),

zz

19. 1,

20.

复变函数与积分变换 第 3 页 共 6页

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C为从原点到2＋3i的直线段，计算积分I

[(x 2y) ixy]dz

C

解：设曲线C的参数方程为C:z (2 3i)t0 t 1. 2分

I [(x 2y) ixy]dz (2t 6t 6t2i)(2 3i)dt 2分

C

1

( 4t 6t2i)(2 3i)dt (2 3i)( 2t2 2t3i)|10 2分

1

10 2i. 22. 设f(z) ez

4 z

2

cosz. (1)求f(z)的解析区域，（2）求f (z). 解：(1)由方程 4 z2

0得z 2， 故f(z)的解析区域为C\{2, 2}. z) ez

(2) f ( 4 z2

cosz ez(4 z2) ez(2z)(4 z2)2 sinz 所以f (z) ez(4 z2 2z)

(4 z2)2

sinz. 23. 将函数f(z)

1

(z 1)(z 2)

在点z 0处展开为泰勒级数.

解：f(z)

111

(z 1)(z 2) (z 2) (1 z)

1

1

(1 z)

2(1 z2

)

1 n

2 z

2 zn n 0 n 0

复变函数与积分变换 第 4 页 共 6页

1分

2分

1分

1分 2分

1分

1分

1分 3分

zn n

n 1 z 1分

n 02n 0

|z| 1. 1分

1

z 1

24. 将函数f(z)

e

在圆环0 |z 1| 内展开成洛朗级数. 2

(z 1)

zn

解：e的泰勒展式为e ， 2分

n!n 0

z

z

且为函数的孤立奇点， 1分

故e

1

z 1

的罗朗展式为e

1z 1

1

z 1 ， 2分 n!n 0

n

n

1

e1z 1所以f(z) 1分 22 (z 1)(z 1)n 0n!

1

z 1

1

. 1分 n 2

n!(z 1)n 0

四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）

22

25．已知u(x,y) x y 2x，求一解析函数f(z) u(x,y) iv(x,y)，并使f(0) 2i。

解：由柯西－黎曼方程得

v u

2y, 1分 x y

所以v(x,y)

x

2ydx C(y) 2xy C(y). 2分

v u 2x C (y) 2x 2, 2分 y x

所以C(y)

y

C (y)dx C 2y C. 1分

所以v(x,y) 2xy 2y C.

复变函数与积分变换 第 5 页 共 6页

从而f(z) x2 y2 2x (2xy 2y C).i

i所以C 2. 1分 又f(0) Ci 2.

所以f(z) x2 y2 2x (2xy 2y 2).i 1分

26. 计算

dz

|z |

2(z 12)z( 1z) (

.

3)

解：由柯西积分定理得 11原式 2 i

(z 1)(z 3)|z 1|

12

(z 1)2dz 2 i (z 1)2(z 3)

|z 1| 1dz 2

(z 1)2 i 1

2 i (z 1)(z 3)

(z 1)2(z 3)

z 1

z 1

2 i

2 2z2 i

(z 1)2(z 3)2

16

z 1

i

8

.

1, 1 t 0

27. 求函数f(t)

1,

0 t 1的傅氏变换。

0,其它

解： F( )

f(t)e i tdt 0

i t

1

1 e

dt 0

e i tdt i t0

i t

ei

e

i 1

1 ei e i i 1i

2i 2cos

. 28．求函数 f(t) cos3t 的拉氏变换 解：F(s)

f(t)e stdt 复变函数与积分变换 第 6 页 共 6页

1分

2分 3分

1分 1分 2分

1分

2分 2分

1分 2分

e

st

cos3tdt e

st

e3it e 3it

2分 2

1 (3i s)t1 ( 3i s)t

edt edt 1分 0022

1 11 2分 2 s 3is 3i

s

. 1分 2

s 9

复变函数与积分变换 第 7 页 共 6页

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