导数应用论文

导数的应用

目录

[摘要] ................................................................................................................................................ 2 一.引言.............................................................................................................................................. 2 二．导数的概念 ............................................................................................................................... 2 三．导数的求法 ............................................................................................................................... 3

1．显函数导数 ......................................................................................................................... 3

1．1导数的四则运算： .................................................................................................. 3 1．2复合函数与反函数求导法则 .................................................................................. 3 1．3基本初等函数求导公式 .......................................................................................... 3 2．隐函数导数 ......................................................................................................................... 4 3．由参数方程所确定的函数求导法 ..................................................................................... 4 4．分段函数的导数 ................................................................................................................. 4 四．导数的性质 ............................................................................................................................... 4 五．导数的应用 ............................................................................................................................... 5

1．导数在函数中的应用 ......................................................................................................... 5

1．1利用导数判断函数的单调性 .................................................................................. 6 1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 .......................................................................... 7 1．3利用导数求函数的极值和最值 .............................................................................. 8 1．4利用导数知识描绘函数图形 ................................................................................ 13 1．5利用导数求参数问题 ............................................................................................ 15 2．导数在曲线中的应用 ....................................................................................................... 16 3．利用导数研究方程的根 ................................................................................................... 17 4．应用导数证明不等式 ....................................................................................................... 17 5．导数在数列中的应用 ....................................................................................................... 18 6．利用导数求极限——洛必达法则 ................................................................................... 19

6．1“

0?”型和“”型 ............................................................................................. 19 0?6．2其他形式 ................................................................................................................ 20

7．物理学中的导数 ............................................................................................................... 20 8．经济学中的导数应用 ....................................................................................................... 21 结束语：......................................................................................................................................... 22 参考文献：..................................................................................................................................... 22

[摘要]

导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识

本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用

[关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用

一.引言

导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。

高考考查导数应用主要有以下三个方面：

①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，

②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。

③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。

二．导数的概念

1、定义：

f'(x)?limf(x)?f(x0)?yf(x??x)?f(x) ?lim?lim?x?0?x?x?0x?x0?xx?x0左导数：f?'(x)?lim??x?0f(x)?f(x0)?yf(x??x)?f(x) ?lim??lim?x?x0?x?x?0?xx?x0f(x)?f(x0)?yf(x??x)?f(x) ?lim??lim??x?0x?x?x?xx?x00右导数： f?'(x)?lim??x?0?f'(x)?A?f?'(x)?f?'(x)?A

可以证明：可导?连续 即：可导是连续的充分条件

连续是可导的必要条件

?yf(x??x)?f(x)?lim导函数：f(x)?y'?lim

?x?0?x?x?0?x

2.导数的几何意义（图1）

曲线y?f(x)在点x0处的导数f'(x0)在几何上表示为：曲线y?f(x)在点A(x0,y0)处切线的斜率。即f'(x0)?tan?（?是过A点的切线的倾斜角）（如图1）

则，曲线y?f(x)在点A(x0,y0)处切线方程为： y?y0?f'(x0)(x?x0)三．导数的求法

1．显函数导数 1．1导数的四则运算：

u'u'v?v'u (u?v)?u?v (uv)?uv?vu ()?vv2''''''1．2复合函数与反函数求导法则

yx'?yu'ux' (y?u?x) 复合函数求导法则

'yx?1 （反函数求导法则） x'y1．3基本初等函数求导公式

(c)'?0(c为常数)； (x?)'??x??1； (ax)'?axlna,(ex)'?ex；

(logax)'?(tanx)'?11,(lnx)'? ； (sinx)'?cosx ； (cosx)'??sinx ； xlnax111'(cotx)?? ； ； ； (arcsinx)'?2cos2xsin2x1?x

(arccosx)'??11?x2 ； (arctanx)'?11(arccotx)'?? ； 。

1?x21?x22．隐函数导数

如方程F(x,y)?0，能确定y?y(x)，只需对方程两边对x求导即可。注意

y?y(x)

3．由参数方程所确定的函数求导法

?x??(t)'参数方程?,(?(t)?0,x??(t)存在反函数t???1(x))，则：y为x的复

?y??(t)yt'?'(t)合函数，y??[?(x)]，所以：yx?yt?'?'

xt?(t)?1''tx4．分段函数的导数

对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导，而在每段内仍可用初等函数求导法则来求导。

分段函数点处极限问题，归纳为该点处在左、右两侧的导数是否一致以及该点处是否连续的问题。

四．导数的性质

前面介绍了导数的基本知识，现将用导函数自身的定义来探讨与导数之间的联系

性质1：若函数y?f(x)是偶函数且可导，则其导函数y?f'(x)是奇函数。 证明：由y?f(x)是偶函数，有f(?x)?f(x)

?yf(?x??x)?f(?x)?lim

?x?0?x?x?0?xf(x??x)?f(x)f(x??x)?f(x)??lim??f'(x) ?lim?x?0?x?0?x??x 则：f'(?x)?lim所以，y?f'(x)是奇函数

同理：若函数y?f(x)是奇函数且可导，则其导函数y?f'(x)是偶函数。 性质2：若函数y?f(x)是周期函数且可导，则其导函数y?f'(x)也是周期函数。

证明：y?f(x)是周期，有f(x?T)?f(x)

?yf(x?T??x)?f(x?T)?lim

?x?0?x?x?0?xf(x??x)?f(x)?f'(x) ?lim?x?0?x?f'(x?T)?lim所以，y?f'(x)是周期函数

性质3：若函数y?f(x)可导且图象关于直线x?a对称，则其导函数y?f'(x)图象关于点(a,f'(a))对称

证明：函数y?f(x)图象关于x?a对称，有f(x)?f(2a?x)

f(2a?x??x)?f(2a?x)

?x?0?xf(x??x)?f(x)??f'(x) ??lim?x?0??x f'(2a?x)?lim且点(a,f'(a))在y?f'(x)的图象上，所以y?f'(x)图象关于点(a,f'(a))对称 同理：若函数y?f(x)可导且图象关于点(a,f'(a))对称，则其导函数

y?f'(x)图象关于直线x?a对称

五．导数的应用

1．导数在函数中的应用

导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最

佳的重要工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题

当x??1时，f'(x)?0；当?1?x?0时，f'(x)?0， 所以函数f(x)在x??1处无极值

同理函数在x?1处去极值 （2）利用导数求函数的最值 在经济活动和日常生活中，常遇到在一定条件下。怎样用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的问题，这些归纳到数学问题上，即为函数的最大值或最小值问题。

假定函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则必存在最大、最小值，其判定方法为：①找出可能为极值点的函数值（即区间内使f'(x)?0或f'(x)不存在的所有点的函数值）；②计算出端点处的函数值f(a),f(b)；③比较极值和端点值的大小；其中最大的就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值，其中最小的就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的最小值。

最值与极值是不同的：极值反映的是函数形态，即极值只是与该点在附近的函数值比较而言的，而对于远离该点的情形不予考虑；而最值则是函数整体形态的反映，它是指函数在所考察的区间上全部函数值中的最大者（或最小者）。

??例6、求函数y?sin(2x)?x在区间[?,]上的最大、最小值。

22??解：f'(x)?2cos(2x)?1，令f'(x)?0即2cos(2x)?1?0解得x1??,x2?，

66x变化时f'(x)，f(x)的变化如下表： x f'(x) f(x) ??2 (?? ,?) 26— ???60 (???,) 66+ ? 60 33?? 6(,) 62— ??? 2 ?? 2? ??336 ? ? ?2 由上表可知最大值是

??，最小值为?

22例7、已知a?0，函数f(x)?(x2?2ax)ex，当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论。

解：f'(x)?[x2?2(1?a)x?2a]ex，由f'(x)?0，得

x1,2?a?1?1?a2(x1?x2)(a?0)，x变化时f'(x)，f(x)的变化如下表：

x f'(x) f(x) (??,x1) + ? x1 0 极大值 (x1,x2) — ? x2 0 极小值 (x2,??) + ? 当(a?0)时，x1??1,x2?0。而当x?0时，f(x)?x(x?2a)ex?0；

x?0时，f(0)?0。

所以当x?a?1?a2?1时，f(x)取得最小值。

（3）利用导数求函数值域

求函数的值域是中学数学的难点，下面介绍利用高中教材新增加内容---导数来求解值域

例8、求函数y?2x?4?x?3的值域。 解：函数的定义域为[?2,??)，

y'?112x?3?2x?4 ??2x?42x?322x?4?x?32x?8

2x?3?2x?4又2x?3?2x?4?可见当x??2时，y'?0

所以y?2x?4?x?3在[?2,??)上是增函数。而f(?2)??1， 所以函数y?2x?4?x?3的值域是[?1,??)

（4）实际问题中导数的应用 例9、（2004年全国高考题）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系式x?2000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）。

(1) 将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获的最大利润的年产量；

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y?0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

解 （1）由题意得，乙方的实际年利润为：w?2000t?st

100021000210002)时，)?因为w?2000t?s(t)??s(t?，所以当t?(w取sss210002)（吨）. 的最大值，因此乙方获的最大利润的年产量t?(s(2)设甲方在索赔中获得的净收为v元，则v?st?0.002t2，将乙方获的最大

10002)代入上式，可得到甲方净忙收入v与赔付价格s之间的利润的年产量t?(s100022?10003?函数关系式v?st?0.002t?，令v??0得s?20.因当s?20时4ss2v??0；当s?20时v??0，所以当s?20时，v可取最大值。故甲方向乙方要求

的赔付价格s是20（元/吨）时，可获得最大净收入。

1．4利用导数知识描绘函数图形

为有助于某些函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线。 （1）曲线的渐近线

定义3 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某天直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线。

水平渐近线 若曲线y?f(x)的定义域是无限区间，且有：limf(x)?b，

x???或limf(x)?b，则直线y?b为曲线y?f(x)的水平渐近线。

x???f(x)??，或lim?f()x??，则直线垂直渐近线 若曲线y?f(x)有：lim?x?cx?cx?c为曲线y?f(x)的垂直渐近线。

斜渐近线 若lim[f(x)?(ax?b)]?0成立，则y?ax?b是曲线的一条斜渐

x???近线。

下面介绍求a,b的公式。 由lim[f(x)?(ax?b)]?0有：

x???f(x)b?a?]?0

x???xxf(x)b?a?]?0 所以 lim[x???xxf(x)即 a?lim

x???x limx[

将a?limx???x???f(x)f[x?(a)?x(b?即可确定求出并代入limx???xb?limf[?x( a)xx2例10、求曲线y?的渐近线

x?1x2??，所以x??1是曲线的垂直渐近线 解：（1）因limx??1x?1（2）由a?limx??f(x)x?lim?1 x??xx?1x2?x?x]?lim??1 和b?lim[f(x)?ax]?lim[x??x??x?1x??x?1可知y?x?1是曲线的斜渐近线

（2）函数图形的作法

导数未纳入高中教材时，做图形主要依靠描点作图，这样的图形比较粗糙。导数的出现

能更好的反应出导数的各种性态。

描绘图形的一般步骤如下：

①确定函数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等；

②求出f'(x)，f''(x)；

③列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点； ④确定曲线的渐近线；

⑤由曲线方程找出一些特殊点的坐标； ⑥用光滑曲线连接，画出y?f(x)的图象。 例11、作函数y?4(x?1)?2的图形 2x解：函数的定义域为{x|x?0,x?R}

y'??4(x?2)8(x?3)''y?，

x3x4令y'?0，得x??2；

令y''?0，得x??3。列表如下：

x y' y'' y (??,?3) ?3 (?3,?2) ?2 (?2,0) 0 (0,??) — — ? — 0 拐点?26 9— + ? 0 + 极小值 ?3 + + ? 不存在 — 不存在 + 不存在 ? 4(x?1)?2]??,?x??2为曲线的水平渐进线 2x?0x4(x?1)?2]??,?x?0为曲线的铅垂渐进线 ?lim[2x?0x又?lim[曲线经过(1?3,0)，(1?3,0)，(?1,2)，

2(1,6)，(2,1)，(3,?)这几个点

9通过上面的讨论可大致绘出图形（如图9）

1．5利用导数求参数问题

利用导数求函数中参数的范围，它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸。

??2例12、（05湖北理）已知向量a?(x,x?1)，b?(1?x,t)，若f(x)?a?b在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.

解：由向量的数量积定义，f(x)?a?b?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t

?f'(x)??3x2?2x?t，又f(x)?a?b在区间(-1,1)上是增函数，则f'(x)?0

?t?3x2?2x在 (-1,1)上恒成立.

令g(x)?3x2?2x在区间[-1,1]上，则g(x)max?g(?1)?5， 故在区间(-1,1)上使t?g(x)恒成立，

只需t?g(?1)即可，即t?5. 即t的取值范围是[5,??).

2．导数在曲线中的应用

曲线y?f(x)在点x0处的导数f'(x0)在几何上表示为：曲线y?f(x)在点A(x0,y0)处切线的斜率。即f'(x0)?tan?。

利用导数这一几何意义可以帮助我们解决解析几何中有关曲线的一些问题 例13、（2003全国高考题）已知抛物线c1:y?x2?2x和抛物线c2:y??x2?a，当a取何值时，c1和c2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。

解：函数y?x2?2x的导数y'?2x?2，曲线c1在点p(x1,x12?2x1)的切线方程是y?(x12?2x1)?(2x1?2)(x?x1)，即y?(2x1?2)x?x12 （1）

2函数y??x2?a的导数y'??2x，曲线c2在点Q(x2,?x2?a)的切线方程是2y?(?x)??2xx，即)y??2x2x?x12?a （2） 2?a2(x?2若直线l是过P和Q的公切线，则（1）式和（2）式都是l的方程

2??y?(2x1?2)x?x1所以? 2??y??2x2x?x1?a消去x2得方程2x12?2x1?a?1?0，由于公切线仅有一条，所以当

??4?8(1?a111)?，即0a??时解得x1??，此时公切线方程为y?x?。

224例14、已知P是抛物线y2?4x上的动点，求过P到直线x?y?5?0的最小距离。

解：（如图10）由y2?4x得y??2x 易知y??2x上的点到直线x?y?5?0的距离最小。

由y??2x得y'??1， x于是曲线y??2x上过点p(x,y)且与直线

x?y?5?0平行的斜率为k?y'??1??1，得x?1，则y??2， x

那么点p(1,2)到直线x?y?5?0的距离为|1?2?5|?22 2故抛物线y2?4x上的动点，求过P到直线x?y?5?0的最小距离为22。

3．利用导数研究方程的根

例15、已知f(x)?lnx,g(x)?x，是否存在实数k，使方程

1g(x2)?f(1?x2)?k有四个不同的实数根，若存在，求出k的取值范围；若不2存在，说明理由。

11解：令h(x)?g(x2)?f(1?x2)?x2?ln(1?x2)?k

222xx3?xx(x?1)(x?1)?? 则h(x)?x? 1?x21?x21?x2',0,1令h'(x)?0，得x??1.当x变化时，h(x)、h'(x)的变化关系如下表：

(?1,0) x h'(x) h(x) (??,?1) ?1 0 0 极大值0 (0,1) 1 0 极小值 1?ln2 2(1,??) — ? 0 极小值 1?ln2 2+ ? — ? + ? 1故存在k?(?ln2,0)，使方程有4个不同的实数根

24．应用导数证明不等式

利用高中新增内容的导数来证明不等式，关键是“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，体现了导数的工具，也是与高等数学接轨的有力点。

例16、若x??1，证明：ln(x?1)?x 证明：令f(x)?ln(x?1)?x

1x?1??， x?1x?1又x??1，则x?1?0

则f'(x)?

则当?1?x?0时，f'(x)?0，f(x)为增函数 当x?0时，f'(x)?0，f(x)为减函数 所以当x?0时，f(x)取得最大值

因此当x??1时恒有f(x)?0，即x??1时，有ln(x?1)?x

例17、（2004年全国卷理工22题）已知函数f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx，

a?b设0?a?b证明：0?g(a)?g(b)?2g()?(b?a)ln2

2'证明：由g(x)?xlnx有g(x)?lnx?1

a?x设F(x)?g(a)?g(x)?2g()

2a?x'a?x)]?lnx?ln则F'(x)?lnx?1?2[g( 22当0?a?x时，F'(x)?0，当x?a时，F'(x)?0因此，F(x)在区间(0,a)内是减函数，在区间[a,??)函数，在区间内为增函数，于是在x?a，F(x)有最小值F(a)?0又b?a，

a?b)； 所以o?g(a)?g(b)?2g(2a?x)?(x?a)ln2， 设G(x)?g(a)?g(x)?2g(2a?x')]?ln2?lnx?ln(a?x) 则G'(x)?g'(x)?2[g(2当x?0时，G'(x)?0，因此G(x)在区间(0,??)内为减函数； 因为G(a)?0，b?a，所以G(b)?0，

a?b)?(b?a)ln2。 即：g(a)?g(b)?2g(2a?b)?(b?a)ln2 综上述：0?g(a)?g(b)?2g(25．导数在数列中的应用

导数在函数与不等式方面的应用是考试的热点，而数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题更简便。

例18、已知函数f(x)?2x?2?x，数列{an}满足f(log2an)??2n （1）求an；

（2）证明数列{an}是递减数列

解：（1）由已知有an?得an??n?n2?1 12??2n，即an?2nan?1?0 an又an?0，所以an??n?n2?1 （2）令f(x)??x?x2?1 则f'(x)?xx2?1?1，因xx2?1?1，所以f'(x)?0

所以f(x)是递减函数，则f(n)也是递减的 所以数列{an}是递减数列 例19、已知数列{n}，求此数列的最大项。

n?10000解：考察函数f(x)?10000?xx（x?1），则f'(x)?

x?100002x(x?10000)11，f(1)? 2001001令f'(x)?0，则x?10000，而f(10000)?而limf(x)?limx???x?0

x???x?10000x???将f(10000)，f(1)及limf(x)比较知，f(x)的最大值为f(10000)?故该数列最大项为第10000项，这一项的值为

1。 2001 2006．利用导数求极限——洛必达法则 6．1“0”型和“?”型

0?定理 若函数f(x)与g(x)满足条件：（1）limf(x)?limg(x)?0(或?)，

x?a(x??)x?a(x??)f'(x)（2）f(x),g(x)存在，且g(x)?0，（3）lim' 存在

x?ag(x)(x??)'''

f(x)f'(x)?lim'则必有：lim

x?ax?ag(x)g(x)(x??)(x??)ex?e?x?2x例20、求lim.

x?0x?sinxex?e?x?2xex?e?x?2ex?e?xex?e?x?lim?lim?lim?2 解：limx?0x?0x?0x?0x?sinx1?cosxsinxcosx6．2其他形式

0?洛必达法则只适应于“”型和“”型，对于其他式子，需要经过一系列

0?0?变换转化为“”型和“”型，在利用洛必达法则来求解。其步骤如下：（“?”

0?表示可转化为）

11①0??型???或0?

?0110?0②???型??型，再经过通分?型。

000?0③对于00型，1?型，?0型，先取对数?0??型，在利用①的方法求解。 例21、求下列极限

111?) ③limx1?x ①limx(?arctanx) ②lim(x?1x???x?1x?12lnx??解：①（0??型）limx(?arctanx)?lim2x???x???2 ②（???型）lim(x?1??arctanx1x121?x?lim?1 x???1?2x?11xlnx?x?11?)?lim?

x?1x?1lnx(x?1)?lnx2lnx1?x③(1型)limxx?1?11?x?limex?1?elimlnxx?11?x?e?1

7．物理学中的导数

导数是一个量对另一个量的变化率，在物理学中，物体的动量对时间的导数为合力，位移对时间的导数为速度，速度对时间的导数为加速度，质量对体积的导数为密度，电量对时间的导数为电流强度，电压对电流的导数等于导体的电阻，单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容，电容

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