第16章变化电磁场

第16章变化电磁场

一、电磁感应定律

磁通变化的两类原因：回路变化和磁场变化。 1、法拉弟电磁感应定律：

或

式中

，称磁通链。

2、感应电量：

二、动生电动势和感生电动势

1、动生电动势：因回路变化产生的电磁感应。

非静电场强：

动生电动势：

能量转换：洛仑兹力的一个分力做负功吸收外界能量，另一分力做正功输出电能。 2、感生电动势：因磁场变化产生电磁感应。 感应电场：起源于变化磁场。

，有旋性。

，无源性。

感应电动势

三、自感和互感

1、自感应：

自感系数：

自感电动势：

当线圈形状不变时，即L不变 2、互感应

互感系数：

互感电动势：

两线圈形状和相对位置不变时，即M不变

3、回路藕合：4、电感的串并联

式中K为耦合系数

（1）串联

两电感顺接取“+”号，反接取“—”号。

（2）并联

两电感顺接取“—”号，反接取“+”号。

四、磁能

1、电感磁能：

自感磁能： 互感磁场：

总磁能：2、磁场能量：

磁能密度：

磁场能量：

五、暂态过程

在暂态过程中，外加跃变电压后，电路中电流或电压不发生突变，而是逐渐变化，趋于稳态。 1、LR电路：由于线圈中自感电动势的反抗，回路中电流不能突变。 2、RC电路：由于电容器中电场的反抗，电容上电压不能突变。 两种电路的特性对照表

LR电路 RC电路 暂态过程 滋长过程： 充电过程： 初态：I=0，L起断路作用 初态：，C起短路作用 终态：I=0，C起断路作用 稳态：衰减过程： ， ， ，L起短路作用 时间常数 储能元件 储磁能： 储电能： 六、感应电场

变化的磁场激发的电场称为感应电场，感应电场的电力线为闭合曲线因此感应电场也称涡旋电场。

1、感应电场与变化磁场的关系。

式中负号表示，感应电场与组成左手系。

2、静电场与涡旋电场比较表

静电场 感应电场 起 源 由静止电荷激发 由变化的磁场激发 场 方 程 场 性 质 1．有源场；（电力线由正电荷出发到负电荷1．无源场；（电力线为闭合曲线） 终止，不闭合） 2．保守场 2．非保守场 场对导体 的作用 导体产生静电感应现象， 导体内的场强为零 导体产生感应电动势， 导体内场强不为零 3、长直螺线管内变化磁场所激发的涡旋电场 螺线管

内： 螺线管

外：

涡旋电场分布情况如图所示。

七、位移电流

变化的电场和传导电流一样能激发磁场，把变化电场的这种性质看作为一种等效电流，定义为位移电流。 1、位移电流

位移电流密度

2、传导电流与位移电流比较表

传导电流 位移电流 激发磁场 遵守安培环路定律 遵守安培环路定律

的规律 产生的原因 电荷在导体中宏观定向运动产生。 由变化电场所激发与电荷的定向运动无关。 存在场所 导体 真空、介质及导体 电流方向 与电场方向相同 与电场的变化方向相同 在导体及真空中无热效应。 （在介质中，高频情况下能产生极化热现象，但不遵守焦耳楞次定律 热效应 遵守焦耳楞次定律 3、圆形平行板电容器内变化电场所产生的磁场

电容器内

电容器外

位移电流所产生磁场的分布情况如图所示。

八、变化电磁场基本规律

1、电磁场的统一性

变化的电场、磁场不能独立存在。

（1）变化电场激发磁场：

（2）变化磁场激发电场：

2、麦克斯韦方程组 微分形式

（1）通量方程：

（2）环流方程：

麦克斯韦方程组是电磁场的普遍规律，它预言电磁波的存在和光的电磁本性。 3、电磁理论发展和示意方框图

第16章 变化电磁场

【例16-1】如图16-1a两无限长平行光滑导轨间距为，导轨与水平面成角放置，整个装置处在磁感应强度均匀为的磁场

之中，的方向垂直地面向上，两导轨间串接了电阻R及电动势为的电源。滑杆ab质量为m，滑杆初速为零，求滑杆下滑速度随时

间的关系。并由此求滑杆的极限速度。

【解】滑杆在下滑过程中除受重力之外还受到安培力的作用，这里应注意到安培力组成的平面，见图16-1b，由此列出牛顿运动方程：

的方向不是沿斜面方向，而是垂直于B与杆ab

流过滑杆ab的电流除了电源电动势

（1）

的作用，还要考虑滑杆本身产生的感生电动势

由判别可知

的方向与

相同，所以流过滑杆ab的电流

由此得安培力

将（2）式代入（1）式得：

（2）

（3）

分离变量积分：

可得 当

时滑杆到达极限速度

如果只要求极限速度的话，那么的条件直接代入（3）就可求得。

【例16-2】在上例条件下，如将导轨间的电阻换成电容C，并设回路中的电阻很小可忽略不计，滑杆下滑过程中电容C不击穿，试计算滑杆下滑速度随时间的关系。

【解】滑杆在下滑过程中除了受重力之外同样也受到安培力的作用，这里流过滑杆的电流是ab杆的感生电动势对电容充电的电流为

作用在滑杆上的安培力

（1）

由于忽略回路电阻R，所以电容器两端的电压即为滑杆的感生电动势

（2）

再由牛顿运动方程

（3）

将（2）式代入（1）式再代入（3）式，得

注意到式中，上式可化为：

解得滑杆下滑时的加速度

由此可知滑杆以匀加速下滑，任一时刻的速度

在这种情况下，滑杆就不存在极限速度。请读者是否能从物理过程来分析一下滑杆在这种情况下为什么不存在极限速度。

【例16-3】如图16-3a图中abcda电路有电阻R，其中bc段的一部分绕成圆圈形，圆圈区域有一与回路平面垂直的均匀磁场B，在圆圈形导线的一边施加恒力F，由于a端固定，假定圆圈开始的半径为的质量，问需要多长的时间圆形部分完全闭合？

，并维持以圆形的方式收缩，设导线非常柔软，忽略导线

【解】由于圆圈形导线在收缩过程中，通过圆圈形面积上的磁通量减少，线圈内要产生感应电流

。感应电流在磁场中就要受到安培

力，安培力方向可以判别是沿半径方向向外，由于忽略导线质量，导线所受的外力F，导线张力F'与安培力三者平衡，如图16-3b所示，

并如图取坐标，电流元所受的安培力在x方向上的分量：

由于对称性，半圆弧产生的安培力合力

由对称性及力平衡条件

得： （1）

由于外力作用，r在收缩过程中回路内产生的感应电流：

将代入（1）式得：

得：

由初始条件 ，，，

两边积分

【例16-4】在磁感应强度为OO'以匀角速度

的均匀磁场内，有一面积为S的矩形线框，线框回路的电阻为R（忽略自感），线框绕其对称轴

旋转（如题图16-4所示）。

（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？

（2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？

【解】（1）在任一位置时通过线框的磁通量

（1）

在线框内产生的感生电动势

流过线框的感应电流

（2）

（3）

线框的磁矩

线框所受的磁力矩的大小为

写成矢量形式

也就是磁力矩的方向（的方向）与方向相反。

平衡，就是

（2）方法一，要维持线框作均匀速转动，必须作用在线框上的合外力矩M和磁力矩

或

外力矩对线框每转一周所作的功：

方法二，外力所作的正功与磁力所作的负功大小相等时线框将维持匀角速转动。我们计算磁力所作的功

将（1）式中的和（3）式代入上式，得

这里应注意到磁力的功不能用分来计算。所以外力矩的功

来计算，因为线框转动一周

为零，但在转动过程中感应电流

不是常量，所以必须用上述积

方法三，用能量守恒定律来解，外力矩作了功，绕框旋转一周后，其它状态没有产生变化，只是感生电动势和感生电流在绕框中产生焦

耳楞次热。交流电一个周期所产生的焦耳热就是外力矩所作的功。即：

将（2）式代入上式得

若需计算外力矩的平均功率，则

上式实际上也就是交流电输出的功率。

【例16-5】如图电路中，电源电动势为候，将开关K合上，求： （1）

两端的电压随时间的变化；

（内阻不计，纯电感L及、均为已知）。在电路、L、到达稳定状态的时

（2）K合上长时间后K再断开，求

两端电压随时间的变化。

【解】（1）K合上任一时刻，电路微分方程为：

分离变量并积分，注意到电感上的电流不能突变。

初始条件流过电感L的电流，

将上式分离变量后积分：

积分得：

即：

式中即为两端的电压U，所以

（2）断开后任一时刻电路微分方程为：

分离变量并积分，并注意到电感中的电流不能突变，这里的的

积分得：

得：

此式中的即为两端的电压，移项后得：

）电阻

两端的电压

由此结果可知，当开关K断开瞬时（

如

时，

两端就会产生很高的电压，如果

是电压表或者晶体管元件，如未加保护措施，则很可能会损坏电路元件，因

此在有电感元件的电路里要特别注意。

【例16-6】如图所示，自感系数为L，边长为a的正方形铜圈，电阻很小可忽略不计，铜圈保持以匀角速铜圈所在处磁感应强度均匀为B，方向沿x轴正向。

绕y轴匀速转动，

（1）开始时，铜圈中电流为零，求铜圈中任一时刻中的电流；

（2）求当铜圈中的法线从到转过的过程中磁力的功。

【解】（1）方法一，由铜环回路内应用基尔霍夫回路电压定律。

式中感应电动势因此上式可写成：

，自感电动势。由题设铜圈电阻很小可忽略不计，即。

方法二，铜圈内的总磁通量： 铜圈环路内总的感应电动势

即：

由初始条件即：

，

代入上式得恒量为零

得：

（2）方法一，铜圈所受的磁力矩的大小

磁力矩的方向（

的方向）与

方向相反，这力矩所作的功

方法二，磁力矩所作的功

方法三，磁力所作的功为磁场能的减少

【例16-7】一矩形线框导体，电阻可忽略，边长为强磁场，如图16-7a所示。磁场方向与（1）求

时线框中的电流变化率；

平面垂直，充满

和，以初速沿x轴正方向运动。当进入磁感应强度为。

的匀

的空间。设线框的自感系数为L，质量为

（2）讨论线框的运动规则。

【解】设

（1）线框回路电压方程

（题设导体电阻可忽略不计，取R=0）

因为，，所以有

（2）首先讨论线框电流随位置或时间的变化规律，由回路电压方程：

得：

其次讨论在安培力作用下的线框运动规律：可以判别安培力的方向始终于线框运动的速度方向相反，得：

即：

得：

此为谐振动方程，它的解为：

由初始条件，，，可确定，，得：

讨论：

（1）若

，线框的运动为谐振动，

，线框回到处以离开磁场区它的运动图线如图16-7b所示。

（2）若，当时，线框全部进入磁场，线框的磁通量不再变化，此后线框不再受安培力作用，将以此时的速

度作匀速直线运动。运动图线如图16-7c所示。

【例16-8】通电螺线管1和2的绕向相同，截面积近似相等为S，相互套合部分的长度为，如图所示。若两螺线管各自通电后产生的磁场分别为

和

，忽略边缘效应，试求：

（1）两螺线管的互感磁能； （2）两螺线管的相互作用力。

【解】（1）方法一，将螺线管分为左、中、右三段，其磁感应强度分别为

、

和

，螺线管中的总磁能

可见上式中第一项为螺线管1的自感磁能，第二项为螺线管2的自感磁能，第三项为两螺线管互感磁能，即

如果两螺线管绕向相反，其磁感应强度方向相反，互感磁能出现负值，而自感磁能总是正的。

方法二，螺线管1中电流的磁感应线通过螺线管2的磁通链数，两螺线管的互感系数

互感磁能

（2）两螺线管相向位移为

时，由于互感系数变化，产生互感电动势。电源要维持两螺线管中电流不变，必须克服互感电动势做功。

电源所做的功转变为互感磁能的增加和磁力的功。 两电源克服互感电动势做功分别为：

两电源克服互感电动势所作的功为

，而互感磁能的增加为，磁场力所做的功为。根据功能关系

得：

【例16-9】无限长直螺线管，单位长度均匀密度n匝线圈。螺线管中部同轴地放一质量为m，均匀带电为Q的均质圆盘，它可绕其中心轴线自由转动，把螺线管接入电源电动势为旋转角速度。

回路电阻为R的电路中（如图16-9所示），求开关K接通长时间后，带电圆盘的

【解】螺线管内离轴线r处的涡旋电场场强 设圆盘的半径为a，在圆盘到

处的

受到的电场力力矩

16.8 图中细杆OA长为，以角速度

轴线OO'的夹角为

绕轴线OO'旋转，磁感应强度与OO'平行，细杆OA与

。求杆OA中的动生电动势。

16.9 载流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为

当圆弧形导线以速度

，几何位置尺寸如图所示。求

平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

16.12 电阻为R的闭合线圈折成半径分别为

面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按

，

和的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平

，

，

的规律变化。已知

，试求线圈中感应电流的最大值

。

16.14 圆柱形匀强磁场

设磁场B值以

，中心位于O点，、为磁场中两点，且、

。

的速率减少，试求电子位于磁场中、O三点时所获得的瞬时加速度各为

多少？

16.16 如图所示，半径为

合回路ABCDA，总电阻为R，上底为

的长直螺线管中，有，下底为

，试求：

的磁场，一直导线弯成等腰梯形的闭

（1）AD段、BC段和闭合回路中的感应电动势；

（2）B、C两点间的电势差。

16.17 圆柱形匀强磁场中，是半径r的圆弧形金属导轨，单位长度上电阻为，Oa，Oc

是电阻可忽略的金属棒，与导轨保持良好的接触。现磁感应强度大小按示，忽略回路中的自感应，试计算：

规律变化，方向如图所

（1）若Oc棒静止于处，OacO回路中的感生电动势量值多大？分布如何？

（2）若Oc棒从Oa位置开始（t=0），绕O点按路OacO中的感应电动势多大？

作匀角速转动，试问当Oc棒在处，回

（3）这时，Oc棒所受对O点的磁力矩多大？方向如何？

16.18 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R，高为h，电阻率为，如图所示。

若匀强磁场以的规律变化，试求圆柱体内涡电流的热功率。

16.21 将金属薄片弯成如图所示回路，两头为半径为

的两正方形平面，且

，

。

的圆柱面，中间是边长为，间隔为

（1）试求该回路的自感系数；

（2）若沿圆柱面的轴向加变化磁场

路中的电流

。（回路中的电阻很小，可忽略不计）

，试求回

16.25 如图所示电路中，

试求：下列四种情况下，

、

及

，

的值。

，，，。

（1）K刚接通的瞬间； （2）K接通长时间后； （3）K接通后再切断的瞬间； （4）K切断长时间后。

16.26 如图所示电路中接有两只电键

（1）闭合

和，所标各量均为已知，试求：

后，电路中b、c两点间的电势差；

后流过

的电流。

（2）待电路中电流达到稳定值时，闭合

16.28 如图所示电路中，

器充电，试求： （1）时间常数；

（2）开始充电时的电流； （3）

时的电流及电容器两端的电压；

，

，电源电动势

，合上K对电容

（4）经过多长时间电容器内所储能量为其稳定状态时能量的98%；

（5）画出、曲线。

16.29 设图示电路中电容器原不带电，试讨论：

（1）电键K合上瞬时以及合上长时间后电阻（2）K合上长时间后再断开的瞬时，电阻

上的电流各为多少？

上的电流减半？

上的电流为多少？再经过多长时间，电阻

16.30 一螺绕环，每厘米上绕40匝，铁心截面积为

通有电流

，环上绕有二匝次级线圈，试求：

，磁导率，绕组中

（1）两绕组间的互感系数； （2）若初级绕组中的电流在

内由

降低到0，次级绕组中引起的互感电动势。

16.31 在同一平面内，大小两个正方形线圈作如图放置，边长分别为

电流在小线圈处产生的磁场近似均匀。 （1）试求两线圈间的互感系数；

和，大线圈的

（2）若大线圈中的电流按的规律变化，试求小线圈中的互感电动势。

16.32 一无限长直导线与一矩形导体线框在同一平面内，彼此绝缘，如图所示。试求：

（1）直导线和线框的互感系数； （2）若直导线中通有

的电流，线框中的感生电动势。

16.33 图中所示为真空中截面为矩形的一段螺绕环，总匝数为N，内半径为

高度为

，另一半径为

的无限长圆柱体和螺绕环同轴。

，外半径为，

（1）求它们的互感系数；

（2）设在圆柱导体上通以电流

，求螺线环导线中的互感电动势。

16.35 图中所示为靠近放置的两线圈，自感分别为

端2与线端3相连接，测得线端1、4间总自感3间的总自感将为多少？

，。若把线

。问：若把线端2与线端4相连接，线端1、

16.36 图中所示为两只绕线方向相同的线圈，互感系数为M，自感系数分别为

圈的电阻均忽略不计。若在

。

16.37 一电感为

，电阻为

的线圈突然接到电动势

线圈中通有

的随时间均匀增长的变化电流，求

、，两线

线圈的电势差

，内阻不计的电池组上。在

接通时，试求：

（1）磁场总储存能量的增加率； （2）线圈中产生焦耳热的速率； （3）电池组放出能量的速率。

16.40 真空中两个完全套合的细长螺线管，长度和截面积均相同，螺线管的体积为V。两螺线

管的绕向相反，分别通入反向电流后，各自产生的磁感应强度的量值分别为（1）自感磁能； （2）互感磁能； （3）总磁能。

和

，试求：

16.45 在一对巨大的圆形极板（电容

的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。

）上，加上频率为，峰值为

16.46 图a为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场，均匀分布在圆柱形区域内。

试在图b中画出：

（1）位移电流的大概分布和方向； （2）磁场的大概分布和方向。

16.47 图中所示为一空气电容器，板间距离为d，接在电池电动势为（内阻忽略）的回路中，

设在

时间内移动B板，使板间距离增大，求板间的平均位移电流密度。

16.50 试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式：

（1）电力线起始于正电荷终止于负电荷； （2）磁力线无头无尾； （3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。

第16章 变化电磁场

答案：

16.2 16.6

16.7 16.8 ，方向

16.9 16.14

16.12

，向左；

，向右；0

16.16（1），，，逆时针方向

（2）

16.17（1），，

（2），逆时针方向； （3），方向向外

16.18 16.21（1） （2）

16.25（1）3.3A，3.3A，0； （2）4.5A，2.7A，1.8A；

（3）0，-1.8A，1.8A； （4）0，0，0

16.26（1）

（2）

16.28（1）1s （2）

（3）

，259V （4）4.6s

16.29（1）0， 16.30（1）

（2） （2）

，

16.31（1） （2）

16.32（1） （2）

16.33（1） （2）

16.35 16.37（1）

16.36

（2）

（3）

16.40（1）， （2） （3）

16.47 ，B指向A。

提示：

16.2 先证明感应电量

16.3 三角形中阴影面积dS的磁通量

16.18 离轴线r处导体中的电流密度：

涡电流： 热功率：

16.21（1）无限大平面间磁通量：

长直圆柱面内磁通量：，

（2）；

即 得：

16.26（1）合上t时刻电路中的电流：

可得

（2）电路中电流到达稳定时 ，闭合在回路中t时刻的电流

，电源通过的电流为，所以通过的电流可得。

16.36 对回路有，即

得：

同样，对回路有：

式中

取决于两绕线圈的顺向绕还是逆向绕线，图中是顺向绕，所以取“-”号。

教材习题：

16.3（1）

（2）

（3） （4）

求极值后时最大

16.4 16.5（1）

（2）

16.8（1）均不为零 （2） 16.10（1）

（2）

（3）

（3）零，相等 ，

16.11（1）

16.13 参阅书例16-10。

（2）；

16.14 先求

16.15（1）-22V （2）-15 （3）-15

16.16（1） （2） （3）

16.17（1）1.84A （2）0.46A

教材习题：

16.3（1）

（2）

（3） （4）

求极值后时最大

16.4 16.5（1）

（2）

16.8（1）均不为零 （2） 16.10（1）

（2）

（3）

（3）零，相等 ，

16.11（1）

16.13 参阅书例16-10。

（2）；

16.14 先求

16.15（1）-22V （2）-15 （3）-15

16.16（1） （2） （3）

16.17（1）1.84A （2）0.46A

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tpkg.html