工程数学复习题

一．填空题

4653 1.设A=

2020，则A=____________

8?10010a12a2200=-5，则D1=

2.若D=

a11a21a11?a21?a12a22=__________

23.设D=41?1232，则D的元素a23的代数余子式值=__________ ?110?10114.若行列式=

0a?1?1> 0，则要求a满足条件____________ 05.已知α=（1,2,3），β=（1,1/2,1/3），设A=αTβ，则A=____________ 6.设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则A·A*=A*·A=_________ 7.方阵A的逆矩阵的行列式值为6，则|A|=_________

8.若λ是n阶方阵A的特征值，则2A-3E的特征值是___________

9.设三阶方阵A有三个不同特征值，且其中两个特征值分别为2,3，已知|A|=48，则A的第三个特征值为__________ 10.若4阶方阵A与对角阵diag（2,2,1,4）相似，则A的特征值为__________ 11.掷两枚骰子，则出现点数之和等于3的概率=__________

12.已知P（A）=0.5，P（B）=0.6，P（B/A）=0.8，则P（AUB）=__________ 13.设随机变量（X，Y）的分布律为 Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b 则a，b应满足条件是_________ 14.设随机变量X~B（n，p），则E（X）=__________ 15.若随机变量X~N(μ, σ2)，则E（X）=__________

16.设X~P(λ),则E（X）=__________，D（X）=__________ 17.设X~N(μ, σ2)，且z=（x-μ）/σ，则Z~____________

18.设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，且Xi~N（0,1），（i=1,2, …,n）， 则X2=X1 2+X2 2+…Xn2服从__________分布

二.选择题

1.设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，E为n阶单位矩阵，则 （ ） A. | A|=1 B. | AB|=1 C. | BA|=1/|C| D. | A|=|B|

2.设A为n阶方阵，则下列方阵中，为对称矩阵的是 （ ） A.A-AT B.CACT C.A·AT D.( A·AT)B,B为n阶方阵

3.设A，B是两个n阶方阵，则下列结论中正确的是 （ ）

1

A.（AB）k=AkBk B. | -A|=|A| C.(BA)T=BTAT D.E2-A2=(E-A)(E+A)

4.设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则 （ ） A．ACB=E B.BCA=E C.CBA=E D.BAC=E

5.设线性方程组A5×5X5×1=b有唯一解，则必有 （ ） A.R(A)=1 B. R(A)=2 C. R(A)=5 D. R(A)=4

6.方程组A X=0仅有零解的充分必要条件是 （ ） A. A的行向量组线性无关 B. A的列向量组线性无关 C. A的行向量组线性相关 D. A的列向量组线性相关 7.设三维列向量α1，α2，α3线性无关，A=（α1，α2，α3），则A是 （ ） A.奇异矩阵 B.对称矩阵 C.正交矩阵 D.可逆矩阵

8.若n阶方阵A与B相似，则 （ ）

A.R(A)= R(B) B.R(A) ≠R(B) C.R(A)R(B) ? 9.以A表示事件”甲种产品畅销,乙种产品滞销”，则其对立事件A为 ( ) A.”甲种产品滞销，乙种产品畅销” B.”甲乙两种产品均畅销”

C.”甲种产品滞销” D.”甲种产品滞销或乙种产品畅销”

10.设A，B为两个事件，且B?A,则下列结论中正确的是 （ ）

A.P(A∪B)=P(A) B.P(AB)=P(A) C.P(B/A)=P(B) D.P(B-A)=P(B)-P(A) ? 11.设P(A)=a，P(B)=b，P(A∪B)=C，则P(AB)为 （ ）

A. a-b B. c-a C. a（1-b） D.b-a

12.袋中有5个球（3个新球，2个旧球），每次取一个，不放回的取三次，则第三次取到

新球的概率为 （ ） A.3/10 B.3/4 C.1/2 D.3/5

13.设A，B为两个互斥事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论中正确的是 （ ）

A.P(B/A)>0 B.P(A/B)=P(A) C.P(A/B)=0 D.P(AB)=P(A)P(B)

14. 设A，B为两个事件，则下列命题中正确的是 （ ）

A.若A与B独立，则A与B互斥 B.若A与B互斥，则A与B独立

?C.若A与B互逆，则A与B独立 D.若A与B独立，则A与B独立

15.已知随机变量X的分布律为 ( )

X -2 -1 0 1 2 Pk 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 则P{X2<4}=

A.1 B.1/5 C.2/5 D.3/5

16. 设X的数学期望与方差均存在，则在下列结论中正确的是 （ ） A. E（X2）?0 B. D（X2）>0 C. E(X) ?0 D.D(X)>E(X)

17.若随机变量X与Y独立，且X服从N(1,6)，Y服从N(1,2)，则Z= X-Y服从 （ ） A.N（0，4） B.N(0,4) C.N(0,8) D.（0,8）

n18.设X，…，Xn 是总体X的样本，则

11，X2n?1?（Xi - X）2 是 （ ）

i?1 A． 样本矩 B. 二阶原点矩 C. 二阶中心距 D. 统计量

19.设X（μ，σ2

）的样本，则X=

11，X2，…，Xn 是取自总体X~Nn?nXi服从i?12

分布

（ ）

A.N（μ，σ2/n） B. N(μ，σ2) C. N(0，1 ) D. N（nμ，nσ2）

20.设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则 （ ） A. X+Y服从正态分布 B. X2+Y2 服从X2分布 C. X2和Y2都服从X2分布 D.X2/Y2服从F分布.

21.设（X1，X2，…，Xn）及（Y1，…，Ym）分别来自两个独立的正态总体N(μ，σ2) 的两个样本，其样本（无偏）方差分别为S12及S22，则统计量F= S12/ S22服从F分布的 自由度为 （ ） A. (n-1,m-1) B.(n,m) C.(n+1,m+1) D.（m-1，n-1） 三．计算题：

?1?1?n

?1.设A=? ，求 A ??11????1?1??1?1??1?1?????解：A2=A?A=? = 2??11???11???1 1?? =2A

??????A3=A?A?A=2?A?A=22A

A4=23A

?1?1?则综上可得An=2n-1?A=2n-1 ???1 1??

??

2.若n阶方阵满足A2=A，求（A+E）-1 解：A2=A，则A2-A=0，则A2+A-2A=0

A2+A-2A-2E=-2E A(A+E)-2(A+E)=-2E (A-2E)(A+E)=-2E -12(A-2E)(A+E)=E ∴(A+E)-1=-12(A-2E)

?201???3.已知A=?020? ,求矩阵（A-E）-1

??102????201??100??101???????解：A-E=?020?-?010?=?010?

??102??001???101??????? A-E=2≠0,即A-E可逆，又∵（A-E）-1=

?110?1??????2-1(A-E)*1 (A-E)==2?020?=?0A-E?101??1????2

1?(A-E)* A-E1?0??2?10?

1?02??3

?ac?4.求二阶矩阵A=??b d??的逆阵

??解：A=ad-bc, A的余子式M11=d M12=b M21=c M22=a

?M21??d?c??M11?A*=? = ???M12M22???ba??

????A-1=

?X1?2X2?2X3?X4?0?5.求解齐次线性方程组?2X1?X2?2X3?2X4?0

?X1?X2?4X3?3X4?0?11? A*=

ad—bcA?c??d ???ba?? ??解：对系数矩阵A施行初等行变换为行最简行矩阵

21?r2?2r1?12?? A=?21?2?2???1?1?4?3?r3?r1??21?r3?r2?122?12????0?3?6?4???012?0?3?6?4?r2/?3??000???5??10?2???3?1?r1?2r2?4?4?? ??012

?3?3??0000?0??????5?X1?2X3?X4?0??3即得与原方程组同解的方程组?

4?X2?2X3?X4?0?3?5?X1?2C1?C2?35??X1?2X3?X4?4??3由此得?（X3,X4为任意值），令X3=C1,X4=C2把它写成通常的参数形式?X2??2C1?C2,

3?X2??2X3?4X4???X3?C13??X4?C2?5???5?2C1?C2????2?X1????33????????4??X2???2C1?4C2???2?其中C1、C2为任意实数或写成向量形式??=??=C1??+C2???

3X31??3???????X4??C1?0???0????????1??C2???

4

?X1?X2?2X3?X4?0?6.求解齐次线性方程组?2X1?X2?X3?X4?0

?2X1?2X2?X3?2X4?0?解：对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵

?112?1?r2?2r1?? A=?211?1???2212?r3?2r1??2?1?r1?r2?10?10??11?????0?1?31???0?10?3? ?00?34?r2?r3?00?34??????X1?X3?0? 即得与原方程组同解的方程组??X2?3X4?0，

??3X3?4X4?0??4?????X1??3??X1?X3????X2???3?由此得?X2??3X4,令X4=C得??=C??

4X3?????4?X4??3??X3?X4????3??1?

?X1?X2?3X3?X4?1?7.求解非齐次线性方程组?3X1?X2?3X3?4X4?4

?X1?5X2?9X3?8X4?0? 解：对增广矩阵B施行初等行变换

?11?3?11??11?3?11???r2?3r1??71? B=?3?1?344???0?46?15?9?80?r3?r1?04?6?7?1??????11?3r3?r2?3?01???2r2/?4?000??17?403??10?1?r1?r2?2?31?? ??01??24???0000???347?405??4?1?? 4?0???335??3??3??5?X1?C1?C2?????????X1??244244335??????????X1?X3?X4???7??1???X2?3C1?7C2?1?X2??3?244 即得?,令X3=C1,X4=C2得? 亦即??=C1??+C2?+??? ?244X3?X2?3X3?7X4??1??2??4??4?????X4??1??X3?C1?0??0?244????0??1??0??X4?C2???????(C1,C2?R)

5

?2X1?X2?X3?X4?1?8.求非齐次?4X1?2X2?2X3?X4?2

?2X1?X2?X3?X4?1? 解：对增广矩阵B施行初等行变换

?21?111?r2?2r1?21?111????? B=?42?212???000?10?

?21?1?11?r3?r1?000?20?????21?101?r1?r2???000?10? ??r3?2r2?00000???111?X1??C1?C2??222?2X1?X2?X3?1?? 即得?令X2=C1,X3=C2得?X2?C1

?X4?0??X3?C2???X4?0?1??1??1??X1???????????2??2??2??X2??1?亦得??=C1+C2?0?+?0? (C1,C2?R)

??????X3???0??1??0??X4??0??0????0???????

9.设某动物由出生算起，活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年龄为20岁的这种动物活到25岁的概率。

解：设活到20岁事件P(A)=0.7,活到25岁事件P(B)=0.56 P(B/A)=

P(AB)0.56==0.8 0.7P(A)

10.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的0.25、0.35、0.40，各车间产品的次品率分别为0.08、0.05、0.04，求全厂产品的次品率。 解：P=0.25×0.08+0.35×0.05+0.40×0.04=0.0535

11.已知随机变量Ⅹ的分布率

1Ⅹ -2 0 2 4 - 211111PK 84863求随机变量（1）Ⅹ+2，（2）Ⅹ2的分布率 （概率第二节） 解：（1）

3Ⅹ+2 0 2 4 6 211111PK 848636

（2）

Ⅹ2 PK 0 1 81 41 44 7 2416 1 3

12.今有5件产品，其中2件是次品，3件是正品，从5件中一次取出2件，每次取一件，取出一件后再放回去，用X,Y分别表示每次取得的次品件数，求（X,Y）的分布率。 解：

Y X 0 1 960 2525641 2525

1113.设二维随机变量（X,Y）只能取下列各值：（0，0），（-1，0），（-1，），（2，0）且取这些值概率依次是、

36115、、，求（X,Y）的分布律，关于X和关于Y的边缘分布律。 31212 解：

Y X 0 -1 2 150 61211 31211 3

Ⅹ 0 -1 2 PK

Y PK

?cxy214.若（X,Y）的概率密度为f(x,y)=??00?x?1,0?y?1 求c

其它1 65 121 31 125 120 7 121 1 3 解：F(x,y)=? ?f(x,y)dxdy

001111111c2c1c=? ?cxy2dxdy=?x2cy2/2dy=?ydy=y3=

6060000207

又∵F（x,y）=1,则

c=1，∴c=6 6

15.设随机变量（X,Y）的分布律为 Y X -1 0 1 求（X,Y）关于X和Y的边缘分布律。 解：（1）

Ⅹ PK （2）

Y PK

16.设（X,Y）分布律为

-1 1 81 81 80 1 80 1 81 1 81 81 8-1 3 80 2 81 3 8-1 3 80 2 81 3 81 2 11 46111 43求（1）（X,Y）关于X和关于Y 的边缘分布律（2）2X+Y的分布律 解：

Ⅹ 1 2 PK

Y PK

2X+Y PK

四．证明题

8

Y X 0 7 125 120 5 121 7 122 1 43 1 34 1 65 1 41.设A为n阶方阵，且A≠0,证明A*=An-1

证明：A?A*=A?E,A?A*=A?E,A?A*= An,∵A≠0 ∴A*=An-1

2.若n阶方阵A满足A2=A，证明：矩阵A+E可逆。 证明：A2=A 则A2-A=0 A2+A-2A=0

A2+A-2A-2E=-2E A(A+E)-2(A+E)=-2E (A-2E)(A+2E)=-2E

1 -(A-2E)(A+E)=E

2 ∴A+E可逆。

?301???3．已知A=?030?，求矩阵A-2E可逆。

??103????301??100??101??????? 证明：A-2E=?030?-2?010?=?010?

??103??001???101???????101 A?2E=010=2≠0

?101 ∴A-2E可逆。

4.设A与B都是n阶正交阵，证明AB也是正交阵。

证明：A,B都是正交阵，则ATA=E,BTB=E,又∵（AB）T=BTA ∴(AB)T(AB)=BTATAB=BT(ATA)B=BTEB=BTB=E 即AB也是正交阵。

5.已知P（A∣B）=P(A∣B),求证：A，B相互独立。 证明：∵P（A∣B）= P(A∣B)∴

P(AB)P(AB)= P(B)P(B)即P(AB)P(B)=P(AB)P(B)

得P(AB)?1?P(B)?=?P(A)?P(AB)?P(B) P(AB)-P(AB)P(B)=P(A)P(B)-P(B)P(AB)

P(AB)=P(A)P(B) 即A,B相互独立。

9

?6xy26.若（X,Y）的概率密度为f（x,y）=??0证明X,Y相互独立。 证明：fX(x)=???0?x?1,0?y?1

其它11f(x,y)dy=?6xy2dy=2xy3=2x ??00?? fY(y)= ?f(x,y)dx=?6xy2dx=3y2 ??01 f(x,y)=6xy2= fX(x) fY(y)

所以X,Y相互独立。

7．设随机变量（X,Y）的分布律为 Y X -1 0 1 验证X,Y不是独立的。

-1 1 81 81 80 1 80 1 81 1 81 81 8111 证明：P(X=-1,Y=-1)=,而P(X=-1)= ,P(Y=-1)= ，

8881 P(X=-1)P(Y=-1)=

64 P(X=-1,Y=-1)≠P(X=-1)P(Y=-1) ∴X,Y不是独立的

?3?3y?e8.设（X,Y）的概率密度为f(x,y)=?2??00?x?2,y?0其它求X,Y 是否相互独立。

??3-3y1-3y??1 证明：fX(x)= ?f(x,y)dy=?edy=-e=

2??0202?? fY(y)= ?????f(x,y)dx=?223-3y3edx=e-3yx=3e-3y

2020 f(x,y)= fX(x)fY(y)

所以X，Y相互独立。

10

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