培优班下振动和波动参考答案01

振动和波作业参考解答 姓名 序号

练习十

1. 已知一个谐振子的振动曲线如图所示。 （1）求和a，b，c，d，e各状态相应的相； （2）写出振动表达式；（3）画出相量图。 解：（1）由参考圆可得，各点对应的相位

xa?A，?a?0；

5.02.5O?2.5x/cmabcd?5.0ec2.2t/sxb?Aπ，?b?； 23πxc?0，?c?；

2A2πxd??，?d?；

23A4πxe??，?e?

23dbOaxt?0e2.2s（2）由参考圆可知t?0时，???π3π；t?2.2s时，??，则 32??11π15π?=???

?t62.265ππt? )振动的表达式为 x?0.05cos(63Ox?A?????3（3）相量图如右图所示

?2. 作简谐运动的小球，速度最大值为vm=3cm/s，振幅A＝2cm，若从速度为正的最大值的某时刻开始计算时间。

（1）求振动的周期；（2）求加速度的最大值；（3）写出振动表达式。 解：(1)由vm??A?2πA/T，可得

T?2πA2?π?0.02??4.2s vm0.032（2）am??2A?vm/A?0.032/0.02?4.5?10?2m/s2

（3）由于t?0时，v??vm，可知???vπ?1，而??m?0.03/0.02?1.5s，所以有 2Ax?Acos(?t??)?0.02cos(1.5t?π/2)

3. 一质量为10g的物体作简谐运动，其振幅为24cm，周期为4s，当t＝0时，位移为＋24cm。求：（1）t＝0.5s时，物体所在位置和物体所受的力； （2）由起始位置运动到x＝12cm处所需最少时间。 解： 由题给条件可以知道??0，于是有

x?Acos(2ππt??)?0.24cost T229

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π?0.5)?0.17m，2πF?ma??m?2x??10?10?3?()2?0.17??4.2?10?3N

2（2）x?0.12m时，物体的相的最小值为arccos(1/2)?π/3，

（1）t?0.5s时，x?0.24cos(由

4. 两个谐振子作同频率、同振幅的简谐运动。第一个振子的振动表达式为x1?Acos(?t??)， （1） 当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。求第

二个振子的振动表达式和二者的相差；

（2） 若t＝0时，x1＝－A/2，并向x负方向运动，画出二者的x－t曲线及相量图。 解：（1）第一谐振子的相为π/2时，第二谐振子的相为零，于是

ππ2tmin?， 可得tmin?s 233?2??1?0?

π2?2??1?ππ??? 22第二谐振子的振动表达式为

πx2?Acos(?t??2)?Acos(?t???)

2x Ax （2）由t?0时，x1? 且v?0

2A 2πω A可知 ??。则 2 π/6 32π O O x1?Acos(?t?) 3πx2?Acos(?t?)

6-A 两谐振子的x－t曲线和相量图如右图所示。

x1 x2 t 5. 一弹簧振子，弹簧劲度系数为k＝25N/m，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，试回答： （1）振幅是多大？

（2）位移是多大时，势能和动能相等？ （3）位移是振幅的一半时，势能多大？ 解：（1）A?2E/k?2(Ek?Ep)/k?2?(0.2?0.6)/25?0.25m

（2）Ep?Ek时，Ep? x??12E12kx??kA 22222A???0.25??0.18m 22 30

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(3) Ep?

1A21121k()?(kA)?(0.2?0.6)?0.2J 224246. 有一轻弹簧，下面挂一质量为10g的物体时，伸长量为4.9cm。用此弹簧和一质量为80g的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予向上的初速度v0＝5.0cm/s。试求振动的周期及振动表达式。 解：由平衡条件m1g?kx1，可得

k?m1g/x1?0.01?9.8/(4.9?10?2)?2.0N/m

此弹簧阵子的周期为 T?2πm2/k?2π0.08/2.0?1.26s

以竖直向下为x轴，并以平衡位置为原点，则x0?0.01m，v0??0.05m/s，

0.052?2由此可得 A?x?2?0.01??2?10m 2?（5.0）v?0.05π5π ?0?arctan(?0)?arctan(?)?,?x05.0?0.01442022v0由x0?0，v0?0，取?0?π。于是有 4πx?2?10?2cos(5t?)

4

7. 一物体放在水平木板上，物体与板面间的最大静摩擦系数为0.50。

（1）当此板沿水平方向作频率为2.0Hz的简谐运动时，要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值应是多大？

（2）若令此板改作竖直方向的简谐运动，振幅为5.0cm，要使物体一直保持与板面接触，则振动的最大频率是多少？

解：（1）物体不沿板滑动，要求

?smg?mam?mA?2?mA(2π?)2

A??sg/(2π?)2＝0.50?9.8/(2π?2.0)2?3.1?10?2m

(2) 物体总与板保持接触，要求mg?mam?mA(2π?)2

??

12πg1?A2?9.8?2.2Hz 0.05 31

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练习十一

1． 一单摆在空气中摆动，摆长为1.00cm，初始振幅为θ0＝5。经过100s，振幅减为 θ1＝4。再经过多长时间，它的振幅减为θ2＝2。此单摆的阻尼系数多大？Q值多大？ 解：由?1??0e??t，得阻尼系数为

o

o

o

??ln?05/t?ln/100?2.2?10?3s?1 ?14又?2??1e???t，所以从?1到?2经过的时间为

?t?ln?14/??ln/(2.2?10?3)?311s ?22g1?l2?g19.8??712 l2?2.2?10?31.00O Q?

?ππ??2??T2π?2． 一质量为m的刚体在重力力矩的作用下绕固定的水平轴O作小幅度无阻尼自由摆动，如图所示。设刚体质心C到轴线O的距离为b，刚体对轴线O的转动惯量为I。试用转动定律写出此刚体绕轴O的动力学方程，并

b θ C 证明OC与竖直线的夹角θ的变化为简谐运动，而且振动周期为 T?2πI mgb解：如图所示，刚体所受的对轴线的力矩为?mgbsin?，于是由转动定律可得

d2???mgbsin? Idt2d2?mgb???0 对小幅度的振动，sin???，则有： 2dtI所求振动周期为： T?

3． 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动，其表达式为?试写出合振动的表达式。 解：A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)

2???2?I mgb?π/6)?x1?0.04cos(2t ?π/6)?x2?0.03cos(2t?0.042?0.032?2?0.04?0.03cos(?ππ?)?0.06m 66??arctanA1sin?1?A2sin?20.04sin(π/6)?0.03sin(?π/6)?arctan?0.08

A1cos?1?A2cos?20.04cos(π/6)?0.03cos(?π/6)x?Acos(?t??)?0.06cos(2t?0.08)

合振动的表达式为：

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4． 日光灯电路中的灯管相当于一个电阻R，镇流器是一个电感L，二者串联。若灯管两端电压和镇

u1?902cos100πt(V)流器两端电压分别为：

解：总电压u为u1和u2的合成，?1?0,?2?π/2 U?22Ucos?(??1?U2?2U1U22?1)2U?12U?22(90?2)2(20?02)，试求总电压u的表达式。 πu2?2002cos(100πt?)(V)2 310(V)??arctanU2200?arctan?0.37π U190u?Ucos(?t??)?310cos(100πt?0.37π)V

ππx?0.06cos(t?)?335． 质量为0.1kg的质点同时参与互相垂直的两个振动：?，试写出质点运动

ππ?y?0.03cos(t?)33的轨迹方程，画出图形，并指明是左旋还是右旋。 解：????x??y?ππ2π?(?)?。由垂直振动的合成轨迹标准方程 333x2y2xy2??2cos???sin? 22ABAB将相关数值带入化简可得所求轨迹方程为

x2?2xy?4y2?2.7?10?3

由于???0，所以合运动是左旋的，轨迹如下图所示：

y （-0.03，0.03） （0，0.026） （-0.06，0.015） -0.06 （-0.052，0） 0.06 0.03 O （0.052，0） （0.06，-0.015） x （0，-0.026） -0.03 （0.03，-0.03）

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y0?Acos(2πvt?π/2)

入射波的波函数为

yi?Acos(2π?t?2π?π33ux?)，(0?x???) u244?2π?3?π2π?3?2π?π??π?(?x)]?Acos(2π?t?x?)

u42u4u2（2）由于反射时有?的相位跃变，所以反射波波函数为

yr?Acos[2π?t?yi和yr叠加，P点肯定是波节，另一波节与P点相距?/2，即x??/4处。

练习十五

1．一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m/s < u向右运动。在其右方有一反射面相对地面以65m/s的速率向左运动。设1080空气中声速为331m/s。求： （1） 声源在空气中发出的声音的波长； （2） 反射回的声音的频率和波长。 解： (1) 在声源运动的前方

在声源运动的后方

?b?(u?vs)/?s?(331?30)/108?00.27m9， ?a?(u?vs)/?s?(331?30)/1080?0.334m

u?vR?s，反射后声音的频率为 u?vs

(2) 反射面接收到的频率为 ?R?,Ru(u?vR)u???R??su?vR(u?vs)(u?vR)331?(331?65)?1080?1.77?103Hz(331?30)(331?65)‘,3 波长为?m a?u/?R?331/(1.77?10)?0.187＝

2．海面上波浪的波长为120m，周期为10s。一只快艇以24m/s的速度迎浪开行。它撞击浪峰的频率是多大？多长时间撞击一次？如果它顺浪开行，它撞击浪峰的频率又是多大？多长时间撞击一次？ 解：波浪的速度 u??/T?120/10?12m/s，

快艇迎浪开行时，撞击浪峰的频率为

?f?(u?v)/??(24?12)/120?0.30Hz

周期为 Tf?1/?f?1/0.30?3.3s

顺浪开行时，撞击浪峰的频率为 ?s?(v?u)/??(24?12)/120?0.10Hz

周期为 Ta?1/?a?1/0.10?10s

3．一驱逐舰停在海面上，它的水下声纳向一驶近的潜艇发射1.8 ? 104 Hz的超声波。由该潜艇反射回来的超声波的频率和发射的相差220Hz，求该潜艇的速度。已知海水中声波为1.54 ? 103m/s。 解：驱逐舰发射的超声波的频率为?s，潜艇反射回来而被驱逐舰接收到的超声波的频率为

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?s'?u?v?s u?v,二者相差为 ????s??s?(u?v2v?1)?s??s u?vu?v一般的，u??v，所以???2v?s/u，而潜艇速度为

v?u??/(2?s)?1.54?103?220/(2?1.8?104)?9.4m/s

4．主动脉内血液的流速一般是0.32m/s。今沿血液方向发射4.0 MHz的超声波，该红血球反射回的波与原反射波将形成的拍频是多少？已知声波在人体内的传播速度为1.54 ?103m/s。 解：

???(1?u?v2v2v?)????u?vu?vu 62?0.32?4.0?10??1.66?103Hz31.54?10

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