广东省揭阳市高一上学期期末数学试题(解析版)

第 1 页 共 12 页 广东省揭阳市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．集合{0，1，2}的所有真子集的个数是

A ．5

B ． 6

C ．7

D ．8 【答案】C

【解析】略

2．直线10x y --=的倾斜角是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2

π 【答案】B

【解析】1y x =-，斜率为1，故倾斜角为π4. 3

．a 的分数指数幂表示为（ ） A ．12a

B ．32a

C ．34a

D ．都不对 【答案】B

【解析】直接由根式化为分数指数幂即可．

【详解】

解：1232112a a a a a +=?==．

故选：B ．

【点睛】

本题考查了根式与分数指数幂的互化，属基础题. 4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A ．01e =与log 10e =

B ．13182-=与811log 23=-

C ．3log 92=与1293=

D ．7log 71=与177=

【答案】C

【解析】由指数、对数互化的关系判断A ，B ，D 都正确.

【详解】

由指数、对数互化的关系：log x a a N x N =?=（0a >，且1a ≠，0N >）可知A ，

第 2 页 共 12 页 B ，D 都正确；C 中，23log 9239=?=．

故选：C

【点睛】

本题考查指对互化，熟记互化原则是关键，是基础题 5．下列函数中哪个是幂函数（ ）

A ．31y x -??= ???

B ．22x y -??= ??? C

．3y = D ．3(2)y x -=-

【答案】A 【解析】直接利用幂函数的定义判断即可．

【详解】

解：幂函数是y x α=，α∈R ， 显然331y x x -??== ???，是幂函数. 2

2x y -??= ???

，3y =，3(2)y x -=-都不满足幂函数的定义，

所以A 正确．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了幂函数的概念，属基础题.

6．点(2,1)P -到直线4310x y -+=的距离等于（ ） A ．45 B ．107 C ．2 D ．125

【答案】C

【解析】由点到直线的距离公式求解即可.

【详解】

解：由点到直线的距离公式得，

点(2,1)P -到直线4310x y -+=的距离等于

|831|25

--+=. 故选：C ．

【点睛】

本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.

7．下列函数中，在区间(0,2)上是增函数的是（ ）

第 3 页 共 12 页 A ．245y x x =-+ B

．y =

C ．2x y -=

D ．12

log y x = 【答案】B 【解析】根据函数的单调性的定义和性质分别进行判断即可．

【详解】

解：对于选项A. 245y x x =-+的对称轴为2x =，在区间(0,2)上是减函数，不满足条件．

对于选项

B. y =(0,2)上是增函数，满足条件．

对于选项C. 2x y -=在区间(0,2)上是减函数，不满足条件．

对于选项D. 12

log y x =在区间(0,2)上是减函数，不满足条件．

故满足条件的函数是y =

故选：B ．

【点睛】 本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性，属基础题． 8．已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）

A ．8-

B ．0

C ．2

D ．10

【答案】A

【解析】因为过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，所以两直线的斜率相等.

【详解】

解：∵直线210x y +-=的斜率等于2-，

∴过点()2,A m -和(),4B m 的直线的斜率也是2-， 422

m m -∴=-+，解得8m =-， 故选：A.

【点睛】

本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用.

9．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，

第 4 页 共 12 页 ①1DA 与1BC 平行；

②1DD 与1BC 垂直；

③11A B 与1BC 垂直．

以上三个命题中，正确命题的序号是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．③

D ．①②③ 【答案】C

【解析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案．

【详解】

解：对于①，在正方体1111ABCD A B C D -中，由图可知1DA 与1BC 异面，故①不正确．

对于②，因为11//DD CC ，1BC 不垂直1CC ，所以1DD 与1BC 不垂直，故②不正确． 对于③，在正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ⊥平面11BCC B ，又∵1BC ?平面11BCC B ，∴11A B 与1BC 垂直.故③正确．

故选：C ．

【点睛】

此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握，属基础题．

10．两圆和的位置关系是（ ） A ．内切

B ．外离

C ．外切

D ．相交 【答案】D

【解析】根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据

得到两圆相交.

【详解】

第 5 页 共 12 页 由题意可得两圆方程为：和 则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和 则圆心距：

则

两圆相交 本题正确选项：

【点睛】 本题考查圆与圆的位置关系，关键是判断出圆心距和两圆半径之间的关系，属于基础题. 11．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确的是（ ） A ．若a b ⊥，a α⊥，则//b α

B ．若//a α，βα⊥，则//αβ

C ．若a β⊥，βα⊥，则//a α

D ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则βα⊥ 【答案】D

【解析】由空间中直线、平面的位置关系逐一判断即可得解.

【详解】

解：由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：

在A 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α?，故A 错误；

在B 中，若//a α，βα⊥，则αβ⊥，故B 错误；

在C 中，若a β⊥，βα⊥，则//a α或a α?，故C 错误；

在D 中，若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则由面面垂直的判定定理得βα⊥，故D 正确；

故选：D ．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属中档题．

12．如图，在正四棱柱ABCD A B C D ''''-中底面是正方形的直棱柱，侧棱3AA '=2AB =A BD A '--的大小为（ ）

第 6 页 共 12 页

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

【答案】C 【解析】连接AC ，BD ，交点为O ，连接A O '，则A OA '∠即为二面角A BD A '--的平面角，再求解即可.

【详解】

解：连接AC ，BD ，交点为O ，连接A O '，

∵AC BD ⊥，A A BD '⊥，AC A A A '?=，

∴BD ⊥平面A AO '，

即A OA '∠即为二面角A BD A '--的平面角，

∵四棱柱ABCD A B C D ''''-中底面是正方形的直棱柱，3A A

'=，2AB =， ∴1AO =，

则'tan 3A A AOA AO

'∠==， ∴60AOA '?∠=.

故选：C ．

【点睛】

本题考查了二面角的平面角的作法，重点考查了运算能力，属基础题.

第 7 页 共 12 页

二、填空题

13

．函数0(1)y x =+-的定义域为______．

【答案】{|1}x x >-

【解析】要使原函数有意义，则1010

x x +≠??+≥?，再解不等式组即可得解.

【详解】

解：要使原函数有意义，

则1010x x +≠??+≥?

，解得1x >-． ∴

函数0(1)y x =+-的定义域为{|1}x x >-．

故答案为：{|1}x x >-．

【点睛】

本题考查了函数定义域的求法，属基础题.

14．圆()()22112x y -++=的圆心坐标是__________．

【答案】()1,1-

【解析】根据圆的标准方程,即可求得圆心坐标.

【详解】

因为圆()()22112x y -++=

所以圆心坐标为()1,1-

故答案为: ()1,1-

【点睛】

本题考查了圆的标准方程与圆心的关系,属于基础题.

15．大圆周长为4π的球的表面积为____________．

【答案】16π

【解析】依题意可知2π4π,2r r ==，故求得表面积为24π16πr =.

16．已知函数()f x 是定义在[)(]3,00,3-?上的奇函数，当0x >时()f x 的图象如下所示，那么()f x 的值域是_______

第 8 页 共 12 页

【答案】[)(]3,11,3--

【解析】分析：通过图象可得0x >时，函数的值域为(]1,3，根据函数奇偶性的性质，确定函数的值域即可.

详解：∵当03x <≤时，函数单调递增，由图象知13f x <≤（

）， 当-<3≤0x 时，在03x <-≤，即此时函数也单调递增，且()13f x <-≤，

∵函数是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴13f x <-≤（

），即()31f x -≤<-， ∴()f x 的值域是[3113]--?，

）（，，故答案为[3113]--?，）（，． 点睛：本题主要考查函数值域的求法，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键.

三、解答题

17．已知全集U ＝R ，集合{}14A x x =≤＜，{}31

5B x x x =-+＜，求： (1)A ∩B ；

(2)()U C A B .

【答案】(1)[1,3);(2) (－∞，3)∪[4，＋∞)

【解析】(1)化简集合B ,直接求交集即可；

(2)求出集合B 的补集，进而求并集即可.

【详解】

(1)由已知得：B ＝(－∞，3)，A ＝[1，4)，

∴A ∩B ＝[1，3)．

(2)由已知得：U C A ＝(－∞，1)∪[4，＋∞)，

∴(U C A )∪B ＝(－∞，3)∪[4，＋∞)．

【点睛】

本题考查集合的基本运算，借助数轴是求解交、并、补集的好方法，常考题型． 18．已知函数2()2f x x x =--.求：

（1）()

f x的值域；

（2）()

f x的零点；

（3）()0

f x<时x的取值范围．

【答案】（1）

9

,

4

??

-+∞?

???；（2）-1，2；（3）(1,2)

-

【解析】（1）利用配方法求二次函数值域即可；

（2）由()

f x的零点即是()0

f x=的根，再解方程即可；

（3）由“三个二次”的关系，()0

f x<即是函数()

f x的图象在y轴下方，观察图像即可得解.

【详解】

解：（1）将函数化为完全平方式，得

2

2

199

()2

244

f x x x x

??

=--=--≥-

?

??

，

故函数()

f x的值域

9

,

4

??

-+∞?

???；

（2）()

f x的零点即是()0

f x=的根，令220

x x

--=，解方程得方程的根为-1和2，故得函数()

f x的零点-1，2；

（3）由图得()0

f x<即是函数()

f x的图象在y轴下方，()0

f x<时x的取值范围即在两根之间，

故x的取值范围是(1,2)

-.

【点睛】

本题考查了二次函数值域的求法，重点考查了“三个二次”的关系，属中档题.

19．已知直线经过直线3420

x y

+-=与直线220

x y

++=的交点P，并且垂直于直

第 9 页共 12 页

第 10 页 共 12 页 线210x y --=．

（Ⅰ）求交点P 的坐标；

（Ⅱ）求直线的方程．

【答案】(Ⅰ) (2,2)P -；（Ⅱ）220x y ++=.

【解析】试题分析：（I ）联立两条直线的方程，解方程组可求得交点坐标，已知直线的斜率为

12

，和其垂直的直线斜率是2-，根据点斜式可写出所求直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）由3420{220x y x y +-=++=，，得2{2x y =-=，，

所以P (2-，2).

（Ⅱ）因为直线与直线210x y --=垂直，

所以2l k =-，

所以直线的方程为220x y ++=.

20．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中：

（1）求异面直线1BC 与1AA 所成的角的大小；

（2）求三棱锥111B AC B -的体积．

【答案】（1）45°；（2）16

【解析】（1）11//AA BB ，则异面直线1BC 与1AA 所成的角就是1BC 与1BB 所成的角，从而求得11B BC ∠．

（2）根据三棱锥111B AC B -的体积111B A C B V -111

111113B A B C A B C V S BB -==?进行求解即可． 【详解】

第 11 页 共 12 页 解：（1）∵11//AA BB ，

∴异面直线1BC 与1AA 所成的角就是1BC 与1BB 所成的角，即1145B BC ?∠=．

故异面直线1BC 与1AA 所成的角为45°．

（2）三棱锥111B AC B -的体积111B A C B V -111

111113B A B C A B C V S BB -==?111111326

=????=． 【点睛】 本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，以及几何体的体积和异面直线所成角等有关知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

21．已知直线l 经过点()2,1和点()4,3.

（Ⅰ）求直线l 的方程；

（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于()0,3点，求圆C 的方程．

【答案】（Ⅰ）x ﹣y ﹣1=0；（Ⅱ）（x+2）2+（y ﹣3）2=4．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点式，可得直线l 的方程；（Ⅱ）利用圆C 的圆心在直线l 上，且与y 轴相切于()0,3点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程

试题解析：（Ⅰ）由已知，直线l 的斜率31142k -=

=-， 所以，直线l 的方程为10x y --=.

（Ⅱ）因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(),1a a -，

因为圆C 与y 轴相切于()0,3点，所以圆心在直线3y =上.

所以4a =.

所以圆心坐标为()4,3，半径为4.

所以，圆C 的方程为()()224316x y -+-=.

【考点】直线、圆的方程

22．如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.

(1)求证：AE ⊥平面BCE ；

(2)求证：AE ∥平面BFD ；

(3)求三棱锥C －BGF 的体积．

第 12 页 共 12 页

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）

13

【解析】【详解】 (1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC. 又∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF ，

又BC∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE.

(2)证明 由题意可得G 是AC 的中点，连结FG ， ∵BF ⊥平面ACE ，∴CE ⊥BF.

而BC ＝BE ，∴F 是EC 的中点，

在△AEC 中，FG ∥AE ，∴AE ∥平面BFD.

(3)∵AE ∥FG.

而AE ⊥平面BCE ，

∴FG ⊥平面BCF.

∵G 是AC 中点，F 是CE 中点，

∴FG ∥AE 且FG ＝12

AE ＝1. ∴Rt △BCE 中，BF ＝CE ＝CF 2，

∴S △CFB ＝12×2×2＝1. ∴V C －BGF ＝V G －BCF ＝·S △CFB ·FG ＝111133

??=

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tpf1.html