2011年考研数学概率论真题与答案--WORD版

真正的WORD版本,无底纹。

2011年概率论考研真题与答案

1. （2011年数学一、三）设F1(x)和F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与

f2(x)是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D】A.f1(x)f2(x) B.2f2(x)F1(x) C.f1(x)F2(x) D.f1(x)F2(x) f2(x)F1(x) 解：根据分布函数的性质，f1(x)F2(x) f2(x)F1(x) 0

[f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)]dx F1(x)F2(x)

1

2. （2011年数学一）设随机变量X与Y相互独立，且E(X)与E(Y)存在，记

U max X,Y ，V min X,Y ，则E(UV) _________. 【B】

A. E(U)E(V) B. E(X)E(Y) C. E(U)E(Y) D. E(X)E(V) 解：因为当X Y时，U X,V Y；当X Y时，U Y,V X.

所以，UV XY，于是E(UV) E(XY)

根据X与Y相互独立，所以E(UV) E(X)E(Y).

3. （2011年数学三）设总体X服从参数为 ( 0)的泊松分布，X1,X2, ,Xn(n 2)是

1n1n 11

来自该总体的简单随机样本，则对于统计量T1 Xi和T2 X Xn，有 i

n 1i=1nni=1

__________. 【D】

A. E(T1) E(T2),C. E(T1) E(T2),解：

D(T1) D(T2) B. E(T1) E(T2),D(T1) D(T2) D(T1) D(T2) D. E(T1)<E(T2),D(T1) D(T2) X P( )

E(X) ,

D(X )

1n1n

E(T1) E( Xi) E(Xi)

ni=1ni=1

1n 1111

E(T2) E(X X) (n 1) innn 1

n 1i=1nn

E(T1) E(T2)

1

真正的WORD版本,无底纹。

1n1n1

D(T1) E( Xi) 2 D(Xi) 2 n

ni=1ni=1nn

1n 111n 11

D(T2) D(X X) D(X) D(Xn) inn(n 1)2 i2

n 1i=1ni=1

11 n1

(n 1) ( ) 222

(n 1)nn 1nnn 1n

D(T2) D(T1)

4. （2011年数学三）设(X,Y)服从N( , , 2, 2,0)则E(XY2) ____. 【 ( 2 2)】

解： 因为(X,Y)服从二维正态分布，且相关系数为零，则X与Y相互独立.

E(XY2) E(X) E(Y2) E(X) [D(Y) E2(Y)] ( 2 2)

5. （2011年数学三）

22

且PX Y 1，求: (1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布；(2) Z XY的概率分布；

(3) X与Y的相关系数 XY.

2222

解：（1） 由PX Y 1， 可得：PX Y 0

P X 0,Y 1 P X 0,Y 1 P X 1,Y 0 0

因此，(X,Y)的概率分布为

2

真正的WORD版本,无底纹。

（2） 显然，Z XY的可能取值为-1,0,1，由(X,Y)的概率分布可得：

（3） E(X) ,D(X) ,E(Y) 0,D(Y)

39

, E(XY) 0 3

Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0

XY

0

6. （2011年数学一）设X1,X2,

,Xn是来自正态总体N( 0, 2)的简单随机样本，其中 0

222

已知， >0，未知. （1）求参数 的最大似然估计 ；（2）计算

E( )和D( ).

22

解： 总体的概率密度为: f(x; 2)

(x )22 2

n

似然函数为

L( )

2

i 1

n

f(xi; ) 2

n

(xi 0)2

i 1

2

两边取对数，得 lnL( ) n2

2

n

ln 2 2

(x

i 1

i

0)2

2 2

关于 求导，得

dlnL( ) n

+22

d 2

2

(x )

i

i 1

n

2

2( )

22

2dlnL( 2)1n

0,解得 的最大似然估计值 (xi 0)2 令2

d ni 1

（2）

Xi N( 0, 2)

Xi 0

)

2

N(0,1)

n

(

i 1

n

Xi 0

1

2

(X

i 1

i

0)2 2(n)

3

真正的WORD版本,无底纹。

2

E[

1

2

(X

i 1

n

i 0)] n, D[

2

1

2

(X

i 1

n

2

)i0] 2n

22nn

1 1 22 ) E[ 于是，E( (Xi 0)]=E[2 (Xi 0)]= n= 2 ni 1n i 1n

21n 41n 42 422 D( ) D[ (Xi 0)]=2D[2 (Xi 0)]=2 2n= ni 1n i 1nn

7. （2011年数学三）设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由（1）X的概率密度fX(x)；（2） x y 0,x y 2以及y 0所围成的三角形区域. 求：条件概率密度fX(xy).

解：（1）根据二维均匀分布的定义，(X,Y)的概率密度为

1,

f(x,y)

0,

X的概率密度为

(x,y) G其它

fX(x)

x1dy0 x 1 0 x0 x 1 2-x

f(x,y)dy 1dy1 x 2= 2-x1<x 2

0 0其他 0其他 2-y1dx0 y 1 2(1-y)0 y 1

f(x,y)dx y=

其他 0 其他 0

（2） fY(y)

在Y=y(0 y 1)时，X的条件概率密度

1

f(x,y)

fX(xy)== 2(1-y)

fY(y)

0

y x 2-y其他

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tpd1.html