高考新课标数学(理)大一轮复习课时作业43数学归纳法含解析.doc
更新时间:2023-05-01 06:57:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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课时作业43数学归纳法
基础达标演竦
一、选择题
N*”,在验证〃 =1时,左边是( )
A ?1 C ? 1 + d+/ 解析:当〃 =1时,代入原式有左边= l+a ?故选B. 答案:B
2?如果命题卩⑺)对n^k 成立,则它对〃=£+2也成立.若“⑺) 对刃=2成立,则下列结论正确的是( )
A. “⑺)对所有正整数〃都成立
B ?pS )对所有正偶数〃都成立
C. ”02)对所有正奇数〃都成立
D. 卩⑺)对所有自然数〃都成立
解析:归纳奠基是:72 = 2成立.
归纳递推是:n = k 嵐立,则对〃 = k+2成立. p (n )对所有正偶数n 都成立.
答案:B
3?数列{给}中,已知(71 = 1,当 心2时,a n =a n -i+2n —l,依 次计算。2,如,他后,猜想色的表达式是()
2
A. = 3n — 2 B? ct n =n
B. 1 ~\~a
D ? l+d+/+/ 1. 用数学归纳法证明 “l+d+/+???+£ J
C?a n=3n~}D?a n=4n—3
解析:求得。2=4,偽=9, 6/4=
16,猜想ci n =n^? 答案:B
4.用数学归纳法证明"/ + (〃+l )3 + (〃+2)3
(〃WN*)能被9整 除”,要利用归纳假设证n = k+1时的情况,只需展开() B.伙+2)'
D.伙 +lf + (£
+2f 解析:假设当n = k 时,原式能被9整除,即/? +伙+1)' +伙+ 2)3能被9整除.
当n=k+l 时,伙+1尸+伙+2)3 +伙+3尸为了能用上面的归纳假 设,只需将伙+3f 展开,让其出现疋即可.
答案:A
1 1 1 177
5.用数学归纳法证明1+扌+扌+…+十>号(朋N )成立,其 初始值至少应取()
A. 7
B ? 8
C ?9
D ?10
1_丄
i i i 1 2n i
解析:左边=1+空+& ------- 刁F= -------- =2—代入验证可 知n 的最小值是8?故选B.
答案:B
6?用数学归纳法证明:“(M +1)?(M +2)?????(〃+〃) = 2" *1 *3 ■??Qn A.伙+3) C.伙+1):
—1)”,从S到k+1”左端需增乘的代数式为()
A. 2£+1
B? 2(2k+l)
2£+1
C -------
J £+1
解析:n=k+ \时,左端为伙+2)伙+3)…[伙+1) +伙一1川伙+1) + 灯[伙+1) +伙+1)] =伙+2)伙+3)…伙+Q(2£+l)(2P+2) =伙+1)伙+2)…伙
+Q[2(2£+1)],
???应增乘2(2£+1).
答案:B
二、填空题
7.使|n2-5n+5|=l不成立的最小的正整数是_______________ ?
解析:71=1, 2, 3, 4代入验证成立,而n=5验证不成立. 答案:5
8.用数学归纳法证明12+22----------- (n— l)2+n2+(n— I)2
卜
22+]2=”(2佇+1)时,由n=k的假设到证明“=外1时,等式左边应添加的式子是_________________ ?
答案:伙+1)2 +疋
9.已知整数对的序列如下:(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2,
2), (3, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (1, 5), (2, 4),…, 则第60个数对是?
解析:本题规律:2=1 + 1; 3= 1 + 2 = 2+1;
4=1+3 = 2+2 = 3+1;
5=1+4 = 2 + 3 = 3 + 2=4+1;
? ? ? ?
一个整数〃所拥有数对为(77 -1)对.
, (n— 1) n
设1 +2 + 3 +???+(〃一1) = 60,???——2——=60, :.n=\\时还多5对数,且这5对数和都为12, 12=1 + 11=2 + 10 = 3+9=4+8 = 5+7,
???第60个数对为(5, 7).
答案:(5, 7)
三、解答题
10?用数学归纳法证明下面的等式: 12-22+32-42+- + (-1),/"1 ? 722 = (—1) (〃+1) 2
证明:(1)当,2=1时,左边=1?=1,
右边=(_ 1)° ? IX (1 + 1)
???原等式成立.
⑵假设〃=£伙WN :比$1)时,等式成立, 即有 12-22+32-42+- + (- 1/_1
? G k (k+1)
2
那么,当n = k+l 时,则有
12-22+32-42+- + (- 1/_,
?疋+(_1屮?伙+1尸
L._\k (P+1) , E , 9 =(—1)' 1—2—+(-!/?伙+1F (£+2)
J.n=k-\-1时,等式也成立, 由
(1)(2)知对任意“WN ;有
l 2-22+32-42+- + (-ir _1 9 …_x n (n+1) =(—1)* ?耳1
[ —£+2伙+1)]
11.在数歹ll {ci n} 9{仇}中,Q]=2, b\—4,且a” b n, 数
e?+i成等差列,bn,禺+1,b卄1成等比数列(n eN*).
]、
n+1]
a[-\~+—:
—H ------ 1- j _ 6 +鬼-尹扌-汁??+;- ⑴求°2,。3,及仇,匕3,方4,由此猜测{a n }9 {%}的通项公式, 并证明你的结论.
(2)证明:計石+缶;+…+ 缶;
解:(1)由条件得2仇=禺+禺+1,怎+1=
b n b n -\-1.
由此可得。2=6,仇=9,。3=12,仇=16,他=20,彷=25? 猜测 a w =n(n+l)(neN*), Z?w =(n+l)2
(neN*).
用数学归纳法证明: ① 当〃 =1时,由上可得结论成立.
② 假设当n=k(k* RWN )时,结论成立,
即 cik = k(k+1),价=伙+1)?,
那么当n =k~\~ 1时,c?+] = 2级一族=2(比+1)?—鸟伙+1)=伙+1)伙 怎
+] (£+1) 2 (£+2) 2
2 + 2),加+]=药= 以+1) 2
=伙+2),
所以当n=k+ \时,结论也成立.
由①②,可知给=〃0+ 1), b f =(n+ I)2对一切正整数都成立. (2)证明:①当 ”=1 时,
②当n22时,由(1)知禺+仇=〃(〃+1) + (兀+1)?
=(刃 +1 )(2/1 +1 )>2(〃 +1 加?
所以a n +h t ^2n (n+1)
由①②可知原不等式成立. ??XX 生冲击名綾
且点戸的坐标为(i, —1).
(1) 求过点Pi,巴的直线/的方程;
(2) 试用数学归纳法证明:对于/7EN*,点几都在⑴中的直线/ 上. 解:(1)由题意得(71=1, /?1 = —1,
, -1 1 1 1 (11) 仇=1-4X1卞G=1 X§=3,???卩2@ 3/ y-|- | 兀—] ???直线/的方程为一=—,即2x+y=l. -+1 1
3十 1 3 1
(2)证明:①当〃=1 时,2d]+b|=2Xl+(—l )= 1 成立. ②假设n=k (k^l 且RUN )时,2a k +b k =\成立.
则 2鸟+i +加+1 = 2族?级+1 +级+] = [_;£ ? (2以+1)=]_;以= ? ?当z?=£+l 时,2纵+ [+bk+1 = 1也成立?
由①②知,对于n eN :l :,都有2a n +b n =l 9即点几在直线/上.
2. (2015-江苏卷)已知集合X={1, 2, 3}, y, = {l, 2, 3,…, /?}(/iEN :,:),设必={(°, 整除b 或b 整除a, aWX, b^Y n },令./(〃) 表示集合S 〃所含元素的个数.1. 仇)满足a n +i —a n ? b 卄1,
1 — 2
族 l —2a =1,
丄=丄 4=12-
n~\~ 1 丿 1
6
⑴写出夬6)的值;
(2)当 心6时,写出几〃)的表达式,并用数学归纳法证明. 解:(1)VS 6={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 6)}, /./6)= 13.
(2)当心6时,
下面用数学归纳法证明:
Z : Z :
①当n = 6时,/(6) = 6+2+二+§=13,结论成立;
②假设n=k(k^6)时结论成立,那么n=k+1时,在&的基 础上新增加的元素在(1, P+1), (2, P+1), (3, £+1)中产生,分以 下情形讨论:
1) 若 £+1=6/,则 £=6(/—1)+5 则此时有
k —\ k —2
1 )=/(£) +3 = £+2+ —
2 —+—2 —+3
£+1 £+1
=伙+1) + 2+ —2 —+—§ —‘结论成立?
2) 若 k+l = 6f+l,则 k=6t,此时有< / \ I I n I n
\
刃+2+辽+", n=6t, 勺一]斤一1、 ”+2+总+宁)’
( 1 、 YI —\ n ”+2+供宁 兀+2+ ■ 〃+2 + 斤+ 2 + ,〃=6/+1,
兀=6/+2, (M). 兀=6/+3,
9 / n~1+〃一2 兀=6/+4, ,n=6z+5,
夬£+ 1)=/(Q+1 =£+2+二+3+1
=伙+ 1) + 2 + (£+1) —1
2 +
(£+1) —1
3 结论成立.
3)若£+1=6/+2,则k=6t+l9此时有
k— ] k—]
/(£+ l)=y(Q + 2 = k+2+ —2 —+—3 —+2 =伙+1) + 2+耳1+卫土尸,结论成立.
4)若k+l=6f+3,则£=6丫+2,此时有
k k— 2
夬比+l)=AQ + 2 = R+2+,+-^-+2
屮+1) + 2+卫土—+字,结论成立.
5)若k+l=6/+4,则k=6t+39此时有
k— 1 上
l)=/(Q + 2 = P+2+—2 —+§+2
b4-1 (k+ 1) — 1
= ^+1) + 2+—+ -------------- 『——,结论成立.
6)若£+1=6/+5,则£=6/+4,此时有
k k— 1 〃+1)=/(£)+1=£+2+尹二一+1
—I I (£+1)一1 . (£+1) —2 、=伙+1)+2+ 2 + §,纟吉论成工?
综上所述,结论对满足的自然数“均成立.
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