历届数学高考试题精选——平面向量

历届高考中的“平面向量”试题精选（自我测试）

1．(2008 A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 2．（2001江西、山西、天津理）若向量a=（1，1），b=（1，－1），

c=（－1，2），则c= (

)

11333131

（A） a+b （B）a－b （C）a b （D）－a b

22222222

3．（2005全国卷Ⅱ理、文）已知点A，B(0,0)，C．设 BAC的平分线AE

与BC相交于E，那么有BC CE，其中 等于( )

11

（A）２ （B） （C）－３ （D）－

23

4．（2004全国卷Ⅱ文）已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝( )

（A）1 （B） （C） （D）

5.(2006四川文、理)如图, 已知正六边形PP 12P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（ ）

（A）PP （B） （C） （D）PP PP PP PPPP PP121412 PP1612131215

6、(2008海南、宁夏文)已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），

a b与a垂直，则 是（ ）

A. －1 B. 1

→→→→1ABACABAC→→→

7.(2006陕西文、理)已知非零向量AB与AC满足( +)·BC=0且· = ,则△

2→→→→|AB||AC||AB||AC|ABC为( )

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°

9.（2007全国Ⅱ文、理）在 ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，

C. －2

D. 2

8．（2005北京理、文）若|a| 1,|b| 2,c a b，且c a，则向量a与b的夹角为( )

=1 ,

3

则 =（ ） (A)

2 3

(B)

1 3

(C)

1 3

(D)

2 3

10.(2004湖南文)已知向量a (cos ,sin ),向量b (, 1)则|2a b|的最大值，最小值分别是( )

A．42,0 B．4,42

二.填空题:（每小题5分，计20分）

C．16，0

D．4，0

11. (2007广东理)若向量a

,b 1,a与b的夹角为120°，则a a a b＝ .

12．（2006天津文、理）设向量a与b的夹角为，a (3，3)，2b a ( 11)，，则

cos

，，2)b (2，3)，若向量 a b与向量c ( 4， 7)共13．(2008全国Ⅱ卷文、理)设向量a (1

线，

则 ．

14、（2005江苏）在 ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA (OB OC)的最小值是__________。

三、解答题：（15、16两题分别12分，其余各题分别14分，计80分）

15.(2007广东理)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

（1）若c 5，求sin∠A的值;

（2）若∠A是钝角，求c的取值范围.

ππ

16.（2006全国Ⅱ卷理）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－θ＜

22

（Ⅰ）若a⊥b，求θ； （Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．

17.（2006湖北理）设函数f(x) a (b c)，其中向量a (sinx, cosx)，

b (sinx, 3cosx)

c ( cosx,sinx)，x R。 （Ⅰ）、求函数f(x)的最大值和最小正周期；

(Ⅱ)将函数f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小 的d。

18．（2004湖北文、理） 如图，在Rt△ABC中，已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为

中点，问PQ与BC的夹 角θ取何值时BP CQ的值最大？并求出这个最大值.

19、（2002全国新课程文、理，天津文、理）已知两点M 1,0 ,N 1,0 ，且点P使 ，

， （1）点P的轨迹是什么曲线？ （2）若点P坐标为(x0,y0)，记 为与的夹角，求tan 。

→→→

20.（2006陕西理）如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三 动点D,E,M满足AD=tAB, BE = →t BC,

→→

DM=t DE, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M的轨迹方程.

历届高考中的“平面向量”试题精选（自我测试）

参考答案

二.填空题:（每小题5分，计20分）

1

11. 2 ； 12 ； 13． ； 14、___。

三、解答题：（

15、16两题分别12分，其余各题分别

14分，计80分）

15. 解：(1) AB ( 3, 4), AC (c 3, 4)， 当

c=5时，AC

(2, 4)

sin A cos A cos AC,AB

， 进而5

25

325

显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[，+ )

3

(2)若A为钝角，则AB AC = -3(c-3)+( -4)<0， 解得c>

2

16.解(1). a b, 0 sin

cos 0 tan

1

4

(2).a b (sin

1,cos 1)

当sin( )=1时a b有最大值,此时

44

1

17.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx) ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+

3

). 4

2

＝ . 2

3 k 3 3

（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k. ，即x＝,k∈Z，

4284k 3 k 3 2

于是d＝（，－2），d ( 4,k∈Z. 2828

所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是

因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d＝（―

18.解：

，―2）即为所求. 8

解法一: , 0.

AP AQ,BP AP AB,CQ AQ AC, BP CQ (AP AB) (AQ AC)

a3 a2 ( )

1

2

a2 a2cos .

故当cos 1,即 0(与方向相同)时, 最大.其最大值为0.

a2

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设|AB| c,|AC| b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ| 2a

,|BC| a

.

设点P的坐标为(x,y),则Q( x, y). (x c,y), ( x, y b),BC ( c,b),PQ ( 2x, 2y). BP CQ (x c)( x) y( y b)

(x2 y2) cx by.

cos

cx by

.2

a

cx by a2cos . a2 a2cos .

故当cos 1,即 0(与方向相同)时, 最大,其最大值为0.

19.解：（1）记P(x,y),由M( 1,0),N(1,0)得

PM MP ( 1 x, y),PN NP (1 x, y),MN NM (2,0) MP MN 2(1 x),PM PN x2 y2 1,NM NP 2(1 x)。 MP MN,PM PN,NM NP是公差小于零的等差数列等价于

122 2

x y2 1 [2(1 x) 2(1 x)] x y 3

, ,即 2

x 0 2(1 x) 2(1 x) 0

所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆。 （2）点P的坐标为(x0,y0)。

于是，

22

x0 y0 1 2

cos

2

(1 x0)2 y0 2

(1 x0)2 y020

(4 2x0)(4 2x0) 2

4 x1

2

4 x0

0 x0

1 1 cos 1,0 ,sin cos2 2234 x0

sin

cos

12

4 x0

tan

12

4 x0

2

3 x0 y0

→→

20.解法一: 如图， (Ⅰ)设D(x0，y0)，E(xE，yE)，M(x，y)．由AD=tAB， →→

BE = t BC， 知(xD－2，yD－1)=t(－2，－2)．

xD=－2t+2 xE=－2t ∴ 同理 ． yD=－2t+1 yE=2t－1

yE－yD2t－1－(－2t+1)

∴kDE = = = 1－2t．

xE－xD－2t－(－2t+2)∴t∈[0，1] ， ∴kDE∈[－1，1]．

→→

(Ⅱ) ∵DM=t DE ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)

=t(－2，4t－2)=(－2t，4t2－2t)．

x=2(1－2t)x22∴ 2 ， ∴y=， 即x=4y． ∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]．4 y=(1－2t)

即所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]

解法二: (Ⅰ)同上．

→→→→→→→→→→

(Ⅱ) 如图， OD=OA+AD = OA+ tAB = OA+ t(OB－OA) = (1－t) OA+tOB， →→→→→→→→→→OE = OB+BE = OB+tBC = OB+t(OC－OB) =(1－t) OB+tOC，

→→→→→→→→→→OM = OD+DM= OD+ tDE= OD+t(OE－OD)=(1－t) OD+ tOE →→→

= (1－t) OA + 2(1－t)tOB+t2OC ．

2

→→→

设M点的坐标为(x，y)，由OA=(2，1)， OB=(0，－1)， OC=(－2，1)得 x=(1－t2)·2+2(1－t)t·0+t2·(－2)=2(1－2t)2 222 消去t得x=4y， ∵t∈[0，1]，1+2(1－t)t·(－1)+t·1=(1－2t) y=(1－t)·

第20题解法图

x∈[－2，2]．

故所求轨迹方程为: x2=4y， x∈[－2，2]

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