(理数)湛江一中2013届高二上学期期中考试

湛江一中2013届高二上学期期中考试

数学（理科）

考试时间：120分钟 满分150分

一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共40分）

1、2007名学生中选取50名学生参加湖北省中学生夏令营，若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）

A.不全相等 B.均不相等

C.都相等，且为

50

2007

D.都相等，且为

1 40

2、设Sn为等差数列 an 的前n项和，若a1 1，公差d 2，Sk 2 Sk 24，则k （ ） A．8 B．7 C．6 D．5 3、4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里,使每个盒子都不空的放法种数为（ ）

132231332

A. C4C4C2 A3 B. A3A4 C. C4A2 D. C4

4、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为( )

A．90 B．100 C．900 D．1000

5、右图给出的是计算

1111

+2+3+...+10的值的一个程序框图，2222

其中判断框内应填入的条件是（ ）

A．i≥10? B．i>11? C．i>10? D．i<11?

6、有6根细木棒，长度分别为1，2，3，4，5，6(cm)，从中任取三根首尾相接，能搭成三角形的概率是（ ）

1A. 4

2B. 5

C.

3 10

D.

7 20

7、某流程图如下图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ） A.f(x) x2

B.f(x)

1 x

ex e x

C.f(x) x x

e e

D.f(x) sinx

1

1

8、某市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x(单位：分钟)，按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是( ) A．0.20 B．0.40 C．0.60 D．0.80

（第7题图） （第8题图）

二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）

9、为了甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8∶00~12∶00间各自的车流量（单位：百辆），得如图所示的统计图，则甲交通站的车流量在[10,60]间的频

率是 ；甲、乙两个交通站 （填甲或乙）站更繁忙。

10、一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________

11、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为 。

12、在区间

, 内任取一个实数x，则所取实数x落在函数y 2sin(2x )增区间

6 22

内的概率为 ．

13、给出下列结论 ①函数f(x)=sin(2x+

)是奇函数； 2

②某小礼堂有25排座位，每排20个，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是系统抽样方法；

2

③一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互为对立事件；

④若数据：xl，x2，x3，…，xn的方差为8，则数据x1+1，x2+1，x3+1，…，xn+1的方差为9．

其中正确结论的序号 把你认为正确结论的序号都填上)．

14、伦敦奥运会的第三天先后共产生8枚金牌，分别为中国4枚，美国2枚，日本、希腊各一枚，在奏国歌的先后顺序中，奏希腊国歌的前后都是奏中国国歌，美国国歌不连在一起奏的，则这天奏国歌的不同顺序有 种。

三、解答题：（共80分） 15、（本题满分12分）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

xy

2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

（1）画出散点图；

a . （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 y bx

（参考公式：

b

(x

i 1

n

i

)(yi )

2

xy

ii 1

n

i

n x y n x

2

(x )

i 1

n

x

i 1

n

;a y bx）

2

i

16、（本题满分12分）已知向量a (cosx,sinx),b ( cosx,cosx),c ( 1,0).

（1）若x

62

,求向量a,c的夹角； ,8

（2）当x [

9

]时，求函数f(x) 2a b 1的最小值．

17、（本题满分14分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）。求在1次游戏中，

（1）摸出3个白球的概率； （2）获奖的概率； 18、（本题满分14分）

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

3

（2）完成相应的频率分布直方图.

（3）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由. 19、（本题满分14分）

已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。 （1）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;

（2）若点E为PC的中点，求证PA//平面BDE；

（3）求由点A绕四棱锥P－ABCD的侧面一周回到点A的最短距离

20．（本题满分14分）

对任意函数f x ,x D，可按右图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列 xn 。 （1）若定义函数f x 数列 xn 的所有项；

（2）若定义函数f x xsinx 0 x 2 ，且要产生一

4x 249

，且输入x0 ，请写出x 165

4

个无穷的常数列 xn ，试求输入的初始数据x0的值及相应数列 xn 的通项公式xn； (3)若定义函数f x 2x 3，且输入x0 1，求数列 xn 的通项公式xn。

5

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共40分）

题号 1 答案 C 2 D 3 A 4 B 5 C 6 D 7 C 8 B

二、填空题：（每小题5分，共30分）

11

9、；甲 10、12 11、10 12、 13、②③ 14、120

22三、解答题：（共80分） 15.（本题12分）

(1)根据表中所列数据可得散点图如图：

3分

(2)列出下表.

i

xi yi xiyi

1 2 30 60 2 4 40 160 3 5 60 300 4 6 50 300 5 8 70 560

因此，x

5

25250 5,y 50, 55

5

5

xi2 145, yi2 13500, xiyi 1380.

i 1

i 1

i 1

于是可得b

xy 5xy

ii

i 1

5

5

x

i 1

2i

5x

2

1380 5 5 50

6.5; …………………………8分

145 5 52

50 6.5 5 17.5， ……………………………10分 a

因此，所求回归方程是 y 6.5x 17.5. ……………………………………12分 16、（本题12分） 解：（1）当x

6

时，

a c cosx

………………2分 cos a,c

2222|a| |c|cosx sinx ( 1) 0

cosx cos

6

cos

5

. ……………………………4分 6

6

5

. ……………………………6分 0 a,c , a,c 6

（2）f(x) 2a b 1 2( cos2x sinxcosx) 1 …………………7分

2sinxcosx (2cos2x 1)

sin2x cos2x 2sin(2x

4

) ………………………………9分

9 x [,],

28 3

2x [,2 ] …………………………………10分

44

故sin(2x ∴当2x

4

) [ 1.

2

], 2

37

,即x

时，f(x)min ………………12分 428

17、（本题14分）解：（1）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件

Ai (i 0,1,2,3),则

1

C32C21

P A3 22 ……………………………7分

C5C35

（2）设“在1次游戏中获奖”为事件B，则

B A2 A3，又

2111

C32C2C2CC1

P A2 22 2222 …………………………………10分

C5C3C5C32

且A2，A3互斥，所以

P(B) P(A2) P(A3)

18、（本题14分）

117

.

2510 …………………………14分

解：(1)x 4,y 0.3， ………………………… 2分 众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.……………………4分 （2）其频率分布直方图如图所示：

…

7

……………………9分

(3)样本的平均数为

7.5 0.1 22.5 0.3 37.5 0.2 52.5 0.2 67.5 0.1 82.5 0.1 40.5……11分 因为40.5 35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民

区的环境需要改进. …………… 14分

19、（本题14分）解：（1）不论点E在何位置，都有BD⊥AE

证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且BD 平面ABCD ∴BD⊥PC ……2分 又∵AC PC C∴BD⊥平面PAC ………………………………3分 ∵不论点E在何位置，都有AE 平面PAC

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE ……………………4分

（2）连接AC交BD于F,连接EF,则点Ｆ为ＢＤ的中点,

又点E为PC的中点，∴EF//PA,又EF 平面BDE，∴PA//平面BDE……9分 （3）将四棱锥的侧面沿PA展开,如图示,则AA即 为所求.

'

在Rt PCD中，sin DPC

1,cos DPC

2;

在Rt ADP中，sin APD

1,cos APD

15

;

16

5 2sin APC sin( DPC APD)

25

;………………12分

∴AA' 2PA sin APC 26 20、 (本题14分)

( 2)30

10 4; ………………………14分 5

4x 2

的定义域D , 1 1, …………………1分 x 1

49111111

把x0 代入可得x1 ，把x1 代入可得x2 ，把x2 代入可得x3 1

65191955

解：（1）函数f x 因为x3 1 D，

所以数列 xn 只有三项：x1

111

,x2 ,x3 1 ………………4分 195

（2）若要产生一个无穷的常数列，则f x xsinx x在 0,2 上有解，

8

即x sinx 1 0在 0,2 上有解，则x 0或sinx 1，所以x 0或x 即当x0 0或x0

2

……6分

2

时,xn 1 xnsinxn xn

故当x0 0时,xn 0；当x0

2

时,xn

2

． ………………………………9分

(3) f x 2x 3的定义域为R，………………………10分 若x0 1，则x1 1，

则xn 1 f xn 2xn 3，所以xn 1 3 2 xn 3 ，…………12分 所以数列 xn 3 是首项为4，公比为2的等比数列， 所以xn 3 4 2n 1 2n 1，所以xn 2n 1 3，

即数列 xn 的通项公式xn 2n 1 3． ………14分

9

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