概率上课例题集合

条件概率、乘法公式、全概率公式贝叶斯公式

1、掷一骰子，观察出现的点数，设A=“出现偶数点”，B=“出现的点数小于5”，试求P（A）；P（ＡＢ），Ｐ（Ａ｜Ｂ）？（条件概率公式）

2、一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到一等品”，求条件概率P(B|A)。（条件概率公式）

3、盒中有１０个晶体管，其中6个正品，4个次品，从盒中每次取出一只，不放回去两次，已知第一次取得正品，求第二次取得正品的概率？（条件概率公式） 4、设某一种电器设备能够使用10年以上的概率为0.8，能够使用到15年以上的概率为0.4，今有一台这样的设备，已经使用10年仍能够使用，问该电器能够使用到15年以上的概率是多少？（条件概率公式）

5、有三个孩子的的家庭中，已知有一个女孩，求此时至少有一个男孩的概率？（条件概率公式）

6、设一箱中有12个零件，其中9个正品，3个次品，从中每次取出一个，取后不放回，求第三次才取到正品的概率？（乘法公式）

7、设某透镜第一次落下打破的概率为1/2,若第一次未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次均未打破,第三次落下打破的概率为9/10,试求该透镜落下三次而未打破的概率？（条件概率公式）

8、据以往资料表明,某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律:P{孩子得病}=0.6,P{母亲得病|孩子得病}=0.5,P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4.求“母亲及孩子得病但父亲未得病”的概率。（条件概率公式） 9、随意投掷两颗骰子，观察出现的点数每种结果一(m,n)记之(m,n?1,2,...,6)，其中m表示第一颗骰子的点数，n表示第二课骰子的点数，设A，B分别表示下列的事件：

A?{(m,n)|m?n?10}，B?{(m,n)|m?n}试求P(A|B),P(B|A). （条件概率公式）

10、设某工厂为检验一种透镜的强度，任取一片透镜，让它落在地上，透镜第一次落下打破的概率为0.2，若第一次未打破,第二次落下打破的概率为0.3,若前两次均未打破,第三次落下打破的概率为0.4,设透镜至多落下三次，求打破的概率？（条件概率公式）

11、一批零件有100个，其中10个不合格，每一次从中任取一个，取出后不放回，求第三次才取到合格品的概率? （乘法公式）

12、一批小麦混有2% 的二等种子，1.5%的三等种子和4% 的四等种子，其余的是一等种子，已知一二三四等种子能够长成优等小麦的概率分别是50%，15%，10%，5%，求这一批小麦能够长成油灯小麦的概率？（全概率公式）

13、盒中有12个乒乓球，9个事未用过的，第一次比赛从盒中任取3个用完后放回盒子，第二次比赛时又从盒中任取3个，求第二次取出的全是未用过的乒乓球的概率？（全概率公式）

14、设一个仓库中有10箱同样规格的产品，其中有5箱，3箱，2箱分别是甲、乙、丙车间生产的而产品中的次品率分别是5%，2%，4%，今从10箱中任取一箱，在从所取的这箱中任取一件，求所取的一件是次品的概率？（全概率公式）

15、在上一问题中，如果抽到的是一件次品，试问这件产品是甲乙丙车间生产的概率各是多少？又这件次品是哪一个车间生产的可能性最大？（贝叶斯公式）

16、将两条信息分别编为A和B传递出去，接收站接受时，A被误收为B的概率是0.02，而B被误收为A的概率是0.01，信息A和B的传递频率为2:1，试问（1）接收站收到信息

A的概率是多少？（全概率公式）（2）如果接收站收到信息A，那么原发信息是A的概率为多少？（贝叶斯公式）

17、一箱产品是三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余二厂各生产1/4，已知第一二三家工厂的不合格产品率分别是0.02,0.03,0.04，现从该箱中任取一件产品，问取到不合格品的概率是多少？（全概率公式）

18、在上一问题中，如果已知去取出的是不合格产品，问这一不合格产品是第一二三家工厂生产的概率各是多少？（贝叶斯公式）

19、根据以往的临床记录，诊断某一种疾病的实验具有如下效应：以A表示事件“实验结果为阳性”，B表示事件“被测试者患有该疾病”，则P(A|B)?0.95，P(A|B)?0.96，现在某一地区进行普查，并已知被普查的所有人中患有该疾病的人占3/1000，试求P(B|A). 20、设在12只乒乓球中有9只新球和3只旧球,第一次比赛取出3只,用后放回去;第二次比赛又取出3只,求第二次取到的3只球中有2只为新球的概率？（全概率公式）

21、A地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A地的甲种疾病的发病率.

22、甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.（贝叶斯公式）

23、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率. （贝叶斯公式）

事件的独立性

1、三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?（事件的独立性） 2、加工某一种零件需要三道工序，设第一、二、三道工序出现不合格产品的概率分别为2%，3%，5%，设各道工序的工作是相互独立的，且一个零件经过了这三道工序，求该零件是不合格产品的概率？（事件的独立性）

3、有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子各随机地抽取一粒，求 （1）两粒种子都能发芽的概率； （2）恰好有一粒子能发芽的概率；

（3）至少有一粒种子能发芽的概率. （事件的独立性）

4、A系与B系举行篮球、排球、足球比赛，篮球赛A胜B的概率为0.8，排球赛A胜B的概率为0.4，足球赛A胜B的概率为0.4，若在三项比赛中至少胜两项才算获胜，试计算哪个系获胜的概率较大？（事件的独立性）

5、假设每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 将100人的血清混合在一起，求此中含有肝炎病毒的概率？

6、借用一个由两个或多个开关并联[如图]来改善报警电路的可靠性，这样当危险发生时，这些开关中至少有一个闭合，发出警报。假设每个开关的可靠性均为0.90，且各开关闭合与否相互独立。

（1）两开关并联时电路的可靠性为多少？

（2）至少需要多少只开关并联，才能保证电路的可靠性至少为0.9999？

7、袋中装有a个红球b?个黑球，进行有回放的取球,求（1）在第一次取到黑球的情况下，第二次也取代黑球的概率？（2）第二次取到黑球的概率？（事件的独立性）

8、抛掷两个骰子，令A=?{第一次出现“2”}，B=?{第二次出现“4”}，；论证A,B?事件按时独立的？（事件的独立性）

9、某车间中，一个工人操作甲乙两台没有联系的自动机床，有积累的数据表明，这两台机床在某一段时间内停止的概率分别是0.15,0.20，求这一段时间内至少有一台机床不停止的概率？（事件的独立性）

10、甲乙两个人独立的向一个目标射击，已知甲乙各自射中目标的概率分别是0.5和0.6，求目标被射中的概率？

11、设某仪器由n?个部分组成，在使用一年内第i个部件发生故障的概率是ri?（i=1,2,...n?）各个部件是否发生故障是相互独立的，只要有一个部件发生故障，该仪器就要停修，求在使用一年内，该仪器需要停修的概率？

12、加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.?

13、某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数)？

14、甲乙两个人向同一目标射击一次，各自射中目标的概率分别为0.5、0.6，求目标被射中的概率？

15、150个人，参加一个活动，每个人迟到概率1%，互不影响，请问该活动没有人迟到的概率是多少？

16、设某电厂甲乙两台机组并联向一城市供电，当一台机组发生故障时，另外一台机组在这一段时间内满足该城市全部用电需求的概率为90%，每一台机组发生故障的概率为0.01，且它们发生故障以否相互独立，试求：

（1）保障城市供电的概率？（全概率公式、独立性应用） （2）已知电厂发生故障时，供电满足需求的概率？（贝叶斯公式）

第二张 随机变量及其分布

随机变量举例

1、设随机试验E：抛一枚硬币，观察正面H与反面T的出现情况。 2、设随机试验E：测试灯泡寿命(小时). 离散型随机变量的分布列：（分布律举例）

3、设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯均以p的概率允许汽车通过，各信号灯的工作是相互独立的。设X表示“汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数”，求X的分布律

4、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球的最大号码,写出随机变量X的分布律和分布函数。

5、一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布.

6、盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个，直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X；

(2)取到的旧球个数Y . 7、一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。

（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。

8、一大楼装有5个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1,问在同一时刻

(1) 恰有2个设备被使用的概率是多少? (2) 至少有3个设备被使用的概率是多少? (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少?

(4) 至少有一个设备被使用的概率是多少?（二项分布概率公式）

9、随机变量X只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又

组成等差数列，求X的概率分布. （分布律举例）

1解 设P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d, P{X=3}=a+d. 由概率函数的和为1，可知a=,

3但是a－d与a+d均需大于零, 因此｜d｜＜, X的概率分布为

13X 1 2 3 P 1－d 3131 31+d 3其中d应满足条件：0＜｜d｜＜

10、盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一

个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X；

(2)取到的旧球个数Y .（分布律举例） 解 (1)X可以取1, 2, 3, 4各值.

P?X?1??P?X?3??P?X?4??34P?X?2??399 ??1211443299 ???12111022032191 ????12111092203 4(2) Y可以取0, 1, 2, 3各值 .

P?Y?0??P?X?1??12、随机变量X的分布函数F ( x ) 为：

A??1?2,F(x)??x??0,x＞2，x?2.确定常数A的值，计算P?0?X?4?.

解 由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得

1?A?0,4A?4

P?0?X?4??P?0＜X?4??F(4)?F(0)（分布函数举例）

13、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0

（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）

（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。（分布律举例）

解：（1）P (X=k)=qk1p

－k=1,2,??

（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功}

P(Y?r?n)?Crn?n?1qnpr?1p?Crn?n?1qnpr, （3）P (X=k) = (0.55)k－10.45

n?0,1,2,?,其中 q=1－p，

r?1rk?r,k?r,r?1,? 或记r+n=k，则 P{Y=k}=Ck?1p(1?p)k=1,2…

P (X取偶数)=

?k?1?P(X?2k)??k?1?(0.55)2k?10.45?11 3114、为保证设备正常工作，需要配备一些维修工．若设备是否发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01（每台设备发生故障可由1人排除）．试求： (1) 若一名维修工负责维修20台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？ (2) 若3人负责80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？

解 (1) 设X表示20台设备中同时发生故障的台数，则X~B(20,0.01)，根据泊松定理，X可近似地看作服从泊松分布，其中参数??np?20?0.01?0.2.

20台设备中只配备一个维修人员，则只要有两台或两台以上设备同时发生故障，就不能得到及时维修，故所求概率为：

0.2k?0.2P{X?2}?1?P{X?2}?1??e?1?e?0.2?0.2e?0.2?0.0175．

k?0k!1 (2) 80台设备中同时发生故障的台数X~B(80,0.01)，类似的，可用??80?0.01?0.8的泊松分布来近似，于是所求概率为：

30.8k?0.80.8k?0.8 （poisson分布举例）e?0.009．P{X?4}?1?P{X?4}?1??e?1??k?0k!k?0k!315、在独立重复试验中事件A发生的概率为p，设X表示直到事件A发生时为止所进行的独立试

验的次数X所服从的分布叫做集合分布。（几何分布概念） 16、保险公司在一天内承保了5 000张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份.在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元.设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率(利用泊松定理计算). 17、某商店根据以往的资料表明，某一种商品每月的销售量X（单位：件）服从参数为5的poisson分布，为了保证该商品有99% 以上的把握不脱销，问商店在每月底至少要进该商品多少件？（假定上月没有存货）.

18、有一繁忙的汽车站，每夭有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.000 1.在某天的该时间段内有1 000辆汽车通过，问出事故的车辆数不小于2的概率是多少?(利用泊松定理计算)

19、以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间(以分计)，X的分布函数是

?1?e?0.4x????????x?0F(x)??

???0,???????????????x???求下述概率:

(1)P{至多3分钟}. (2)P{至少4分钟}. (3)P{3分钟至4分钟之间}. (4)P{至多3分钟或至少4分钟}.

(5)P{恰好2，5分钟}.

正态分布：

1、如果文理学院的学生的身高X~N(170,100)，请问身高为160-170之间的人所占的比例为多少？身高不足150的人所占的比例是多少？身高超过190的人所占的比例是多少？

2、假定文理学院的学生的智商X~N（105,100），请问文理学院有多少个弱智？有多少个天才？（文理学院总人数为20000人）

3、某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,122)在该地区任选

一18岁女青年，测量她的血压X。求

（1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05.

4、由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？

5、一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？

6、某班数学考试的成绩呈正态分布N（70,100），老师将最高成绩的5%定为优秀，那么成绩为优秀的最低成绩为多少？老师将最低成绩的5%定为差，那么成绩为低的最高成绩为多少？

7、某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假设报名者的成绩X~N(?,?)，已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少？

分析：已知成绩X~N(?,?)，但不知?、?的值，所以，本题的关键是求?、?，再进一步根据正态分布标准化方法进行求解.

解：根据题意：P{X?90}?22359?0.0359，故

10000P{X?90}?1?P{X?90}?0.9641，而

P{X?90}?P{90??X????90???}??(90???)?0.9641，反查标准正态分布表，得：

??1.8 （1）

同样，P{X?60}?1151?0.1151，而

10000X??60??60??P{X?60}?P{X?60}?P{?}??()?0.1151，通过反查标准正

???态分布表，得：

60????1.2 （2）

2由（1）、（2）两式解得：??72,??10，所以X~N(72,10)；

已知录用率为

2500?0.25，设被录用者中最低分为x0，则

10000P{X?x0}?1?P{X?x0}?0.75，而 P{X?x0}?P{x?72X?72x0?72?}??(0)?0.75，反查标准正态分布表，得：101010x0?72?0.675，解得：x0?78.75 10故：被录用者中最低分为79分.

二项分布概率公式的近似计算问题：

随机变量：与样本空间对应的实数X，整体看待它，它会取各种各样的值，而且取每一个值的机会不一样，“随机会而定的变量”。常见的有离散型的和连续型的随机变量，而离散型的又有两点分布、二项分布、poisson分布、几何分布等；连续型的有均匀分布、正态分布、指数分布等。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/toxv.html