概率上课例题集合

更新时间:2023-11-19 11:12:01 阅读量: 教育文库 文档下载

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条件概率、乘法公式、全概率公式贝叶斯公式

1、掷一骰子,观察出现的点数,设A=“出现偶数点”,B=“出现的点数小于5”,试求P(A);P(AB),P(A|B)?(条件概率公式)

2、一盒子装有5只产品,其中3只一等品,2只二等品。从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样。设事件A为“第一次取到一等品”,事件B为“第二次取到一等品”,求条件概率P(B|A)。(条件概率公式)

3、盒中有10个晶体管,其中6个正品,4个次品,从盒中每次取出一只,不放回去两次,已知第一次取得正品,求第二次取得正品的概率?(条件概率公式) 4、设某一种电器设备能够使用10年以上的概率为0.8,能够使用到15年以上的概率为0.4,今有一台这样的设备,已经使用10年仍能够使用,问该电器能够使用到15年以上的概率是多少?(条件概率公式)

5、有三个孩子的的家庭中,已知有一个女孩,求此时至少有一个男孩的概率?(条件概率公式)

6、设一箱中有12个零件,其中9个正品,3个次品,从中每次取出一个,取后不放回,求第三次才取到正品的概率?(乘法公式)

7、设某透镜第一次落下打破的概率为1/2,若第一次未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次均未打破,第三次落下打破的概率为9/10,试求该透镜落下三次而未打破的概率?(条件概率公式)

8、据以往资料表明,某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律:P{孩子得病}=0.6,P{母亲得病|孩子得病}=0.5,P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4.求“母亲及孩子得病但父亲未得病”的概率。(条件概率公式) 9、随意投掷两颗骰子,观察出现的点数每种结果一(m,n)记之(m,n?1,2,...,6),其中m表示第一颗骰子的点数,n表示第二课骰子的点数,设A,B分别表示下列的事件:

A?{(m,n)|m?n?10},B?{(m,n)|m?n}试求P(A|B),P(B|A). (条件概率公式)

10、设某工厂为检验一种透镜的强度,任取一片透镜,让它落在地上,透镜第一次落下打破的概率为0.2,若第一次未打破,第二次落下打破的概率为0.3,若前两次均未打破,第三次落下打破的概率为0.4,设透镜至多落下三次,求打破的概率?(条件概率公式)

11、一批零件有100个,其中10个不合格,每一次从中任取一个,取出后不放回,求第三次才取到合格品的概率? (乘法公式)

12、一批小麦混有2% 的二等种子,1.5%的三等种子和4% 的四等种子,其余的是一等种子,已知一二三四等种子能够长成优等小麦的概率分别是50%,15%,10%,5%,求这一批小麦能够长成油灯小麦的概率?(全概率公式)

13、盒中有12个乒乓球,9个事未用过的,第一次比赛从盒中任取3个用完后放回盒子,第二次比赛时又从盒中任取3个,求第二次取出的全是未用过的乒乓球的概率?(全概率公式)

14、设一个仓库中有10箱同样规格的产品,其中有5箱,3箱,2箱分别是甲、乙、丙车间生产的而产品中的次品率分别是5%,2%,4%,今从10箱中任取一箱,在从所取的这箱中任取一件,求所取的一件是次品的概率?(全概率公式)

15、在上一问题中,如果抽到的是一件次品,试问这件产品是甲乙丙车间生产的概率各是多少?又这件次品是哪一个车间生产的可能性最大?(贝叶斯公式)

16、将两条信息分别编为A和B传递出去,接收站接受时,A被误收为B的概率是0.02,而B被误收为A的概率是0.01,信息A和B的传递频率为2:1,试问(1)接收站收到信息

A的概率是多少?(全概率公式)(2)如果接收站收到信息A,那么原发信息是A的概率为多少?(贝叶斯公式)

17、一箱产品是三家工厂生产的,其中1/2是第一家工厂生产的,其余二厂各生产1/4,已知第一二三家工厂的不合格产品率分别是0.02,0.03,0.04,现从该箱中任取一件产品,问取到不合格品的概率是多少?(全概率公式)

18、在上一问题中,如果已知去取出的是不合格产品,问这一不合格产品是第一二三家工厂生产的概率各是多少?(贝叶斯公式)

19、根据以往的临床记录,诊断某一种疾病的实验具有如下效应:以A表示事件“实验结果为阳性”,B表示事件“被测试者患有该疾病”,则P(A|B)?0.95,P(A|B)?0.96,现在某一地区进行普查,并已知被普查的所有人中患有该疾病的人占3/1000,试求P(B|A). 20、设在12只乒乓球中有9只新球和3只旧球,第一次比赛取出3只,用后放回去;第二次比赛又取出3只,求第二次取到的3只球中有2只为新球的概率?(全概率公式)

21、A地为甲种疾病多发区,该地共有南、北、中三个行政小区,其人口比为9 : 7 : 4,据统计资料,甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰,2‰,5‰,求A地的甲种疾病的发病率.

22、甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件,其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2,各机床所加工的零件合格率,依次为94%,90%,95%,现在从加工好的整批零件中检查出一个废品,判断它不是甲机床加工的概率.(贝叶斯公式)

23、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具,其概率分别为5%,15%,30%,50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%,70%,60%与90%,已知该旅行者误期到达,求他是乘坐火车的概率. (贝叶斯公式)

事件的独立性

1、三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?(事件的独立性) 2、加工某一种零件需要三道工序,设第一、二、三道工序出现不合格产品的概率分别为2%,3%,5%,设各道工序的工作是相互独立的,且一个零件经过了这三道工序,求该零件是不合格产品的概率?(事件的独立性)

3、有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子各随机地抽取一粒,求 (1)两粒种子都能发芽的概率; (2)恰好有一粒子能发芽的概率;

(3)至少有一粒种子能发芽的概率. (事件的独立性)

4、A系与B系举行篮球、排球、足球比赛,篮球赛A胜B的概率为0.8,排球赛A胜B的概率为0.4,足球赛A胜B的概率为0.4,若在三项比赛中至少胜两项才算获胜,试计算哪个系获胜的概率较大?(事件的独立性)

5、假设每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 将100人的血清混合在一起,求此中含有肝炎病毒的概率?

6、借用一个由两个或多个开关并联[如图]来改善报警电路的可靠性,这样当危险发生时,这些开关中至少有一个闭合,发出警报。假设每个开关的可靠性均为0.90,且各开关闭合与否相互独立。

(1)两开关并联时电路的可靠性为多少?

(2)至少需要多少只开关并联,才能保证电路的可靠性至少为0.9999?

7、袋中装有a个红球b?个黑球,进行有回放的取球,求(1)在第一次取到黑球的情况下,第二次也取代黑球的概率?(2)第二次取到黑球的概率?(事件的独立性)

8、抛掷两个骰子,令A=?{第一次出现“2”},B=?{第二次出现“4”},;论证A,B?事件按时独立的?(事件的独立性)

9、某车间中,一个工人操作甲乙两台没有联系的自动机床,有积累的数据表明,这两台机床在某一段时间内停止的概率分别是0.15,0.20,求这一段时间内至少有一台机床不停止的概率?(事件的独立性)

10、甲乙两个人独立的向一个目标射击,已知甲乙各自射中目标的概率分别是0.5和0.6,求目标被射中的概率?

11、设某仪器由n?个部分组成,在使用一年内第i个部件发生故障的概率是ri?(i=1,2,...n?)各个部件是否发生故障是相互独立的,只要有一个部件发生故障,该仪器就要停修,求在使用一年内,该仪器需要停修的概率?

12、加工某种零件,需经过三道工序,假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关,求零件的合格率.?

13、某单位电话总机的占线率为0.4,其中某车间分机的占线率为0.3,假定二者独立,现在从外部打电话给该车间,求一次能打通的概率;第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数)?

14、甲乙两个人向同一目标射击一次,各自射中目标的概率分别为0.5、0.6,求目标被射中的概率?

15、150个人,参加一个活动,每个人迟到概率1%,互不影响,请问该活动没有人迟到的概率是多少?

16、设某电厂甲乙两台机组并联向一城市供电,当一台机组发生故障时,另外一台机组在这一段时间内满足该城市全部用电需求的概率为90%,每一台机组发生故障的概率为0.01,且它们发生故障以否相互独立,试求:

(1)保障城市供电的概率?(全概率公式、独立性应用) (2)已知电厂发生故障时,供电满足需求的概率?(贝叶斯公式)

第二张 随机变量及其分布

随机变量举例

1、设随机试验E:抛一枚硬币,观察正面H与反面T的出现情况。 2、设随机试验E:测试灯泡寿命(小时). 离散型随机变量的分布列:(分布律举例)

3、设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯均以p的概率允许汽车通过,各信号灯的工作是相互独立的。设X表示“汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数”,求X的分布律

4、一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球的最大号码,写出随机变量X的分布律和分布函数。

5、一箱产品20件,其中有5件优质品,不放回地抽取,每次一件,共抽取两次,求取到的优质品件数X的概率分布.

6、盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个为旧球,采取不放回抽取,每次一个,直到取得新球为止,求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X;

(2)取到的旧球个数Y . 7、一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各扇窗子是随机的。

(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律。

(2)户主声称,他养的一只鸟,是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求Y的分布律。

(3)求试飞次数X小于Y的概率;求试飞次数Y小于X的概率。

8、一大楼装有5个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1,问在同一时刻

(1) 恰有2个设备被使用的概率是多少? (2) 至少有3个设备被使用的概率是多少? (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少?

(4) 至少有一个设备被使用的概率是多少?(二项分布概率公式)

9、随机变量X只取1, 2, 3共三个值,其取各个值的概率均大于零且不相等并又

组成等差数列,求X的概率分布. (分布律举例)

1解 设P{X=2}=a,P{X=1}=a-d, P{X=3}=a+d. 由概率函数的和为1,可知a=,

3但是a-d与a+d均需大于零, 因此|d|<, X的概率分布为

13X 1 2 3 P 1-d 3131 31+d 3其中d应满足条件:0<|d|<

10、盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个为旧球,采取不放回抽取,每次一

个直到取得新球为止,求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X;

(2)取到的旧球个数Y .(分布律举例) 解 (1)X可以取1, 2, 3, 4各值.

P?X?1??P?X?3??P?X?4??34P?X?2??399 ??1211443299 ???12111022032191 ????12111092203 4(2) Y可以取0, 1, 2, 3各值 .

P?Y?0??P?X?1??12、随机变量X的分布函数F ( x ) 为:

A??1?2,F(x)??x??0,x>2,x?2.确定常数A的值,计算P?0?X?4?.

解 由F ( 2+0 )=F ( 2 ),可得

1?A?0,4A?4

P?0?X?4??P?0<X?4??F(4)?F(0)(分布函数举例)

13、进行重复独立实验,设每次成功的概率为p,失败的概率为q =1-p(0

(1)将实验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,求X的分布律。(此时称X服从以p为参数的几何分布。)

(2)将实验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分布律。(此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。)

(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率。(分布律举例)

解:(1)P (X=k)=qk1p

-k=1,2,??

(2)Y=r+n={最后一次实验前r+n-1次有n次失败,且最后一次成功}

P(Y?r?n)?Crn?n?1qnpr?1p?Crn?n?1qnpr, (3)P (X=k) = (0.55)k-10.45

n?0,1,2,?,其中 q=1-p,

r?1rk?r,k?r,r?1,? 或记r+n=k,则 P{Y=k}=Ck?1p(1?p)k=1,2…

P (X取偶数)=

?k?1?P(X?2k)??k?1?(0.55)2k?10.45?11 3114、为保证设备正常工作,需要配备一些维修工.若设备是否发生故障是相互独立的,且每台设备发生故障的概率都是0.01(每台设备发生故障可由1人排除).试求: (1) 若一名维修工负责维修20台设备,求设备发生故障而不能及时维修的概率是多少? (2) 若3人负责80台设备,求设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?

解 (1) 设X表示20台设备中同时发生故障的台数,则X~B(20,0.01),根据泊松定理,X可近似地看作服从泊松分布,其中参数??np?20?0.01?0.2.

20台设备中只配备一个维修人员,则只要有两台或两台以上设备同时发生故障,就不能得到及时维修,故所求概率为:

0.2k?0.2P{X?2}?1?P{X?2}?1??e?1?e?0.2?0.2e?0.2?0.0175.

k?0k!1 (2) 80台设备中同时发生故障的台数X~B(80,0.01),类似的,可用??80?0.01?0.8的泊松分布来近似,于是所求概率为:

30.8k?0.80.8k?0.8 (poisson分布举例)e?0.009.P{X?4}?1?P{X?4}?1??e?1??k?0k!k?0k!315、在独立重复试验中事件A发生的概率为p,设X表示直到事件A发生时为止所进行的独立试

验的次数X所服从的分布叫做集合分布。(几何分布概念) 16、保险公司在一天内承保了5 000张相同年龄,为期一年的寿险保单,每人一份.在合同有效期内若投保人死亡,则公司需赔付3万元.设在一年内,该年龄段的死亡率为0.0015,且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率(利用泊松定理计算). 17、某商店根据以往的资料表明,某一种商品每月的销售量X(单位:件)服从参数为5的poisson分布,为了保证该商品有99% 以上的把握不脱销,问商店在每月底至少要进该商品多少件?(假定上月没有存货).

18、有一繁忙的汽车站,每夭有大量汽车通过,设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.000 1.在某天的该时间段内有1 000辆汽车通过,问出事故的车辆数不小于2的概率是多少?(利用泊松定理计算)

19、以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间(以分计),X的分布函数是

?1?e?0.4x????????x?0F(x)??

???0,???????????????x???求下述概率:

(1)P{至多3分钟}. (2)P{至少4分钟}. (3)P{3分钟至4分钟之间}. (4)P{至多3分钟或至少4分钟}.

(5)P{恰好2,5分钟}.

正态分布:

1、如果文理学院的学生的身高X~N(170,100),请问身高为160-170之间的人所占的比例为多少?身高不足150的人所占的比例是多少?身高超过190的人所占的比例是多少?

2、假定文理学院的学生的智商X~N(105,100),请问文理学院有多少个弱智?有多少个天才?(文理学院总人数为20000人)

3、某地区18岁的女青年的血压(收缩区,以mm-Hg计)服从N(110,122)在该地区任选

一18岁女青年,测量她的血压X。求

(1)P (X≤105),P (100x) ≤ 0.05.

4、由某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数为μ=10.05,σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格的概率是多少?

5、一工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从参数为μ=160,σ(未知)的正态分布,若要求P (120<X≤200==0.80,允许σ最大为多少?

6、某班数学考试的成绩呈正态分布N(70,100),老师将最高成绩的5%定为优秀,那么成绩为优秀的最低成绩为多少?老师将最低成绩的5%定为差,那么成绩为低的最高成绩为多少?

7、某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依次录用,共有10000人报名,假设报名者的成绩X~N(?,?),已知90分以上有359人,60分以下有1151人,问被录用者中最低分为多少?

分析:已知成绩X~N(?,?),但不知?、?的值,所以,本题的关键是求?、?,再进一步根据正态分布标准化方法进行求解.

解:根据题意:P{X?90}?22359?0.0359,故

10000P{X?90}?1?P{X?90}?0.9641,而

P{X?90}?P{90??X????90???}??(90???)?0.9641,反查标准正态分布表,得:

??1.8 (1)

同样,P{X?60}?1151?0.1151,而

10000X??60??60??P{X?60}?P{X?60}?P{?}??()?0.1151,通过反查标准正

???态分布表,得:

60????1.2 (2)

2由(1)、(2)两式解得:??72,??10,所以X~N(72,10);

已知录用率为

2500?0.25,设被录用者中最低分为x0,则

10000P{X?x0}?1?P{X?x0}?0.75,而 P{X?x0}?P{x?72X?72x0?72?}??(0)?0.75,反查标准正态分布表,得:101010x0?72?0.675,解得:x0?78.75 10故:被录用者中最低分为79分.

二项分布概率公式的近似计算问题:

随机变量:与样本空间对应的实数X,整体看待它,它会取各种各样的值,而且取每一个值的机会不一样,“随机会而定的变量”。常见的有离散型的和连续型的随机变量,而离散型的又有两点分布、二项分布、poisson分布、几何分布等;连续型的有均匀分布、正态分布、指数分布等。

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/toxv.html

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