第九章正弦稳态电路的分析

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第九章 正弦稳态电路的分析 9.1阻抗和导纳1. 阻抗与导纳

& I+& U

& I无源 线性 +& U

Z

-

-

阻抗的定义

Z=

U

=| Z | ∠φ

U Z = I

阻抗模 单位： 单位：

I

= ψ u ψ i 阻抗角

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当无源网络内为单个元件时有： 当无源网络内为单个元件时有：

& U Z= & =R I

& U 1 Z = = j = jXC & I ωC& U Z = & = jω L = jX L IZ可以是实数，也可以是虚数 可以是实数， 可以是实数

& I+ & U L

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导纳Y 导纳

单位： 单位：S( φ ' = Ψi Ψu )

& Y = I =| Y | ∠ φ ' & U

对同一二端网络: 对同一二端网络

1 1 Z= ,Y = Y Z

2. R、L、C 元件的阻抗和导纳 、 、 (1)R: ) : (2)L: ) : Z R = R , YR = 1 R =G

1 1 Z L = jω L , Y L = = j jω L ωL

1 1 , YC = jωC = (3)C: Z C = j ) : ω C jω C

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3. RLC串联电路 RLC串联电路 用相量法分析R、 、 串联电路的阻抗 用相量法分析 、L、C串联电路的阻抗 L + + uR - + uL u C 由KVL: : i R.

I

R

jω L. ++ U L -

+ uC -

+.

U -

1 jω C

+ . UC -

u = uR + uL + uC . . . . . . 1 . 其相量关系也成立 U = U R + U L + UC = R I + jωL I j I ωC 1 1 = [ R + j ( ωL & & )] I = [ R + j ( X L + X C )] I Z = R + jωL j ωC ωC & = ( R + jX ) I = R + jX

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则

. U Z = . = R + jX =| Z | ∠ I

Z— 阻抗；R—电阻 阻抗的实部 ；X—电抗 阻抗的虚部 ； 阻抗； 电阻(阻抗的实部 电抗(阻抗的虚部 电阻 阻抗的实部); 电抗 阻抗的虚部); |Z|—复阻抗的模； —阻抗角。 复阻抗的模； 阻抗角。 复阻抗的模 阻抗角 关系： 关系： | Z |= R 2 + X 2 X φ = arctg R

R=|Z|cos 或 X=|Z|sin |Z| X j R 阻抗三角形

U Z = I = ψ u ψ i

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具体分析一下 R、L、C 串联电路： 、 、 串联电路： Z=R+j(ωL-1/ωC)=|Z|∠φ ωL > 1/ωC ,X>0, φ >0,电路为感性，电压超前电流 ， ,电路为感性， ωL<1/ωC ,X<0, φ <0,电路为容性，电压滞后电流 ， ,电路为容性， ωL=1/ωC ,X=0, φ =0,电路为电阻性，电压与电流同相 ， ,电路为电阻性， 画相量图：选电流为参考向量 画相量图：选电流为参考向量(ωL > 1/ω C )& UL& U& UC

i = 0

& UR

UX& I

三角形U 三角形 R 、UX 、U 称为电压三 角形，它和阻抗三角形相似。 角形，它和阻抗三角形相似。即2 2 U = UR + UX

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例. u 解：

i +

R

L + uL C

已知： µ + 已知：R=15 , L=0.3mH, C=0.2µF, uC u = 5 2 sin(ωt + 60o )V , f = 3 ×10 4 Hz . 求 i, uR , uL , uC .

uR + uL + uC = uU = 5∠60o VjωL = j2π × 3 × 104 × 0.3 × 10 3 = j56.5 + 1 . j 1 = j = j26.5 4 6 U C ωC 2 π × 3 × 10 × 0.2 × 10

其相量模型为 . I R jω L +. . + UL 1 jω C

U -

1 o = 15 + j56.5 j26.5 = 33.54∠ 63.4 Z = R + jωL j ωC

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U 5∠60o I= = = 0.149∠ 3.4o A Z 33.54∠ 63.4o

U R = R I = 15 × 0.14

9∠ 3.4o = 2.235∠ 3.4o VU L = jωL I = 56.5∠90o × 0.149∠ 3.4o = 8.42∠ 86.4o V

1 U C = j I = 26.5∠ 90o × 0.149∠ 3.4o = 3.95∠ 93.4o V ωC

则

i = 0.149 2 sin( ωt 3.4o ) A

& UC

uR = 2.235 2 sin( ω t 3.4o ) V

& UL

uL = 8.42 2 sin( ω t + 86.6 ) Vo

& Uφ

uC = 3.95 2 sin( ω t 93.4 ) Vo

-3.40& UR& I

UL=8.42>U=5,分电压大于总电压。 ,分电压大于总电压。

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4. RLC并联电路 并联电路 i + u R 由KCL: : iL L iL C iC +U R..

I

-

IL 1 jω L jω CIR

.

.

.

IC

. . . . . . 1 . U + jω C U I = I R+ I L+ IC = GU j ωL . 1 = (G j + jω C ) U ωL . = [G + j( BL + BC ) U . = (G + jB ) U

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. I∠ψ i I I Y= . = = ∠ψ ψ = G + jB =| Y | ∠φ ' i u U∠ψ U u U

Y— 复导纳；G—电导 导纳的实部 ；B—电纳 导纳的虚部 ； 复导纳； 电导(导纳的实部 电纳(导纳的虚部 电导 导纳的实部); 电纳 导纳的虚部); |Y|—复导纳的模； '—导纳角。 复导纳的模； 导纳角。 复导纳的模 导纳角 关系： 关系： | Y |= G 2 + B 2 G=|Y|cos ' B 或 B=|Y|sin ' φ ' = arctg G

I Y = U ′ = ψi ψu

|Y| j′ B

G 导纳三角形

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Y=G+j(ωC-1/wL)=|Y|∠ ′ ωC > 1/ωL ,B>0, '>0,电路为容性，i领先 领先u , ,电路为容性， 领先 ωC<1/ωL ,B<0, '<0,电路为感性，i落后 落后u , ,电路为感性， 落后 ωC=1/ωL ,B=0, ′ =0,电路为电阻性，i与u同相 ， ,电路为电阻性， 与 同相 画相量图：选电压为参考向量 画相量图：选电压为参考向量(ωC < 1/ωL, ′<0 ) , . I & U u = 0.

'& I

. IG

+U R.

. IC . IL

-

IL 1 jω L jω CIR

.

.

IC

& & & & I = IG + I L + IC

I=

2 2 IG + I B =

2 IG + (I L IC )2

RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象 RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象

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5. 阻抗和导纳的等效互换 º Z R jX º º Y G jB

º Z = R + jX =| Z | ∠φ

Y = G + jB =| Y | ∠φ '

1 = 1 = R jX = G + jB Y= Z R+ jX R 2 + X 2 ∴ G = 2R 2 , B = 2 X 2 R +X R +X 1 | Y |= , φ ' = φ |Z|为感性， 一般情况 G≠1/R B≠1/X。若Z为感性，X>0,则B<0,即仍为感性 ≠ ≠ 为感性 ， ,

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同样，若由 变为 变为Z,则有： 同样，若由Y变为 ，则有：

Y = G + jB =| Y | ∠φ' , Z = R + jX =| Z | ∠φ 1 = 1 = G jB = R + jX Z= Y G + jB G 2 + B 2 ∴ R = 2G 2 , X = 2 B 2 G +B G +B 1 | Y |= , φ = φ' |Z|º Y º G jB º º Z

R jX

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6、阻抗串并联的计算 、

I

Z1 - + U1 U2

I

+ + Z

+ Z2 Y

I1

I2

U

U

Y1

Y2Z1 Z 2 Z= Z1 + Z 2 & I1 = Z2 & I Z1 + Z 2

-

-

-

Z = Z1 + Z 2 & = Z1 U & U1 Z同直流电路相似： 同直流电路相似：

Y = Y1 + Y2 & = Y1 I & I1 YZ = ∑ Zk , Y = ∑ Yk ,

串联 : 并联 :

Zk Uk = U ∑ Zk Yk Ik = I ∑ Yk

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9.2

电路的相量图相量图 1. 同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中 2. 反时针旋转角速 度 3. 选定一个参考相量 设初相位为零。) 选定一个参考相量(设初相位为零 设初相位为零。 串联电路:设电流为参考相量 串联电路 设电流为参考相量 并联电路:设电压为参考相量 并联电路 设电压为参考相量

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例：选 ÙR为参考相量

& UL

& IC

& IL

& U& & UR = UC

& IR

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9. 3 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较： 电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：电阻电路 : KCL : ∑ i = 0 KVL : ∑ u = 0 元件约束关系 : u = Ri 或 i = Gu

正弦电路相量分析 : KCL : ∑ I = 0 KVL : ∑ U = 0 元件约束关系 : U = Z I 或 I =YU

可见，二者依据的电路定律是相似的。 可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦 电流电路的相量模型， 电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应 用于正弦稳态的相量分析 相量分析中 用于正弦稳态的相量分析中。

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已知: 例 1: 已知 R1 = 1000 , R2 = 10 , L = 500mH , C = 10µF ,

U = 100V , ω = 314rad / s , 求:各支路电流。 各支路电流。 各支路电流i2 i1 i3 + _ u L C R2 R1

& I1+ & U _

& I2

R1 j 1 ωC

& I3

R2jωL ω

Z1

Z2

解：画出电路的相量模型 R1 ( j 1 ) 1000 × ( j 318.47 ) 318.47 × 10 3 ∠ 90o ωC = Z1 = = 1000 j 318.47 1049.5∠ 17.7 o R1 j 1 ωC = 303.45∠ 72.3o = 92.11 j 289.13

Z 2 = R2 + jωL = 10 + j157

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& I1+ & U _

& I2

R11 j ωC

& I3

Z = Z1 + Z 2R2jωL ω

Z1

Z2

= 92.11 j 289.13 + 10 + j157 = 102.11 j132.13 = 166.99∠ 52.3o

& U 100∠ 100∠0o & = = I1 = 0.6∠ 52.3o A Z 166.99∠ 52.3o j1 ωC I = j 318.47 × 0.6∠ 52.3o = 0.181∠ 20o A & & I2 = 1 1 1049.5∠ 17.7 o R1 j ωC R1 1000 & = & = I3 I1 × 0.6∠ 52.3o = 0.57∠70o A 1 1049.5∠ 17.7 o R1 j ωC

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& U 100∠0o & I1 = = = 0.6∠52.3o A Z 166.99∠ 52.3o1 R1 j ωC R1 1000 & & I1 = × 0.6∠ 52.3o = 0.57∠70o A I3 = 1 1049.5∠ 17.7 o R1 j ωC & I2 = j1

ωC I = & 1

j 318.47 × 0.6∠ 52.3o = 0.181∠ 20o A 1049.5∠ 17.7 o

瞬时值表达式为： 瞬时值表达式为：

i1 = 0.6 2 COS (314 t + 52.3o ) Ai2 = 0.181 2COS (314t 20o ) A

i3 = 0.57 2 COS (314 t + 70o ) A

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例2

Z2

& I

& IS

Z1

Z3

Z

已知： & 已知： I S = 4∠ 90 o A , Z 1 = Z 2 = j30 Z 3 = 30 , Z = 45 & 求： I .

解： Z2 Z1// 3 //Z +& ( Z 1 // Z 3 ) I S

法一：电源变换 法一：

30( j 30) Z 1 // Z 3 = = 15 j15 30 j 30 & I & IS ( Z1 // Z 3 ) j4(15 j15) = Z I= Z1 // Z 3 + Z 2 + Z 15 j15 j30+45

-

5.657∠ 45o = 1.13∠81.9o A = 5∠ - 36.9o

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/toue.html