北京市丰台区2014届高三第二学期统一练习数学(理)

北京市丰台区

2014届高三第二学期统一练习（一）

数学（理）试题

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合A?{x?R|?1?x?1},B?{x?R|x(x?3)?0},则A （A） {x?R|?1?x?3} （B） {x?R|0?x?3} （C） {x?R|?1?x?0} （D） {x?R|0?x?1} （2）在极坐标系中，点A（1,?）到直线?cos??2的距离是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （3）执行如图所示的程序框图，输出的x值为

B等于

829 （A）5 （B）12 513 （C）3 （D）8

（4）已知函数f(x)是定义在[?6,6]上的偶函数，下列各式中

一定成立的是

i 开始 =0,x i = i+1 x?1?1x否 i=0,x=1 i ≥4 是 输出x 结束 且f(3)?f(1)，则

（A）f(0)?f(6) （B）f(-3)?f(-2)

- 1 -

（C）f(?1)?f(3) （D）f(-2)?f(1) （5） “m?n?1”是 “

logm2?logn2”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大 赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是（A）（B）（C）（D）

x甲，x乙，则下列说法正确的是

x甲?x乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 x甲?x乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 x甲?x乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 x甲?x乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛

（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是

14 （A）3 （B）4 10 （C）3 （D）3

1211主视图侧视图1

2

俯视图

（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年 年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有

（A）24个 （B）21个 （C）19个 （D）18个 第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

sin??cos?（9） 已知tan??2，则sin??cos?的值为_______________.

a13a?a5?8，a1a5?4，则a9= . {a}(10)已知等比数列n中, 3(11) 如图,已知圆的两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点, 且DF=CF=2,AF:FB:BE=4：2：1.若CE与圆相切,则线段CE的长

- 2 -

为 ．

(12) 已知点F,B

DABFCE分别为双曲线

x2y2?2?1(a?0,b?0)2abC:的焦点和虚轴端点，

在双曲线C上，则双曲线C的离心率是___________.

若线段FB的中点

uuuruuur(13)已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，AM?mAB，

nuuuruuuruuuruuur AN?nAD(m?n?0),若MN∥BE，则m=______________.

??x2?y2?1?0，??t?x?t，??y?00?y?1?t2???(14)设不等式组表示的平面区域为M，不等式组 表示的平面区域为N.在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值

是_________.

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. (15)(本小题共13分)

f(x)?cos(2x?已知函数

?3)?2sin2x?1．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

[0,]f(x)2上的最大值和最小值. （Ⅱ）求函数在区间

(16) (本小题共13分)

年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：

健康指数 60岁至79岁的人数 80岁及以上的人数 2 250 20 1 260 45 0 65 20 -1 25 15 ?其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。

（Ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。

（Ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该地区老龄人健康指数X分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”. (17) (本小题共14分)

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点. （Ⅰ）求证：DA1⊥ED1 ；

- 3 -

AE（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45o，求AB的值；

（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）.

D1C1 A1B1

(18) (本小题共13分)

x(a?0). f(x)?ax?e已知曲线

DAEBC（Ⅰ）求曲线在点（0,f(0)）处的切线方程； （Ⅱ）若存在

x0使得f(x0)?0，求a的取值范围.

(19) (本小题共14分)

x2y23+=1(a>b>0)2b2如图，已知椭圆E: a的离心率为2，过左焦点F(?3,0)且斜率为k的直

线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线l：x?4ky?0交椭圆E于C,D两点. （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）求证：点M在直线l上；

（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不

存在，说明理由.

(20) (本小题共13分) 从数列叫数列 子列.

（Ⅰ）写出数列{3n?1}的一个是等比数列的子列； （Ⅱ）若

{an}中抽出一些项，

依原来的顺序组

成的新数列

{an}的一个

{an}是无穷等比数列，首项a1?1，公比q?0且q?1，则数列{an}是否存在一个子列为

- 4 -

无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.

丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一） 数学（理科）答案 2014.3 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 C 5 A 6 D 7 B 8 B 二、填空题

179． 3 10. 9 11. 2 12.

三、解答题 15.解：

25 13. 2 14. ?

f(x)?cos2xcos（Ⅰ）

?3?sin2xsin?3?cos2x

13?cos2x?sin2x?cos2x22 ?33sin2x?cos2x22

13?3(sin2x?cos2x)22 ?3(sin2xcos??cos2xsin)33

??3sin(2x?)3--------------------------------------------------------------5分

所以f(x)的最小正周期为π.----------------------------------------------7分

?f(x)?3sin(2x?)3 （Ⅱ）由（Ⅰ）知

π?ππ4πππx?x?[0,]2x??[,]2x??12时，函数f(x)取最大值3，2，所以333，当32，即因为2x?当

?π3π4πx???2时，函数f(x)取最小值2. 33，即

3??[0,]2上的最大值为3，最小值为2.--------------13分 所以，函数f(x)在区间

- 5 -

16.解：

250?260?6523?（Ⅰ）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为250?260?65?2524， 23 所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为24.--------------5分

（Ⅱ）该地区老龄人健康指数X的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计 概率)：

X p 2 1 0 -1 270700 305700 85700 40700 2? EX=

2703058540?1??0??(?1)?700700700700=1.15

因为EX<1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13分

17. 解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则

zD(0,0,0),A（1，0，0），

D1 B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)

（0≤m≤1）

A1C1B1（Ⅰ）证明：

DA1?(1,0,1)，ED1?(?1,?m,1)

DDA1?ED1?1?(?1)?0?(?m)?1?1?0

CBy 所以DA1⊥ED1.

AE

x

-------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设平面CED1的一个法向量为v?(x,y,z),则

??v?CD1?0??v?CE?0，而CD1?(0,?1,1)，CE?(1,m?1,0) ???y?z?0,?x?(m?1)y?0,取z=1,得y=1,x=1-m， 得v?(1?m,1,1).

所以? 因为直线DA1与平面CED1成角为45o，所以

sin45??|cos?DA1,v?|

?212，解得m=2.-----11分

所以

|DA1?v|2?2|DA1|?|v||2?m|，所以2m2?2m?36（Ⅲ）点E到直线D1C距离的最大值为2，此时点E在A点处.------14分

x?f(0)??1f?(0)?a?1， f(x)?a?e18.解：（Ⅰ）因为，所以切点为（0，-1）.，

- 6 -

所以曲线在点（0,f(0)）处的切线方程为：y=(a-1)x-1.-------------------4分

?（Ⅱ）（1）当a>0时，令f(x)?0，则x?lna.

x?f(x)?a?e 因为在(??,??)上为减函数，

?? 所以在(??,lna)内f(x)?0，在(lna,??)内f(x)?0，

所以在(??,lna)内f(x)是增函数，在(lna,??)内f(x)是减函数， 所以f(x)的最大值为f(lna)?alna?a 因为存在

x0使得f(x0)?0，所以alna?a?0，所以a?e.

x?f(x)?a?ea?0（2）当时，<0恒成立，函数f(x)在R上单调递减, 11f()?1?ea?0xf(x0)?0，所以a?0. 而a，即存在0使得

综上所述，a的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分

e?19. 解：（Ⅰ）由题意可知

c3?a2，c?3，于是a?2,b?1.

x2?y2?1 所以，椭圆的标准方程为4程.---------------------------------3分

（Ⅱ）设

A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，

?y?k(x?3)?2?x?y2?1?2222(4k?1)x?83kx?12k?4?0. ?4 即

?83k23kx1?x2?43k2x1?x2?y?k(x?3)?x??000224k?14k2?1， 24k?1 所以，，，

?43k23k?M(2,2)4k?14k?1. 于是

?43k23k?4k??0224k?1 因为4k?1，所以M在直线l上. --------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，

若?BDM的面积是?ACM面积的3倍，

则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M为OC中点，；

- 7 -

?x??4ky?21?xy32y???y?1y0?3?(x,y)4k2?1. 2.因为?4设点C的坐标为33，则，解得

1于是24k?12?3|k|12k2?k??24k?1，解得8，所以4.----------------14分

2n?1a?220. 解：（Ⅰ）n（若只写出2,8,32三项也给满分）.----------------------4分

（Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为

?bn?，通项公式为bn?b1?(n?1)d.因为

a1?1，所以an?qn?1.

n?1{a}a?q0?q?1（1）当时，n∈（0，1]，且数列n是递减数列，

所以

?bn?也为递减数列且bn∈（0，1]，d?0,

n?1?b1?1d，

令

b1?(n?1)d?0，得

*b?0，这与bn∈（0，1]矛盾.

即存在n?N(n?1)使得nn?1{a}a?qq?1n（2）当时，≥1，数列n是递增数数列，

所以

?bn?也为递增数列且bn≥1，d?0.

因为d为正的常数，且q?1，

m?1a?a?q(q?1)?d. m?1m所以存在正整数m使得

令

bk?ap(p?m)，则

bk?1?ap?1，

ap?1?ap?qp?1(q?1)?qm?1(q?1)?dbk?1?bk因为=，

所以

ap?1?ap?bk?1?bk，即

ap?1?bk?1，但这与

bk?1?ap?1矛盾，说明假设不成立.

综上，所以数列

{an}不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分

- 8 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/too6.html