北京市丰台区2014届高三第二学期统一练习数学(理)
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北京市丰台区
2014届高三第二学期统一练习(一)
数学(理)试题
第一部分 (选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的4个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)设集合A?{x?R|?1?x?1},B?{x?R|x(x?3)?0},则A (A) {x?R|?1?x?3} (B) {x?R|0?x?3} (C) {x?R|?1?x?0} (D) {x?R|0?x?1} (2)在极坐标系中,点A(1,?)到直线?cos??2的距离是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (3)执行如图所示的程序框图,输出的x值为
B等于
829 (A)5 (B)12 513 (C)3 (D)8
(4)已知函数f(x)是定义在[?6,6]上的偶函数,下列各式中
一定成立的是
i 开始 =0,x i = i+1 x?1?1x否 i=0,x=1 i ≥4 是 输出x 结束 且f(3)?f(1),则
(A)f(0)?f(6) (B)f(-3)?f(-2)
- 1 -
(C)f(?1)?f(3) (D)f(-2)?f(1) (5) “m?n?1”是 “
logm2?logn2”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(6)某企业开展职工技能比赛,并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大 赛.经过6轮选拔,甲、乙两人成绩突出,得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是(A)(B)(C)(D)
x甲,x乙,则下列说法正确的是
x甲?x乙,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 x甲?x乙,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 x甲?x乙,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 x甲?x乙,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛
(7)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是
14 (A)3 (B)4 10 (C)3 (D)3
1211主视图侧视图1
2
俯视图
(8)如果某年年份的各位数字之和为7,我们称该年为“七巧年”.例如,今年 年份2014的各位数字之和为7,所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有
(A)24个 (B)21个 (C)19个 (D)18个 第二部分 (非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
sin??cos?(9) 已知tan??2,则sin??cos?的值为_______________.
a13a?a5?8,a1a5?4,则a9= . {a}(10)已知等比数列n中, 3(11) 如图,已知圆的两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点, 且DF=CF=2,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切,则线段CE的长
- 2 -
为 .
(12) 已知点F,B
DABFCE分别为双曲线
x2y2?2?1(a?0,b?0)2abC:的焦点和虚轴端点,
在双曲线C上,则双曲线C的离心率是___________.
若线段FB的中点
uuuruuur(13)已知平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,AM?mAB,
nuuuruuuruuuruuur AN?nAD(m?n?0),若MN∥BE,则m=______________.
??x2?y2?1?0,??t?x?t,??y?00?y?1?t2???(14)设不等式组表示的平面区域为M,不等式组 表示的平面区域为N.在M内随机取一个点,这个点在N内的概率的最大值
是_________.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题共13分)
f(x)?cos(2x?已知函数
?3)?2sin2x?1.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
[0,]f(x)2上的最大值和最小值. (Ⅱ)求函数在区间
(16) (本小题共13分)
年龄在60岁(含60岁)以上的人称为老龄人,某地区老龄人共有35万,随机调查了该地区700名老龄人的健康状况,结果如下表:
健康指数 60岁至79岁的人数 80岁及以上的人数 2 250 20 1 260 45 0 65 20 -1 25 15 ?其中健康指数的含义是:2表示“健康”,1表示“基本健康”,0表示“不健康,但生活能够自理”,-1表示“生活不能自理”。
(Ⅰ)估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。
(Ⅱ)若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2,则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该地区老龄人健康指数X分布列,并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”. (17) (本小题共14分)
如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱AB上的动点. (Ⅰ)求证:DA1⊥ED1 ;
- 3 -
AE(Ⅱ)若直线DA1与平面CED1成角为45o,求AB的值;
(Ⅲ)写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证明).
D1C1 A1B1
(18) (本小题共13分)
x(a?0). f(x)?ax?e已知曲线
DAEBC(Ⅰ)求曲线在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)若存在
x0使得f(x0)?0,求a的取值范围.
(19) (本小题共14分)
x2y23+=1(a>b>0)2b2如图,已知椭圆E: a的离心率为2,过左焦点F(?3,0)且斜率为k的直
线交椭圆E于A,B两点,线段AB的中点为M,直线l:x?4ky?0交椭圆E于C,D两点. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)求证:点M在直线l上;
(Ⅲ)是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍?若存在,求出k的值;若不
存在,说明理由.
(20) (本小题共13分) 从数列叫数列 子列.
(Ⅰ)写出数列{3n?1}的一个是等比数列的子列; (Ⅱ)若
{an}中抽出一些项,
依原来的顺序组
成的新数列
{an}的一个
{an}是无穷等比数列,首项a1?1,公比q?0且q?1,则数列{an}是否存在一个子列为
- 4 -
无穷等差数列?若存在,写出该子列的通项公式;若不存在,证明你的结论.
丰台区2014年高三年级第二学期统一考试(一) 数学(理科)答案 2014.3 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 C 5 A 6 D 7 B 8 B 二、填空题
179. 3 10. 9 11. 2 12.
三、解答题 15.解:
25 13. 2 14. ?
f(x)?cos2xcos(Ⅰ)
?3?sin2xsin?3?cos2x
13?cos2x?sin2x?cos2x22 ?33sin2x?cos2x22
13?3(sin2x?cos2x)22 ?3(sin2xcos??cos2xsin)33
??3sin(2x?)3--------------------------------------------------------------5分
所以f(x)的最小正周期为π.----------------------------------------------7分
?f(x)?3sin(2x?)3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知
π?ππ4πππx?x?[0,]2x??[,]2x??12时,函数f(x)取最大值3,2,所以333,当32,即因为2x?当
?π3π4πx???2时,函数f(x)取最小值2. 33,即
3??[0,]2上的最大值为3,最小值为2.--------------13分 所以,函数f(x)在区间
- 5 -
16.解:
250?260?6523?(Ⅰ)该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为250?260?65?2524, 23 所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为24.--------------5分
(Ⅱ)该地区老龄人健康指数X的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计 概率):
X p 2 1 0 -1 270700 305700 85700 40700 2? EX=
2703058540?1??0??(?1)?700700700700=1.15
因为EX<1.2,所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13分
17. 解:以D为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则
zD(0,0,0),A(1,0,0),
D1 B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1),设E(1,m,0)
(0≤m≤1)
A1C1B1(Ⅰ)证明:
DA1?(1,0,1),ED1?(?1,?m,1)
DDA1?ED1?1?(?1)?0?(?m)?1?1?0
CBy 所以DA1⊥ED1.
AE
x
-------------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)设平面CED1的一个法向量为v?(x,y,z),则
??v?CD1?0??v?CE?0,而CD1?(0,?1,1),CE?(1,m?1,0) ???y?z?0,?x?(m?1)y?0,取z=1,得y=1,x=1-m, 得v?(1?m,1,1).
所以? 因为直线DA1与平面CED1成角为45o,所以
sin45??|cos?DA1,v?|
?212,解得m=2.-----11分
所以
|DA1?v|2?2|DA1|?|v||2?m|,所以2m2?2m?36(Ⅲ)点E到直线D1C距离的最大值为2,此时点E在A点处.------14分
x?f(0)??1f?(0)?a?1, f(x)?a?e18.解:(Ⅰ)因为,所以切点为(0,-1).,
- 6 -
所以曲线在点(0,f(0))处的切线方程为:y=(a-1)x-1.-------------------4分
?(Ⅱ)(1)当a>0时,令f(x)?0,则x?lna.
x?f(x)?a?e 因为在(??,??)上为减函数,
?? 所以在(??,lna)内f(x)?0,在(lna,??)内f(x)?0,
所以在(??,lna)内f(x)是增函数,在(lna,??)内f(x)是减函数, 所以f(x)的最大值为f(lna)?alna?a 因为存在
x0使得f(x0)?0,所以alna?a?0,所以a?e.
x?f(x)?a?ea?0(2)当时,<0恒成立,函数f(x)在R上单调递减, 11f()?1?ea?0xf(x0)?0,所以a?0. 而a,即存在0使得
综上所述,a的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分
e?19. 解:(Ⅰ)由题意可知
c3?a2,c?3,于是a?2,b?1.
x2?y2?1 所以,椭圆的标准方程为4程.---------------------------------3分
(Ⅱ)设
A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
?y?k(x?3)?2?x?y2?1?2222(4k?1)x?83kx?12k?4?0. ?4 即
?83k23kx1?x2?43k2x1?x2?y?k(x?3)?x??000224k?14k2?1, 24k?1 所以,,,
?43k23k?M(2,2)4k?14k?1. 于是
?43k23k?4k??0224k?1 因为4k?1,所以M在直线l上. --------------------------8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等,
若?BDM的面积是?ACM面积的3倍,
则|DM|=3|CM|,因为|OD|=|OC|,于是M为OC中点,;
- 7 -
?x??4ky?21?xy32y???y?1y0?3?(x,y)4k2?1. 2.因为?4设点C的坐标为33,则,解得
1于是24k?12?3|k|12k2?k??24k?1,解得8,所以4.----------------14分
2n?1a?220. 解:(Ⅰ)n(若只写出2,8,32三项也给满分).----------------------4分
(Ⅱ)证明:假设能抽出一个子列为无穷等差数列,设为
?bn?,通项公式为bn?b1?(n?1)d.因为
a1?1,所以an?qn?1.
n?1{a}a?q0?q?1(1)当时,n∈(0,1],且数列n是递减数列,
所以
?bn?也为递减数列且bn∈(0,1],d?0,
n?1?b1?1d,
令
b1?(n?1)d?0,得
*b?0,这与bn∈(0,1]矛盾.
即存在n?N(n?1)使得nn?1{a}a?qq?1n(2)当时,≥1,数列n是递增数数列,
所以
?bn?也为递增数列且bn≥1,d?0.
因为d为正的常数,且q?1,
m?1a?a?q(q?1)?d. m?1m所以存在正整数m使得
令
bk?ap(p?m),则
bk?1?ap?1,
ap?1?ap?qp?1(q?1)?qm?1(q?1)?dbk?1?bk因为=,
所以
ap?1?ap?bk?1?bk,即
ap?1?bk?1,但这与
bk?1?ap?1矛盾,说明假设不成立.
综上,所以数列
{an}不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分
- 8 -
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