2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练53

题组层级快练(五十三)

1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是( ) A．a⊥c，b⊥c C．a⊥α，b∥α 答案 C

解析 对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.

2．(2015·成都一诊)设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是( )

A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β

D．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b 答案 C

解析 与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图(1)，设OA∥a，OB∥b，直线OA，OB确定的平面分别交α，β于AC，BC，则OA⊥AC，OB⊥BC，所以四边形OACB为矩形，∠ACB为二面角α－l－β的平面角，所以α⊥β，C正确；如图(2)，直线a，b在平面α内的射影分别为m，n，显然m⊥n，但a，b不垂直，所以D错误，故选C.

B．α⊥β，a?α，b?β D．a⊥α，b⊥α

3.(2015·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )

A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD 答案 D

解析 A中，∵CD∥AF，AF?面PAF，CD?面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正

六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB?平面PAB，CF?平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.

4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 答案 B

解析 对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.

5.如图所示，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )

A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 答案 D

解析 因为BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．

6.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )

A．A′C⊥BD B．∠BA′C＝90°

C．CA′与平面A′BD所成的角为30° 1D．四面体A′－BCD的体积为

3答案 B

解析 取BD的中点O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，∴A′O⊥平面BCD.∵CD⊥BD，

∴OC不垂直于BD，假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，矛盾，∴A′C不垂直于BD.A错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD内的射影为A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝2，∴A′B⊥A′D，∴A′B⊥A′C，B正确；∠CA′D11为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；VA′－BCD＝S△A′BD·CD＝，D错误，故选

36B.

7.如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③

解析 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC. ∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A， ∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．

8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．

(1)证明：EF∥平面PAD； (2)证明：平面PDC⊥平面PAD； (3)求四棱锥P—ABCD的体积． 2

答案 (1)略 (2)略 (3) 3解析 (1)如图所示，连接AC.

∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，

∴F也是AC的中点． 又E是PC的中点，EF∥AP，

∵EF?平面PAD，PA?平面PAD，∴EF∥平面PAD.

(2)证明：∵面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴CD⊥平面PAD.

∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD. (3)取AD的中点为O.连接PO.

∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形， ∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高． ∵AD＝2，∴PO＝1.又AB＝1，

12

∴四棱锥P—ABCD的体积V＝PO·AB·AD＝.

33

9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.

(1)求证：BB1⊥平面ABC； (2)求证：BC1∥平面CA1D； (3)求三棱锥B1－A1DC的体积． 4

答案 (1)略 (2)略 (3) 3

解析 (1)证明：∵AC＝BC，D为AB的中点， ∴CD⊥AB.

又∵CD⊥DA1， ∴CD⊥平面ABB1A1. ∴CD⊥BB1.

又BB1⊥AB，AB∩CD＝D， ∴BB1⊥平面ABC.

(2)证明：连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点． 又D是AB的中点，则DE∥BC1. 又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D，

∴BC1∥平面CA1D.

(3)由(1)知CD⊥平面AA1B1B， 故CD是三棱锥C－A1B1D的高． 在Rt△ACB中，AC＝BC＝2， ∴AB＝22，CD＝2.又BB1＝2，

1114

∴VB1－A1DC＝VC－A1B1D＝S△A1B1D·CD＝A1B1×B1B×CD＝×22×2×2＝. 3663

10.如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.

(1)求证：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD. 答案 (1)略 (2)略

证明 (1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC. ∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC且SA∩AB＝A. ∴BC⊥平面SAB.

又∵AE?平面SAB，∴BC⊥AE.

又SB⊥AE且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC. 又∵SC?平面SBC，∴AE⊥SC.

又EF⊥SC且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF. 又∵AF?平面AEF，∴AF⊥SC.

(2)∵SA⊥平面AC，DC?平面AC，∴SA⊥DC. 又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD. 又AG?平面SAD，∴DC⊥AG.

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF， ∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC. 又SD?平面SDC，∴AG⊥SD.

1

11.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1

2的中点．

(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；

(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 答案 (1)略 (2)1∶1

解析 (1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°， 所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC. 又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC. 又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC. (2)设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC＝1. 11＋21由题意得V1＝××1×1＝.

322又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V＝1， 所以(V－V1)∶V1＝1∶1.

故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.

12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 答案 (1)略 (2)略 (3)略

解析 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED为平行四边形． 所以BE∥AD.

又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD.

所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为BE∩EF＝E， 所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD.

13.如图所示，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC＝AB＝1，A1C＝A1B，B1C1

1

∥BC，B1C1＝BC.

2

(1)求证：平面A1AC⊥平面ABC； (2)求证：AB1∥平面A1C1C. 答案 (1)略 (2)略

证明 (1)证明：∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1A＝AB＝AC＝1，A1A⊥AB.∴A1B＝2.∵A1C＝A1B，∴A1C＝2.

∴∠A1AC＝90°.

∴A1A⊥AC.∵AB∩AC＝A，∴A1A⊥平面ABC. 又∵A1A?平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC.

1

(2)取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E.∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，∴B1C1∥EC，B1C1＝EC.∴四边形

2CEB1C1为平行四边形．∴B1E∥C1C.

∵C1C?平面A1C1C，B1E?平面A1C1C， 1

∴B1E∥平面A1C1C.∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，

2

∴B1C1∥BE，B1C1＝BE.∴四边形BB1C1E为平行四边形．∴B1B∥C1E，且B1B＝C1E.又∵四边形ABB1A1

是正方形，∴A1A∥C1E，且A1A＝C1E.∴四边形AEC1A1为平行四边形．∴AE∥A1C1.∵A1C1?平面A1C1C，AE?平面A1C1C，∴AE∥平面A1C1C.

∵AE∩B1E＝E，∴平面B1AE∥平面A1C1C. ∵AB1?平面B1AE，∴AB1∥平面A1C1C.

1．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m∥α，m∥β，则α∥β 答案 B

解析 对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，α与β也可能相交；对于选项D，α与β也可能相交．故选B.

2．(2014·四川文)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．

B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；

(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．

思路 (1)利用线面垂直的判定定理即可证明；(2)利用线面平行的判定定理即可得出结论． 解析 (1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.

因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线， 所以AA1⊥平面ABC.

因为直线BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.

又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线， 所以BC⊥平面ACC1A1.

(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点． 由已知，O为AC1的中点．

连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 11

所以MD綊AC，OE綊AC.

22因此MD綊OE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO. 因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC， 所以直线DE∥平面A1MC.

即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.

3．(2015·四川绵阳二诊)如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥EF，∠AFE＝1

60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF＝FE＝AB＝AD＝2，点G为AC的中点．

2

(1)求证：EG∥平面ABF； (2)求三棱锥B－AEG的体积；

(3)试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． 解析 (1)证明：取AB中点M，连接FM，GM.

1

∵G为对角线AC的中点，∴GM∥AD，且GM＝AD.

21

又∵FE綊AD，∴GM∥EF且GM＝FE.

2∴四边形GMFE为平行四边形，∴EG∥FM.

又∵EG?平面ABF，FM?平面ABF，∴EG∥平面ABF.

(2)作EN⊥AD于N，

由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED＝AD， 得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E－ABG的高． ∵在△AEF中，AF＝FE，∠AFE＝60°， ∴△AEF是正三角形．

∴∠AEF＝60°，由EF∥AD，知∠EAD＝60°，∴EN＝AEsin60°＝3.

∴三棱锥B－AEG的体积为 1123V＝·S△ABG·EN＝×2×3×＝.

333(3)平面BAE⊥平面DCE.证明如下：

∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED， ∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE.

∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AFE＝60°，∴∠FAD＝120°. 又在△AED中，EA＝2，AD＝4，∠EAD＝60°，

由余弦定理，得ED＝23，∴EA2＋ED2＝AD2，∴ED⊥AE. 又∵ED∩CD＝D，∴AE⊥平面DCE. 又AE?平面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE.

4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，2AC＝AA1，D，M分别是棱AA1，BC的中点，证明：

(1)AM∥平面BDC1； (2)DC1⊥平面BDC.

1

证明 (1)取BC1的中点N，连接DN，MN，则MN綊CC1.

2

1

又AD綊CC1，

2

∴AD∥MN，且AD＝MN， ∴四边形ADNM为平行四边形，

∴DN∥AM，又DN?平面BDC1，AM?平面BDC1， ∴AM∥平面BDC1.

(2)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC， 又CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1. 又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC， 又由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，

∴∠CDC1＝90°，∴DC1⊥DC.又DC∩BC＝C， ∴DC1⊥平面BDC.

∴DN∥AM，又DN?平面BDC1，AM?平面BDC1， ∴AM∥平面BDC1.

(2)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC， 又CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1. 又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC， 又由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，

∴∠CDC1＝90°，∴DC1⊥DC.又DC∩BC＝C， ∴DC1⊥平面BDC.

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