2019届高三数学（文）一轮复习导学案及达标训练：第17讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章 三角函数、解三角形

第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

考纲要求 考情分析 2017·北京卷，9 1.了解任意角和弧度制的概念． 2016·四川1.根据角的终边上的点的坐标求三角函数值． 2．根据三角函数值求参数值． 3．利用三角函数的定义判断三角函数的图象. 命题趋势 2．能进行弧度与角度的互化． 卷，11 3．理解任意角三角函数的定义. 2015·福建卷，6 分值：5分

1．角的有关概念

(1)角的形成：角可以看成平面内__一条射线__绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的__图形__.

(2)从运动的角度看，角可分为正角、__负角__和__零角__. (3)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角．

(4)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为__β＝2kπ＋α，k∈Z__. 2．弧度制

(1)定义：长度等于__半径__的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．

(2)角α的弧度数：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的l绝对值是|α|＝____. r180?π(3)角度与弧度的换算：1°＝____rad,1 rad＝__?__. ?π?°180(4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α rad，半径为r，则l＝11__|α|r__，扇形的面积为S＝lr＝__|α|·r2__. 223．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝__y__，

ycos α＝__x__，tan α＝__(x≠0)__. x(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦线__、__余弦线__和__正切线__.

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)顺时针旋转得到的角是正角．( × ) (2)钝角是第二象限角．( √ )

(3)若两个角的终边相同，则这两个角相等．( × ) (4)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角．( × ) (5)终边在y轴上的角的正切值不存在．( √ ) 解析 (1)错误．顺时针旋转得到的角是负角． π?(2)正确．钝角的范围是??2，π?，显然是第二象限角．

(3)错误．角180°的终边与角－180°的终边相同，显然它们不相等． (4)错误.1弧度的角是单位圆中长度为1的弧所对的圆心角．

(5)正确．终边在y轴上的角与单位圆的交点坐标为(0,1)，(0，－1)．由三角函数的定义知，角的正切值不存在．

2．－870°的终边在第几象限( C ) A．一 C．三

B．二 D．四

解析 因为－870°＝－2×360°－150°，－150°是第三象限角，所以－870°的终边在第三象限．

3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( B ) 2π

A．

35π

C．

6

11π

B．

63πD． 4

－1111

解析 ∵sin α＝＝－，且α的终边在第四象限，∴α的最小正值为π.

2264．若sin α<0且tan α>0，则α是( C ) A．第一象限角 C．第三象限角

B．第二象限角 D．第四象限角

解析 由sin α<0，知α在第三或第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．

5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为__4__，面积为__6π__. 3l3π1

解析 弧长l＝3π，圆心角α＝π，由弧长公式l＝|α|·r，得r＝＝＝4，面积S＝lr4|α|32

π4＝6π.

一 角及其表示

(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．

(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．

【例1】 (1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合．

6θ

(2)若角θ的终边与π角的终边相同，求在[0,2π]内终边与角的终边相同的角．

73α

(3)已知角α是第一象限角，试确定2α，所在的象限．

2

??π

α＝kπ＋，k∈Z?. 解析 (1)终边在直线y＝3x上的角的集合为?α?3?

?

?

(2)与

??66πθ

θ＝π＋2kπ，k∈Z?，∴所有与角终边相同的角角终边相同的角的集合是?θ?773???

θ22θ22034

可表示为＝π＋kπ，k∈Z.∴在[0,2π]内终边与角终边相同的角有π，π，π.

373372121

π

(3)∵2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，

2

απ

∴4kπ<2α<4kπ＋π，kπ<

24

α

∴2α角终边在第一或第二象限或在y轴非负半轴上，角终边在第一或第三象限．

2

二 三角函数的定义

利用三角函数的定义解题的技巧

(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值．

(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

【例2】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它11们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝____. 33(2)已知角α的终边在直线y＝x上，点Q为角α的终边与单位圆的交点，则点Q的坐标为__?22??22或－，－?__. ，2??22??241(3)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为____. 52解析 (1)方法一 当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(22，1)，其关1

于y轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝；当角α的终边在第二象限时，

3取角α终边上一点P2(－22，1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β11＝.综合可得sin β＝. 33

1方法二 令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝.

3π2π2

(2)由三角函数定义可知点Q的坐标为(x，y)满足x＝cos ＝，y＝sin ＝或x＝cos

42425π25π22222＝－，y＝sin ＝－.所以点Q的坐标为?，?或?－，－?. 42422??22??2

(3)∵r＝64m2＋9，∴cos α＝

4

＝－，

564m2＋9－8m

4m211

∴m>0，∴＝，即m＝. 2264m＋925

三 扇形的弧长及面积公式的应用

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)求扇形面积的最大值时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

【例3】 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ π

(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．

3π10π

解析 (1)l＝10×＝(cm)．

33(2)由已知得l＋2R＝20，

11

所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5时，S取得最大值25，

22此时l＝10 cm，α＝2 rad.

2π

(3)设弓形面积为S弓，由题知l＝ cm，

3

12π1π2π

S弓＝S扇－S△＝××2－×22×sin＝－3(cm2)．

23233

cos α

1．若sin α·tan α<0，且<0，则角α是( C )

tan αA．第一象限角 C．第三象限角

B．第二象限角 D．第四象限角

cos α

解析 由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由<0，

tan α可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．

2．sin 2·cos 3·tan 4的值( A ) A．小于0 C．等于0

B．大于0 D．不存在

解析 ∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0. 3．若cos α＝－A．23 C．－22

解析 r＝x2＋22，由题意得3

，且角α的终边经过点P(x,2)，则点P的横坐标x是( D ) 2

B．±23 D．－23

x3＝－，解得x＝－23. 222x＋2

4．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小；

(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解析 (1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，

π

∴△AOB为等边三角形．∴弦AB所对的圆心角α＝.

3π10π

(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l＝α·R＝×10＝，

3311250π

S扇形＝R·l＝α·R＝.

2231π又S△AOB＝OA·OB·sin＝253.

23

π3

∴弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝50?－?.

?32?

易错点 定义应用错误

错因分析：用三角函数的定义求三角函数值时，不注意点的位置或对字母正负的讨论． 【例1】 已知α角的终边过点P(3a，－4a)(a≠0)，求α角的三个三角函数值． 解析 根据任意角的三角函数的定义知 r＝9a2＋16a2＝?5a?2＝5|a|.

y4x3当a<0时，r＝－5a，sin α＝＝，cos α＝＝－，

r5r5y4

tan α＝＝－；

x3

y4x3当a>0时，r＝5a，sin α＝＝－，cos α＝＝，

r5r5y4

tan α＝＝－.

x3

【跟踪训练1】 已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.

1解析 ∵θ的终边过点(x，－1)，∴tan θ＝－，

x又∵tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1. 当x＝1时，sin θ＝－

22

，cos θ＝； 2222

，cos θ＝－. 22

当x＝－1时，sin θ＝－

课时达标 第17讲

[解密考纲]本考点主要考查任意角、弧度制和三角函数的概念．通常以选择题、填空题的形式呈现，安排在比较靠前的位置．

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