高考研究中的《高考数学的54个失分点》续2

高考研究中的《高考数学的54个失分点》续

【易错点55】向量与三角函数求值、运算的交汇例39、

?????a?(1?cos?,sin?),b?(1?cos?,sin?),c?(1,0),??(0,?),??(?,2?)，a与c的夹角

??????为θ1， b与c的夹角为θ2，且?1??2?的值. ,求sin32【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示

两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。 解析：

a?(2cos?2sin2????2?,2sincos)?2cos(cos,sin),?b?(2sin,2sincos)222222222??????2(sin?2,cos?2)???(0,?),??(?,2?),??22?(0,?2),?2?(?2,?),故有

????|a|?2cos|b|?2sin???cos?1??22|a|?|c|??a?c2cos?2?cos?,????,1?2222cos22226262【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。

?2?sin?,0??????,??????因

???cos?2??2?222222|b|?|c|2sin2???????????1?1??2???,???，从而sin??sin??.

??b?c2sin2?【练39】（1）（2005高考江西）已知向量a?(2cos??x2,tan(x2??4?)),b?(2sin(x2??4),tan(x2??4)),

令f(x)?a?b是否存在实数x?[0,?],使f(x)?f'(x)?0（其中f'(x)是f(x)的导函数）？若存在,则求出x的值；若不存在,则证明之 答案：存在实数x????（2）（2005山东卷）已知向量m?(cos?,sin?)和n??2使等式成立。

?2?sin?,cos?,????,2???，且

???4????82m?n?,求cos???的值.答案：?。

?28?55【易错点56】向量与解三角形的交汇。

→→→→→→

例40、ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC=0 。①求数量积，OA·OB ，→→→→

OB·OC ，OC·OA ；②求ΔABC的面积。

→→→

【思维分析】第1由题意可知3OA、4OB、5OC三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。

解析：①∵|OA|=|OB|=|OC|=1由3OA＋4OB＋5OC=0 得：3OA＋4OB=－5OC两边平方得：9OA＋

→→→→→→→→→→→2

4→→→→→→→→→→→→→

24OA·OB＋16OB2=25OC2∴OA·OB=0同理：由4OB＋5OC=－3OA求得OB·OC=－ 由3OA＋5OC=

5

3→→→

－4OB求得OA·OC=－

5

1→→1→→443→→

②由OA·OB=0,故s?0AB= |OA||OB|= 由OB·OC=－ 得cos∠BOC=－ ∴sin∠BOC=－ ∴

22555

1→→33341→→

由OC·OA=－ 得cos∠COA=－ ∴sin∠COA= ∴s?0AC= s?0BC= |OB||OC|sin∠BOC= ，

2105552

21326→→

|OC||OA|sin∠COA= 即sABC=s?0AB＋s?0AC＋s?0BC= ＋ ＋ =

521055

【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。 【练40】（1）（2005全国卷Ⅲ）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，已知a,b,c成等比数列，

????????3且cosB＝。（1）求cotA+cotC的值；（2）设BA?BC?，求a?c的值。

424答案：（1）7（3）a?c?3。

73???（2）已知向量a=（2，2），向量b与向量a的夹角为

????3?4???，且a·b=－2，①求向量b；

②若t?(1,0)且b?t,c?(cosA,2cos??2C2)，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、

??B、C依次成等差数列，试求|b+c|的取值范围.答案：①b?(?1,0)或b?(0,?1)②

22???|b?c|?52.

【易错点57】与向量相结合的三角不等式，学生的综合运用知识解决问题的能力不够。

例41、已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量a=(sinx,2)，b

→→

1→→→→→→

=(2sin,x)，c=(cos2x,1)，d=(1,2)，当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)＞f(c·d)

2

的解集.

【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。

(1－x)＋(1＋x)

2

=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m＞0，则x

1→→

≥1时，f(x)是增函数；若m＜0，则x≥1时，f(x)是减函数。∵a·b=（sinx，2）·（2sinx,）

2

→→→→

=2sin2x＋1≥1，c·d=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1∴当m＞0时，f(a·b)＞→→

f(c·d)?f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)?2sin2x＋1＞cos2x＋2?1－cos2x＋1＞

3?3???cos2x＋2?cos2x＜0?2kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈z?kπ＋＜x＜kπ＋,k

解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y1)、B(1＋x,y2)，因为

2244∈z∵0≤x≤π ∴

→→

3?4?4＜x＜→

3?4当m＜0时，同理可得0≤x＜

?4?4或

3?43?4＜x≤π综上所述，不等

式f(a·b)＞f(c·d)的解集是：当m＞0时，为{x|

→

＜x＜；当m＞0时，为{x|0≤x＜

?4或

＜x＜π。

【知识点分类点拔】在运用函数的单调性构造不等式时，一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性如何（不可忽视定义域的限制），通过本题要很好的体会向量、不等式、函数三者的综合，提高自已应用

知识解决综合问题的能力。

【练41】若f(x)在定义域（－1，1）内可导,且f(x)?0，点A(1,f(a));B(f(－a),1)，对任意a∈

'????????(－1，1)恒有OA?OB成立，试在???,??内求满足不等式f(sinxcosx)+f(cos2x)>0的x的取值

范围.答案：x?(?3?2,4)?(??2,??4)，(k?Z)

【易错点58】向量与解析几何的交汇

例42、（03年新课程高考）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由. 【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。

解析：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，直线OP和AP的方程分别为 ?y?ax 和 y?a??2?ax.消去参数λ，得点P(x,y)的坐标满足方程

222y(y?a)??2ax.整理得 x(y??a2)218a2()2?1.……① 因为a?0,所以得：（i）当a?22时，方程

①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当0?a?E(1212?a,1222时，方程①表示椭圆，焦点

2a2)和F(?21212?a,2a2（iii）当a?)为合乎题意的两个定点；

a?22时，方程①也表示椭圆，

2焦点E(0,(a?a?12))和F(0,12(a?12))为合乎题意的两个定点.

【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。

【练42】（1）（2005全国卷1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA?OB与a?(3,?1)共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OM?22?OA??OB (?,??R)，证明???为定值。

答案：（1）e?63（2）???=1

22???????????????????????????MN，NPPN,NM·（2）（ 02年新课程高考天津卷）已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使MP·PM·

?????????成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（xo,yo），记?为PM与PN的夹角，求tan?；答案：①点P的轨迹是以原点为圆心，

3为半径的右半圆②tan?=|y0|

（3）（2001高考江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则

OA?OB等于（ ）A.

34 B.－

34 C.3 D.－3答案：B

【易错点59】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。

例43、已知椭圆C：

x24?y22?1上动点P到定点M?m,0?,其中0?m?2的距离PM的最小值

为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线l,使l与椭圆C的两个交点A、B满足

????????????条件OA?OB?AB（O为原点）,若存在,求出l的方程,若不存在请说是理由。

????????????????????【思维分析】此题解题关键是由条件OA?OB?AB知OA?OB?0从而将条件转化点的坐标运算

再结合韦达定理解答。

2?x?解析：设p?x,y?，由??1得y?2?1??故

442??x2y22PM2??x?m?222??x?1x?22?21??x?2m?2?m?2?1?由于0?m?2且?????4?24???22?2?x?2故当0?2m?2时，PM的最小值为2?m?1此时m?1，当2?2m?4时，

x?2取得最小值为2?4m?m2?2?1解得m?1,3不合题意舍去。综上所知当m?1是满足题意

此时M的坐标为（1，0）。

????????????????????（2）由题意知条件OA?OB?AB等价于OA?OB?0，当l的斜率不存在时，l与C的交点为?????????6?，此时OA?OB?0，设l的方程为y?k?x?1?，代入椭圆方程整理得1,?????2??????????2222?1?2k?x?4kx?2k?4?0，由于点M在椭圆内部故??0恒成立，由OA?OB?0知

x1x2?y1y2?0即?1?k22?xx12?k2?1?x2??k2?0，据韦达定理得x1?x2?4k221?2k2，

x1x2?2k?41?2k2代入上式得1?k?2??2k2?4??k?4k?k222?1?2k??0得k2??4不合

题意。综上知这样的直线不存在。

【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。 【练43】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点F2为圆心，过另一焦点F1的圆被右准线截的两段弧长之比2:1,P??????????2,1为此平面上一定点，且PF1?PF2?1.（1）求椭圆的方程（2）若直

??????????线y?kx?1?k?0?与椭圆交于如图两点A、B，令f?k??AB?F1F2?k?0?。求函数f?k?的

x2值域答案：（1）

4?y22?1（2）?0,8?

[易错点44]牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系. 例44、函数

y?x?e1?cosx 的导数为 。

[易错点分析]复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yx??yu??ux?。 解析： y??e1?cosx?x?e1?cosx???e

1?cosx?xe1?cosx?1?cosx???e1?cosx?

xe1?cosxsinx??1?xsinx?e1?cosx【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。

[练习44]（2003年江苏，21）已知a?0，n为正整数。设y??x?a?，证明y??n?x?a?（1）

设fn?x??x??x?a?，对任意n?a，证明fn?1??n?1???n?1?fn??n?

nnnn?1；

解析：证明：（1）??x?a??nn?k?0nCn??a?kn?kx,

kn?y???kC??a?knk?1n?kxk?1??nCk?1nk?1n?1??a?n?kxk?1?n?x?a?n?1

（2）对函数fn?x??x??x?a?求导数：fn??nxnn?1?n?x?a?n?1，

?fn??n??n?n?n?1??n?a?nn?1?.当x?a?0时，f??x??0

n?n?当n?a时，fn?x??x??x?a?是关于x的增函数因此，当n?a时，

?n?1?n??n?1?a??n??n?a?。

nnnnnnn?1nn?fn?1??n?1???n?1???n?1???n?1?a????n?1??n??n?a????n?1??n?n?n?a??????????n?1?fn??n?即对任意n?a，fn?1??n?1???n?1?fn??n?.

【易错点60】求曲线的切线方程。

例45、（2005高考福建卷）已知函数f(x)?x?bx32?ax?d的图象过点P（0，2），且在点M（－

1，f（－1））处的切线方程为6x?y?7?0. （Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式；

【思维分析】利用导数的几何意义解答。

解析：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以f(x)?x?bx32?cx?2,

2f?(x)?3x?2bx?c.由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0，知

?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6.?3?2b?c?6,?2b?c?3,32??即?解得b?c??3.故所求的解析式是f(x)?x?3x?3x?2. ??1?b?c?2?1.?b?c?0,【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y?y0?f'(x0)(x?x0)特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x?x0具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.

【练45】（1）（2005福建卷）已知函数f(x)?利用导数的几何意义作为解题工

。

ax?6x?b2的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为

x+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；答案：f(x)?2x?6x?32

（2）（2005高考湖南卷）设t?0，点P（t，0）是函数f(x)?x?ax与g(x)?bx32?c的图象的

3一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；答案：c?ab??t.故

23a??t，b?t，c??t.

【易错点61】利用导数求解函数的单调区间及值域。

例46、( 2005全国卷III)已知函数f?x??24x?72?x21?（Ⅰ）求f，x??0，?x?的单调区间和值域；

1?，1?，1?（Ⅱ）设a?1，函数g?x??x?3ax?2a，x??0，若对于任意x1??0，总存在x0??0，2使得g?x0??f?x1?成立，求a的取值范围。

【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解

1?上的不等式的运算能力第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数y?g?x?在区间?0，值域是函数f?x?的值域的子集，从而转化为求解函数y?4x?16x?721?上的值域。 ?g?x?在区间?0，，令f?(x)?0解得x?解析(Ⅰ) f?(x)??2?x?22??(2x?1)(2x?7)12?2?x?22或x?72,在

x?(0,12)，f?(x)?0,所以f(x)为单调递减函数；在x?(712,1)，f?(x)?0,所以f(x)为单调

递增函数；又f(0)??减区间为(0,1,f(1)??3,f()??4，即f(x)的值域为[-4，-3]，所以f(x)的单调递2212,1)，f(x)的值域为[-4，-3].( 单调区间为闭区间也可以).

212)，f(x)的单调递增区间为(22（Ⅱ）∵g?(x)?3(x?a),又a?1，当x?(0,1)时，g?(x)?3(1?a)?0， 因此，当x?(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x?[0,1]时，有g(x)?[g(1),g(0)].

22又g(1)?1?2a?3a,g(0)??2a，即当x?[0,1]时，有g(x)?[1?2a?3a,?2a]， 任给x1?[0,1]，有f(x1)?[?4,?3]，存在x0?[0,1]使得g(x0)?f(x1)，

5?a?1,或a??2??则?1?2a?3a??4。 3又a?1，所以a的取值范围是1?a????33?2a??3??a???22【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为2006年高考命题重点应引起高度注意．单调区间的求解过程，已知y?f(x) （1）分析 y?f(x)的定义域； （2）求导数 y??f?(x)（3）解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a,b)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数在f(x)?b处连续，因此f(x)在(a,c)单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。

3

2

【练46】（1）（2005高考北京卷）已知函数f(x)=－x＋3x＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），

（3，＋∞）（2）－7

（2）(2005 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小

正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

答案：当x=10时,V有最大值V(10)=1960

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