2012年高考数学一轮复习资料 第7讲 三角函数篇之三角函题型归纳1

三角函数典型例题

第一节：三角函数概念 命题方向：角的概念

例1（1）写出与?1840?终边相同的角的集合M；

（2）把?1840?的角写成k?360???（0????360?）的形式； （3）若角??M，且??[?360?,360?]求?； 解：（1）

M?????k?360??1840?,k?Z?

（2）?1840???6?360??320? （3）∵ ??M且?360????360?

∴ ?360??k?360??1840??360? ∴ 1480??k?360??2200?

3755?k?9 又 ∵ k?Z ∴ k?5,6 ∴ 9∴ ???40?或??320?

例2 已知“?是第三象限角，则

?是第几象限角? 3?的取值范围，再根据范围确定3分析 由?是第三象限角，可得到?角的范围，进而可得到其象限即可也可用几何法来确定

?所在的象限 33??k?Z? 2解法一： 因为?是第三象限角，所以2k??????2k??∴

2k??2k????????k?Z? 33332∴当k=3m（m∈Z）时，

当k= 3m＋1（m∈Z）时，当k= 3m＋2（m∈Z）时，故

?为第一象限角； 3?3为第三象限角，

?为第四象限角 3?为第一、三、四象限角 3?的终边所在的区域 3解法二： 把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则?原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为

由图可知，

小结：已知角?的范围或所在的象限，求

?是第一、三、四象限角 3?n所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和

几何法，其中几何法具体操作如下：

把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，

用心 爱心 专心 - 1 -

并循环一周，则?原来是第几象限的符号所表示的区域即为

?*

(n∈N)的终边所在的区域 n

命题方向：三角函数符号的判断

4?3?例3.已知sin2=5，cos2 =－5，那么α的终边在

A.第一象限 B.第三或第四象限 C.第三象限 D.第四象限

24??解析：sinα=2sin2cos2=－25＜0，

7cosα=cos22－sin22=25＞0， ∴α终边在第四象限. 答案：D

变式．若sin??0且tan??0是，则?是（ C ）

A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角

sin（cos?）例4. 若θ是第二象限的角，则的符号是什么?

cos（sin2?）剖析：确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.

π解：∵2kπ+＜θ＜2kπ+π（k∈Z），

2∴－1＜cosθ＜0，4kπ+π＜2θ＜4kπ+2π，－1＜sin2θ＜0. ∴sin（cosθ）＜0，cos（sin2θ）＞0. sin（cos?）∴＜0. cos（sin2?）命题方向：弧长公式的应用

例5、在复平面内，复数z?sin2?icos2对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：D

例6 已知一扇形的中心角是?，所在圆的半径是R，（1）若??60?，R=10cm，求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。（2）若扇形的周长是一定值c(c?0)，当?为多少弧度时，该扇形有最大面积？

解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，因为??60?????3，R=10，所以l?10?(cm) 31101?3???10??102?sin60??50(?)(cm2) 23232c（2）因为扇形周长c?2R?l?2R??R，所以R?，

2??11c2c21c21c22)??????所以S扇???R??(

416222??224?4???24???S弓?S扇?S???c2所以当且仅当??，即??2（???2舍去）时，扇形面积有最大值

?164第二节：同角三角函数的基本关系式及诱导公式

1、化简求值

用心 爱心 专心 - 2 -

sin(?例1、已知f(?)?2??)cos(2???)tan(???3?)．tan(???)sin(?

2??)（1） 化简f(?)；

（2） 若?是第三象限的角，且cos(??3?2)?15，求f(?)的值； （3） 若???18600，求f(?)的值．

解：（1）f(?)?cos?cos?(?tan?)tan?cos???cos? （2） ?cos(??3?2)??sin? ?sin???15,又?是第三象限的角

?cos?=-1?sin2???1?12225??56,?f(?)?56

（3）????18600??6?3600?3000

?f(?)?f(?18600)??cos(?18600)

??cos(?6?3600?3000)??cos600??12

2．条件求值

例2、若tan??2，求（1）

sin??cos?cos??sin?的值；

（2）2sin2??sin?cos??cos2?的值．

解（1）cos??sin?1?tan?1cos??sin??1?tan???21?2??3?22 （2）原式?2sin2??sin?cos??cos2?2tan2?sin2??cos2???tan??1tan2??1

?4?2?13?5?23 例3、若sin?cos??18,????????4,2??,求cos??sin?的值．

解：(cos??sin?)2?cos2??sin2??2sin?cos??1?134?4

??????,???,?cos??

?42?sin?

?cos??sin???323、证明题

例2、证明：

2?cos??sin??1?sin??cos??cos?1?sin??sin?1?cos?

=cos??cos2??sin??sin2法一：右边??cos??sin???1?sin??cos???1?sin???1?cos????1?sin???1?cos??用心 爱心 专心

- 3 -

2?cos??sin???1?sin??cos??2?cos??sin???1?sin??cos???2?1?sin??cos??sin?cos??1?sin2??cos2??2sin??2cos??2sin?cos?2?cos??sin???1?sin??cos????右边 2?1?sin??cos???法二：要证等式 即证

?cos??sin???1?sin??cos?? 2?cos??sin??cos?sin?????1?sin???1?cos??1?sin??cos?1?sin?1?cos?2只需证2?1?sin???1?cos????1?sin??cos??

即证

2?2sin??2cos??2sin?cos??1?sin2??cos2??2sin??2cos??2sin?cos?22即1?sin??cos?显然成立

所以原等式成立。 注：证等式常用方法：（1）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为原则） （2）两边向中间证（3）分析法 4．综合应用

2?x?1?0的两个根中较小的根，求?的值． cos?1117?? 解：tan?? 且tan??得??2k???,k?Z

tan?tan?cos?63?1[例5] 已知π＜x＜ ，sinx－cosx＝ .

25例4、已知tan?是方程x?2(1)求sinx＋cosx的值； (2)求

的值．

第三节:三角函数的图象

1．三角函数线的应用

用心 爱心 专心 - 4 -

??1cosx?0例1：解三角不等式组?

?sinx?0??2思路分析：利用三角函数线和单调性求解。

解：如图：

1?cosx?0且sinx?2?2k??6?6

π0yπ466πx?2?x?2k??(k?Z)知

函

2．三角函数图象的变换 例2．已

7π65π数4πy?13cos2x?sinxcosx?1,x?R 22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合

（2）该函数的图象可由y?sinx,x?R的图象经怎样的平移和伸缩变换得到？ 思路分析：利用三角变换，将f(x)化为y?Asin(?x??)求解。

131351?5cos2x?sinxcosx?1?cos2x?sin2x??sin(2x?)? 22444264???7当2x??2k??(k?Z)即x?k??(k?Z)时,ymax?

6264????所求集合为xx?k??,k?Z? ?6????②1）将函数y?sinx的图象向左平移得函数y?sin(x?)的图象；

661?2)将所得图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得函数y?sin(2x?)的图象,

2611?3)将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的2倍(横坐标不变),得函数y?sin(2x?)的图象,

2651?54)将所得图象向上平移个单位长度,到得函数y?sin(2x?)?的图象,

4264解：①y?3．由图象写解析式或由解析式作图

例3如图为某三角函数图象的一段

（1）用函数y?Asin(?x??)写出其中一个解析式；

（2）求与这个函数关于直线x?2?对称的函数解析式，并作出它一个周期内简图。

思路分析：由T定?，由最值定A，由特殊值定?，用五点法作简图。 解：（1）

T?13??2?1??4?,????,又A?3, 33T21令y?3sin(x??)由图它

2?1??(,0),?0?3sin(???)???（为其中一个值） 3236用心 爱心 专心

-3 过

?313?3- 5 -

（2）令(x,y)为y?3sin(1?x?)上任意一点，该点关于直线x?2?对称点为(4??x,y) 261?1??与y?3sin(x?)关于直线x?2?对称的函数解析式是y??3sin(x?)

2626列表： x 1?x? 26y 作图：

??30 0 2? 35? 3? 2-3 ? 0 8? 33? 23 11? 32? 0

3-π3-3yπ235π38π311πx3

4．三角函数的综合应用

例4已知函数f(x)＝3sin(?x??)?cos(?x??)(0???π,??0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.

（Ⅰ）求f（

π2π）的值； 8（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移

π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原6来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f(x)＝3sin(?x??)?cos(?x??)

?3?1sin(?x??)?cos(?x??)? ＝2?22??π＝2sin(?x??-)

6因为 f(x)为偶函数，

所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，

ππ）＝sin(?x??-). 66ππππ即-sin?xcos(?-)+cos?xsin(?-)=sin?xcos(?-)+cos?xsin(?-),

6666ππ整理得 sin?xcos(?-)=0.因为 ?＞0，且x∈R,所以 cos（?-）＝0.

66πππ又因为 0＜?＜π，故 ?-＝.所以 f(x)＝2sin(?x+)=2cos?x.

622因此 sin（-?x??-

用心 爱心 专心 - 6 -

2?由题意得 ??2??2,　　所以　　?　＝2.

故 f(x)=2cos2x. 因为 f()?2cos??48?2.

??个单位后，得到f(x?)的图象，再将所得图象横坐标伸（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个66长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f(??4?6)的图象.

所以　　　　g(x)?f(????????4?6)?2cos??2(4?6)???2cosf(2?3). 当 2kπ≤

?2??3≤2 kπ+ π (k∈Z),

即 4kπ＋≤2?3≤x≤4kπ+8?3 (k∈Z)时，g(x)单调递减.

因此g(x)的单调递减区间为 ???4k??2?8??3,4k??3?? (k∈Z)

（备选例5）、已知函数f(x)?cos(2x??)?2sin(x??)sin(x?34?4) （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数f(x)在区间[???12,2]上的值域

解：（1）?f(x)?cos(2x??)?2sin(x??)sin(?34x?4)

?12cos2x?32sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx) ?1cos2x?3sin2x?sin222x?cos2x

?12cos2x?32sin2x?cos2x?sin(2x??6)

∴周期T?2?2??由2x??6?k???2(k?Z),得x?k?2??3(k?Z) ∴函数图象的对称轴方程为 x?k???3(k?Z)

（2）?x?[?????5?12,2],?2x?6?[?3,6] 因为f(x)?sin(2x??????6)在区间[?12,3]上单调递增，在区间[3,2]上单调递减，所以 当x??3时，f(x)取最大值 1

又 ?f(??312)??2?f(?2)?12，当x???312时，f(x)取最小值?2

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所以 函数 f(x)在区间[?3,]上的值域为[?,1] 1222??

第四节:三角函数的性质

1、定义域问题：三角不等式用三角函数线或图象上求之。 例1、求下列函数的定义域：（1）y?2?log1x?tanx；

2 （2）y?lg(2sinx?2)?1?2cosx．

?2?log1x?0?2?0?x?4?tanx?0???解(1)x应满足?,即为?所以所求定义域为

??k??x?k??k?zx?0??2???x?k???k?z???2????0,????,4? ?2??2sinx?2?0?3??2k? (2)x应满足?，利用单位圆中的三角函数线可得?2k??x?34?1?2cosx?0?3???所以所求定义域为?2k??,2k???k?z? ?34??2、求单调区间：

例2、求下列函数的单调区间.

11??2x??2x??cos??? (2). y?sin??? 22?43??33???????解:（1）????3k?,?3k??上单调递增，??3k?,2??3k?,?上单调递减。

2???2?2x?1?2x???,则只需求y?sinu的单调区间即(2).原函数变形为y??sin???令u?342?34??2x????2k??,(k?Z)上 可.?y?sinu在2k???u?23423?9??x?3k??即3k??,(k?Z)上单调递增, 88?2x?3???2k??,(k?Z),上 y?sinu在2k???u?23429?21?x?3k???,(k?Z),上单调递减 即3k??881??2x?3?9???故y?sin??,3k???, ?的递减区间为:?3k??2?43?88??9?21??递增区间为:?3k??,3k????,(k?Z).

88??(1).y?1?2x??2x??[思维点拔] 1、要注意子函数的单调性,若函数为y?1cos??????则变形为y?cos?234?243???即可.2、在Asin??x???中我们总是通过令?x???u先求出u

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3、写成区间而不是不等式。注意取一个周期上求解。

3、求最小正周期

例3、求下列函数的最小正周期:

(1), y??sinx?cosx?2

(2). y?1

tanx?1tanx解：（1）T??，（2）T??2

指出求周期的一般方法：

1）化为y?Asin(?x??)?B或y?Acos(?x??)?B或y?Atan(?x??)?B 2）图象法：y?sinx,y?sinx,

3）定义法：y?sinx?cosx?1?sin2x,T??2

讨论练习：

求下列函数的最小正周期:

（1）y?2cosxsin??x????3???3sin2x?sinxcosx 解：y?2cosxsin???x???23???3sinx?sinxcosx

?2cosx??1?sinx?3cosx??22???3sin2x?sinxcosx ???cosxsinx?3cos2x?3sin2x?sinxcosx

?sin2x?3cos2x?2sin?????2x?3??

所以，T??

（2）y?2sin?????4x?3??

解：因为y?2sin???4x????????3??的周期T?2，所以，y?2sin??4x?3??的周期T?44、值域问题：

例4、求下列函数的值域：

（1）y?2sinxcos2x1?sinx；

（2）y?log3?sinx23?sinx；

（3）y?1?sinx3?cosx．

解：由题意1?sinx?0，

∴y?2sinx(1?sin2x)1?sinx?2sinx(1?sinx)??2(sinx?112)2?2， 用心 爱心 专心 - 9 -

∵?1?sinx?1，∴sinx?11时，ymax?，但sinx??1，∴y??4，

22∴原函数的值域为(?4,]．

（2）∵?1?sinx?1，又∵∴函数y?log2

123?sinx613?sinx??1，∴??2，∴?1?y?1，

3?sinx3?sinx23?sinx3?sinx的值域为[?1,1]．

3?sinx1?sinx2得sinx?ycosx?3y?1，∴y?1sin(x??)?3y?1，

3?cosx1?y这里cos??，sin??．

221?y1?y32∵|sin(x??)|?1，∴|3y?1|?y?1．解得0?y?，

43∴原函数的值域为{y|0?y?}．

4（3）由y?5、奇偶性问题：

例5：讨论：（1）已知函数y?2sin??x???为偶函数，0????，其图象与直线y?2的交点的横坐标为x1,x2，若x1?x2的最小值为?，则?? ，?? . 解：???2，

2????,??2

（2） 已知a?R，函数f(x)?sinx?|a|,x?R为奇函数，则a＝ （ ）

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1 解：A 提示：由题意可知，f(?x)??f(x)可得f(0)?0得a=0 6、对称性问题：

例6、（1）下列坐标所表示的点不是函数y?tan(?)的图象的对称中心的是 （ ）

6x2? （A）（

?5?4?2?，0） （B）（?，0） （C）（，0） （D）（，0） 3333解：Ｄ提示：令

x?k????,即x?k??(k?Z)，函数图象的对称中心为2623(k???3,0)(k?Z)

(2)如果函数y?sin2x?acos2x的图象关于直线x??解： -1 提示:根据f(0)?f(??8对称，则a? ．

?4)

（3）将函数y?sin(x??)的图象F向右平移轴是直线x? A.

?个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称3?4,则?的一个可能取值是

511511? B.?? C.? D.??

12121212用心 爱心 专心

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，

解： 平移得到图象F的解析式为y?3sin(x????3)?3,

对称轴方程x???把x??3?k???2(k?Z)，

?4带入得???57?5??k??(?k?1)??(k?Z)，令k??1，???

121212

三角函数题型及方法总结

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 如时钟经过一小时，时针转过了 弧度。（答：??6）

2、象限角和轴线角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，此类角称为轴线角。 如若???3，则角?的终边在第 象限。（答：三） 3、终边相同的角的表示：

（1）?终边与?终边相同?????2k?(k?Z)，注：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

如与角?1825终边相同，且绝对值最小的角度数是＿＿，合＿＿弧度。 （答：

?5?） 36（2）?终边与?终边共线(?的终边在?终边所在直线上) ?????k?(k?Z). （3）?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z). （4）?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z). （5）?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z).

（6）?终边在x轴上的角可表示为：??k?,k?Z；?终边在y轴上的角可表示为：

?k???k??,k?Z；?终边在坐标轴上的角可表示为：??,k?Z.

22?25?；?如1）?的终边与

?的终边关于直线y?x对称，则?＝____________。 （答：62k???3,k?Z）

2）若?是第四象限角，则???是第 象限角。 （答：三） 4、?与?的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.

2如若?是第二象限角，则

?是第_____象限角 （答：一、2三）

5、与角有关的集合问题：关键是弄清集合中含有哪些元素。方法有：一是将集合中表示角的式子化为同一结构形式；二是用列举法把集合具体化；三是数形结合，即在坐标系中作这些角。

00如已知集合M????(4k?1)?90,k?Z，N????(2k?1)?90,k?Z，则M与

????N的关系如何？

（答：相

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等）

26、弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R

22?180???rad?0.01745rad，1rad??角度与弧度的转换：1?=??57.30?5718' 180???如已知扇形的周长是40cm，当它的半径和圆心角分别取何值时，才能使扇形的面积最大？最

大面积是多少？

（答：当半径为10cm，圆心角为2rad时，扇形的面积最大，为100cm）

7、任意角的三角函数的定义：

单位圆定义：设?是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),

那么sin??y，cos??x， tan??2??y(x?0). x坐标点定义：设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点（异于原点），

它与原点的距离是r?x2?y2?0，那么sin??yx,c?os?，rrtan??y,?x?0?。 x7）； 132m?33（2）设?是第三、四象限角，sin??，则m的取值范围是_______（答：（－1，)）；

4?m2如（1）已知角?的终边经过点P(5，－12)，则sin??cos?的值为＿＿。（答：?

8、三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是A)”. 如（1）若?（2）若??8???0，则sin?,cos?,tan?的大小关系为_____

(答：tan??sin??cos?)；

为锐角，则?,sin?,tan?的大小关系为_______

（答：sin????tan?）；

9、特殊角的三角函数值： 0° 30° y T B S P α O M A x 45° 60° 90° 1 180° 270° 0 －1 sin? 0 1 22 22 21 3 21 2cos? tan? 1 3 23 30 －1 0 0 3 0

10、同角三角函数的基本关系式：

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（1）平方关系：sin2sin?cos???cos2??1,1?tan??sec?,1?cot???tan????csc,cot （2）商数关系：

cos?sin?同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角

函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般可不用同角三角函数的基本关系式，而是利用三角函数定义直接求值。 如1）已知sin??m?34?2m?5(????)，则tan?＝____（答：?），cos??；

m?5m?521221?sin2x?co2sx成立的x取值范围是____（答：

2）若0?2x?2?，则使

?3[0,?][?,?]）；

44sin??3cos?513tan???1，3）已知则＝ ；sin2??sin?cos??2＝ （答：?；）；

sin??cos?35tan??1??4）已知sin200?a，则tan160等于 （答：B）

1?a21?a2A、? B、 C、? D、

22aa1?a1?a5）已知f(cosx)?cos3x，则f(sin30?)的值为______（答：－1）。

???6）已知向量a?(sin?,?2)与b?(1,cos?)互相垂直，其中??(0,)

2?（1）求sin?和cos?的值；（2）若5cos(???)?35cos?，0???,求cos?的值

2aa52?25（答：（1)），cos??；（2）cos??） ??(0,?sin??522511、三角函数诱导公式（

符号看象限（看原函数，同时可把?看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值。 如（1）cosk???）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），29?7?23?tan(?)?sin21?的值为________（答：）； ?46234?（2）已知sin(540??)??，则cos(??270?)?______，

534[sin(180???)?cos(??360?)]2??若?为第二象限角，则________。（答：；） ??1005tan(180??)

12、和角与差角公式、二倍角公式、升降幂公式、半角公式

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sin2??2sin?cos? sin(???)?sin?cos??cos?sin? 22cos2??cos??sin? ?2cos2??1?1?2sin2? cos(???)?cos?cos??sin?sin? 2tan? tan2??. 2tan??tan?1?tan? tan(???)? 1?tan?tan? ?1?cos? sin?? 22 cos???1?cos? 222?2? 1?cos??2cos1?cos??2sin，； ?1?cos?22 tan??21?cos?1?cos2?1?cos2? 22 cos??，sin??. sin?1?cos? 22?? 1?cos?sin? 如（1）下列各式中，值为

??1的是 （答：C）； 22tan22.5?1?cos30??sinA、sin15cos15 B、cos C、 D、 12121?tan222.5?237（2）已知sin(???)cos??cos(???)sin??，那么cos2?的值为____（答：）；

52513（3）的值是______（答：4）； ???sin10sin80?2?

13、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.

如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，2??(???)?(???)，

????2????2，

???2?????2??????2?等）

2?1?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____。 5444??1?22）已知0???????，且cos(??)??，sin(??)?，求cos(???)值。

229233sin??x,cos??y，cos(???)??，3）已知?,?为锐角，则y与x的函数关系为______

532393431?x2?x(?x?1)） （答：1）；2）?；3）y??22729555如1）已知tan(???)?(2)三角函数名互化(切化弦)，

如1）求值sin50?(1?3tan10?) （答：1）；

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2）已知

1sin?cos?2?1,tan(???)??，求tan(??2?)的值 （答：）

81?cos2?3(3)公式变形使用。

如1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanB?tanA?tanB?1，则cos(A?B)＝_____ （答：?2）； 23，则?ABC是____三4（答：等边）

2)设?ABC中，tanA?tanB?3?3tanAtanB，sinAcosA?角形

(4)三角函数次数的降升 如1)若??(?,?)，化简（答：sin321111??cos2?为_____ 2222?）； 253(x?R)的单调递增区间为___________ 2?5?,k??](k?Z)） （答：[k??12122）函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x?(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

11?sin?2； 2）化简：2 （答：如1）求证：?????1?2sin21?tan2tan(?x)sin2(?x)22441cos2x） 21?tan2cos4x?2cos2x?secx??costanx?tanx?cotx?tan??sin???等）(6)常值变换主要指“1”的变换（1?sin，

22?4222如已知tan??2，求sin??sin?cos??3cos?

（答：

3）. 5 sinxcosx”的内存联系――“知一求二”(7)正余弦“三兄妹—sinx?cosx、，

t2?1如1）若 sinx?cosx?t，则sinxcosx? __ （答：?)，特别提醒：这里

2t?[?2,2]；

4?72）若??(0,?),sin??cos??1，求tan?的值。 （答：?）；

23??sin2??2sin2??k(???)，试用k表示sin??cos?的值 （答：3）已知

421?tan?。 1?k）

14、辅助角公式（收缩代换）的应用：asinx?bcosx?的象限由a, b的符号确定，?角的值由tan??a2?b2sin?x???(其中?角所在

b确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a- 15 -

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如（1）若方程sinx?3cosx?c有实数解，则c的取值范围是___________. （答：[－2,2]）；

（2）当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______ (答：

?3)； 2（3）如果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?= (答：－2)； （4）求值：

31??64sin220??________ (答：22sin20?cos20?32)

15、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y?sinx和余弦函数y?cosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，

?2,?,3?,2?的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就2y1得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

y=sinxo-1y1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1?2?3?4?5?6?x-6?-5?-4?-3?-2?-?y=cosx?2?3?4?5?6?x16、正弦函数y?sinx(x?R)、余弦函数y?cosx(x?R)的性质： （1）定义域：都是R。

（2）值域（有界性）：都是??1,1?，

对于y?sinx，当x?2k??

?2?k?Z?时，ymax?1，当x?2k??3??k?Z?时，2ymin??1；

对于y?cosx，当x?2当x?2 k?k??时，ymax?1，k???k??时，ymin??1。?Z?Z?31如1）若函数y?a?bsin(3x?)的最大值为，最小值为?，则a?__，b?＿

2261（答：a?,b?1或b??1）；

2??2）函数f(x)?sinx?3cosx（x?[?,]）的值域是____ （答：

22[－1, 2]）；

3）若2?????，则y?cos??6sin?的最大值和最小值分别是____ 、_____ （答：7；－5）；

xsinx(?4）函数f(x)?2cos__________

?3?)?sinxcoxs的最小值是_____，此时x＝32sixn（答：2；k???12(k?Z)）；

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5）己知sin?cos??1，求t?sin?cos?的变化范围 （答：2?11?； ?,?）?22??6）若sin2??2sin2??2cos?，求y?sin2??sin2?的最大、最小值

（答：ymax?1，ymin?22?2）。

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你注意到正余弦函数的有界性了吗？

（3）周期性：①y?sinx、y?cosx的最小正周期都是2?；

②f(x)?Asin(?x??)和f(x)?Acos(?x??)的最小正周期都是T?如1)若f(x)?sin2?。 |?|?x3，则f1)(?2()f3()?f?2(003)??f＝___ （答：0）；

42) 函数f(x)?cos4x?2sinxcosx?sinx的最小正周期为____ （答：

； ?）

3) 设函数f(x)?2sin(x???52)，若对任意x?R都有f(x1)?f(x)?f(x2)成立，则

（答：

|x1?x2|的最小值为

2）

（4）奇偶性与对称性：

正弦函数y?sinx(x?R)是奇函数，对称中心是?k?,0??k?Z?，对称轴是直线

x?k???2?k?Z?；

??余弦函数y?cosx(x?R)是偶函数，对称中心是?k????,0??k?Z?，对称轴是直线2?x?k??k?Z?

（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与

。 x轴的交点）如1）函数y?sin?偶函数）；

?5??（答：?2x?的奇偶性是______

?2?3)?______ 2）已知函数f(x)?ax?bsinx?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5（答：

－5）；

x(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、3）函数y?2cos____________

k??k???,1)(k?Z)、x??(k?Z)）； 2828?的值。 （答：4）已知f(x)?sin(?x??)3cos(?x?为偶函数，求)（答：(??k???6(k?Z)）

5）如果函数y＝3cos?2x＋??的图像关于点??4??，0?中心对称，那么|?|的最小值为 ?3?用心 爱心 专心 - 17 -

（A）

???? （B） （C） (D) （答：6432C）

（5）单调性：

????3????y?sinx在?2k??,2k????k?Z?上单调递增，在?2k??,2k????k?Z?单

22?22???调递减；

y?cosx在?2k?,2k?????k?Z?上单调递减，在?2k???,2k??2???k?Z?上单调

递增。

特别提醒，别忘了k?Z！

如1）已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0)，y?f(x)的图像与直线y?2的两个相邻交点的距离等于?，

则f(x)的单调递增区间是 （答：

??[k??,k??],k?Z）

362）下列关系式中正确的是 （答：C）

A．sin11?cos10?sin168 B．sin168?sin11?cos10 C．sin11?sin168?cos10 D．sin168?cos10?sin11 3）设函数f(x)?(sin?x?cos?x)?2cos22000000000000?x(??0)的最小正周期为

2?． 3（Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）若函数y?g(x)的图像是由y?f(x)的图像向右平移

?个单位长23；（Ⅱ）2度得到，求y?g(x)的单调增区间． （答：（Ⅰ）

2?27?[k??,k??](k?Z)） 3431217、形如y?Asin(?x??)的函数：

1（1）几个物理量：A―振幅；f?―频率（周期的倒数）；?x??―相位；?―初相；

T（2）函数y?Asin(?x??)表达式的确定：A由最值确定；?由周期确定；?由特殊点确定。

?7??如1）已知函数f(x)?2sin(?x??)的图像如图所示，则f???

12??（答：0）

2）已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0???的周期为?，且图象上一个最低点为M(?2）

2?,?2). 3（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x?[0,?12]，求f(x)的最值.

（答：（Ⅰ）f(x)?2sin(2x?（3）函数y?Asin(?x??)图象的画法： ① 五点法”――设X??x??，令X＝0，

?6)；（Ⅱ）3）

?2,?,3?,2? 2求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；

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② 图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数y?Asin(?x??)?k的图象与y?sinx图象间的变换： 如1）函数y?2sin(2x?略）；

2) 要得到函数y?cos(?左；

?4)?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的图象？ （答：

x?x)图象，只需把函数y?sin图象向__平移__个单位 （答：242?）； 23）将函数y?sin2x的图象向左平移式是

?个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析4A. y?cos2x B.y?2cos2x C.y?1?sin(2x?（答：B）；

4）若将函数y?tan(?x??4) D.y?2sin2x

?4图

)(??0)的图像向右平移

像

重

合

，

则

?个单位长度后，与函数6y?tan(?x?（答：

?6)的

?的最小值为

1） 2（5）研究函数y?Asin(?x??)性质的方法：类比于研究y?sinx的性质，只需将

y?Asin(?x??)中的?x??看成y?sinx中的x，但在求y?Asin(?x??)的单调区间

时，要特别注意A和?的符号，通过诱导公式先将?化正。

?2x?如1）函数y?sin([k???3)递减区间是______ （答：的

5??,k??](k?Z)）； 1212?2???2）设函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,?周期是?，则

?2)的图象关于直线x?2?对称，它的3A、f(x)的图象过点(0,) B、f(x)在区间[C、

f(x)的图象的一个对称中心是(5?,0) 1212

5?2?,]上是减函数 123D、f(x)的最大值是A

（答：C）；

3）对于函数f?x??2sin?2x??给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于

3???直线x?成轴对称；③图象可由函数y?2sin2x的图像向左平移个单位得到；④图像

123?向左平移个单位，即得到函数y?2cos2x的图像。其中正确结论是_______

12（答：②④）；

18、正切函数y?tanx的图象和性质：

????用心 爱心 专心 - 19 -

（1）定义域：{x|x??2?k?,k?Z}。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数定义域

了吗？

（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是?，它与直线y?a的两个相邻交点之间的距离是一个周期?。

?k??,0??k?Z?，特别提醒：正切型函数的2??对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这

（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是?是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性：正切函数在开区间???????k?,?k???k?Z?内都是增函数。但要注意在整

2?2?个定义域上不具有单调性。如下图：

三角函数图象几何性质 三角函数图象几何性质 y=ωx+xφyA?tan(Atan(??)?)yy?Asin(??y=Asin(ωx+xφ)?)y xOxO x3x4x3x4 x=x2x=x=x1x=x2Tx1 邻中心轴相距4 邻中心|x3-x4|= T/2邻渐近线|x1-x2|=T邻中心|x3-x4|=T/2邻轴|x1-x2|=T/2 无对称轴无穷对称轴:无穷对称中心:无穷对称中心: 任意一条y轴的垂线与正切由y=0或y无意义确定函数图象都相交,且相邻两由y=0由y=A或-A确定 确定交点的距离为一个周期！ 19、绝对值或平方对三角函数周期性的影响：

一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如y?sin2x,y?sinx的

周

期

都

是

?, 但y?sinx?cosx的周期为

?2)，而

y?|2?1s?xin?(3?y62)??|?x,，y?||tan2x|sin(3的周期不变；

62|

20、解三角形

（一）三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形内角和为?，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.

a?b?c?2R(R为三角形外接圆的半径).注意： sinAsinBsinC①正弦定理的一些变式：?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC；

(2)正弦定理：

用心 爱心 专心 - 20 -

?ii?sinA?cab,sinB?,sinC?；?iii?a?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC；

2R2R2R222② 已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

222b?c?a(3)余弦定理：a?b?c?2bccosA,cosA?等，常用余弦定理鉴定三角形形

2bc状.

(4)面积公式：S?1aha?1absinC?1r(a?b?c)等等（其中r为三角形内切圆半径）.

2(5)三角形中的射影公式：a?b?cosC?c?cosB；b?c?cosA?a?cosC； c?a?cosB?b?cosA.

特别提醒：① 求解三角形中的问题时，一定要注意A?B?C??这个特殊性：

A?BCA?B???C,sinA(?B?)sCin,sin?c；os

22② 求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

（二）常见三角形的基本类型及解法：

（1）已知两角和一边（如：A,B,c） 解法：C???(A?B)；a?（2）已知两边和夹角（如：a,b,C）

22c?sinAc?sinB；b?. sinCsinCb2?c2?a2解法：c?a?b?2abcosC；由cosA?求A；B???(A?C).

2bc（3）已知三边（如：a,b,c）

22a2?c2?b2b2?c2?a2解法：由cosA?求A；由cosB?求B；C???(A?B).

2bc2ac（4）已知两边和其中一边对角（如：a,b,A）（注意讨论解的情况）

解法1：c?a2?b2?2abcosC；由余弦定理推论求B；C???(A?B).

b?sinCa?sinC求B；C???(A?B)；c?. csinA如1）在?ABC中，A＞B是sinA?sinB成立的_____条件（答：充要）；

解法2：由sinB?2）在?ABC中， (1?tanA)(1?tanB)?2，则log2sinC＝_____（答：?3)在?ABC中，a,b分别是角A、B、C(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB，则?C＝

2a2?b?cS?431）； 2所对的边，若

（答：60）；

2?4）在

??ABC中，若其面积，则

?C=____

（答：30）；

5）在?ABC中，A?60, b?1，这个三角形的面积为3，则?ABC外接圆的直径是____（答：

?239）； 31B?C22,则cos2= ，b?c32（答：;用心 爱心 专心

6）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，a?3,cosA?的最大值为

19）； 32- 21 -

7）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答：

0?C??6）；

?8）设O是锐角三角形ABC的外心，若?C?75，且?AOB,?BOC,?COA的面积满足关系式

（答：45）．

9）?ABC中，若sinAcosB?cosAsinB?sinC，判断?ABC的形状（答：直角三

角形）。 10）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则

22222?S?AOB?S?BOC?3S?COA，求

?A

AC的值等于 2 ，AC的取值范围为 cosAo(2,3) .

11）已知?ABC中，?A,?B,?C的对边分别为a,b,c若a?c?6?2且?A?75，则

b? （答：2）；

2212）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a?c?2b，且sinAcosC?3cosAsinC, 求b

（答：4）；

?????A25???13）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos?，AB?AC?3．

25（I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值． （答：2； 25）；

常见问题解答 1. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，

半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

11 （l??2R，S扇?2lR??2R2）22

R

1弧度 O R

2. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin??MP，cos??OM，tan??AT y T B S

P

α O M A x

如：若??8???0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是 . ??? 又如：求函数y?1?2cos??x?的定义域和值域。

?2?用心 爱心 专心

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???（∵1?2cos??x?）?1?2sinx?0

?2?∴sinx? ∴2k??2，如图： 25???x?2k???k?Z?，0?y?1?2 44

3. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sinx?1，cosx?1

y y?tgx x ? ? ? O ? 22

???0?，k?Z 对称点为?k， ?2?

???? y?sinx的增区间为?2k??，2k????k?Z?

22???3??? 减区间为?2k??，2k????k?Z?

22???k?，0?，对称轴为x?k?? 图象的对称点为?2?k?Z?

?2k?， y?cosx的增区间为2k?????k?Z? ?2k???，2k??2???k?Z? 减区间为??? 图象的对称点为0?，对称轴为x?k??k?Z? ?k??，2?????? y?tanx的增区间为?k??，k???k?Z

22???或y?Acos??x???? 4. 正弦型函数y=Asin??x+??的图象和性质要熟记。2?（1）振幅|A|，周期T?

|?| 若f?x0???A，则x?x0为对称轴。

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若f?x0??0，则?x0， 0?为对称点，反之也对。 （2）五点作图：令?x??依次为0，，?，，2?，求出x与y，依点（x，y）作图象。

3??22（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值） ??(x1)???0 如图列出?????(x???

2)?2 解条件组求?、?值

?正切型函数y?Atan??x???，T??|?| 5.在三角函数中求一个角时要注意两方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围 如：cos?????x?6????22，x?????，3??2??，求x值。 （∵??x?3?7??5??2，∴6?x?6?3，∴x?5?136?4，∴x?12?）

6 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数y?sinx?sin|x|的值域是. （x?0时，y?2sinx???2，2?，x?0时，y?0，∴y???2，2?） 7. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式：

? （1）点P（x，y）??a?平移至?(h?，?k?)?P（ x? ，y?），则 ??x? ?x?h ?y ??y?k

（2）曲线f(x，y)?0沿向量?a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0 如：函数y?2sin?????2x?4???1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的 图象？

（y?2sin???2x???4???1?横坐标伸长到原来的?????????2倍??y?2sin???1????2??2x???4???1

??2sin???x???左平移个单位4???1????4?????y?2sinx?1?上平移???1个单位????y?2sinx纵坐标缩短到原来的12倍???????????y?sinx 8.. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin2??cos2??sec2??tan2??tan?2cot??cos?2sec??tan?4

?sin?2?cos0???称为1的代换。 “k2?2??”化为?的三角函数——“奇变偶不变，符号看象限”，

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。 如：cos9?4?tan????7??6???sin?21???.

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.

又如：函数y?sin??tan?，则y的值为cos??cot?.

A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值

sin?sin??sin2??cos??1?cos?（y???0，∵??0）

cos?cos2??sin??1?cos??sin?9. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其公式的逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

??sin2??2sin?cos? sin??????sin?cos??cos?sin?????令???令???22cos???os?cos??sin?sin??????cos2??cos??sin? ???ctan??tan?222cos??1?1?2sin??tan??? ? ???1?tan?2tan?2tan?tan2?? 21?tan?

1?cos2?2cos??2 1?cos2?2sin??2b a

asin??bcos??a2?b2sin?????，tan????? sin??cos??2sin????

4????? sin??3cos??2sin????

3?? 应用以上公式对三角函数式化简.（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值的，尽可能求值） 具体方法：

?????????（1）角的变换：如?????????，????????????

22??2?? （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算.

sin?cos?2 ?1，tan???????，求tan???2??的值。1?cos2?32sin?cos?cos?1（由已知得：??1，∴tan??又tan???? . ??22sin?22sin?3 如：已知21?tan??????tan?1 ∴tan???2???tan???????????32?

1?tan?1?21?tan????2283210. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

b2?c2?a2222 余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?

2bc （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角.）

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?a?2RsinA 正弦定理：asinA?bsinB?csinC?2R???b?2RsinB

??c?2RsinC S1??2a2bsinC

∵A?B?C??，∴A?B???C ∴sin?A?B??sinC，sinA?B2?cosC2

如?ABC中，2sin2A?B2?cos2C?1

（1）求角C； （2）若a2?b2?c22，求cos2A?cos2B的值。

解（:1）由已知式得：1?cos?A?B??2cos2C?1?1

又A?B???C，∴2cos2C?cosC?1?0

∴cosC?1或cosC??（舍）1, 又0?C??，∴C??23

（2）由正弦定理及a2?b2?1c2得：2sin2A?2sin2B?sin2C?sin2?23?34 1?cos2A?1?cos2B?34, ∴cos2A?cos2B??34.

11.. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinx??????2，??2??，x???1，1? 反余弦：arccosx??0，??，x???1，1?

用心 爱心 专心 - 26 -

?a?2RsinA 正弦定理：asinA?bsinB?csinC?2R???b?2RsinB

??c?2RsinC S1??2a2bsinC

∵A?B?C??，∴A?B???C ∴sin?A?B??sinC，sinA?B2?cosC2

如?ABC中，2sin2A?B2?cos2C?1

（1）求角C； （2）若a2?b2?c22，求cos2A?cos2B的值。

解（:1）由已知式得：1?cos?A?B??2cos2C?1?1

又A?B???C，∴2cos2C?cosC?1?0

∴cosC?1或cosC??（舍）1, 又0?C??，∴C??23

（2）由正弦定理及a2?b2?1c2得：2sin2A?2sin2B?sin2C?sin2?23?34 1?cos2A?1?cos2B?34, ∴cos2A?cos2B??34.

11.. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinx??????2，??2??，x???1，1? 反余弦：arccosx??0，??，x???1，1?

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