关于解非线性方程组的Newton型迭代法的若干研究

浙江丝绸工学院学报,,

,

第

卷

,

第

期

,

年

月

关于解非线性方程组的迭代法的若干研究卢兴江浙江大学,

型

杭州

摘本文给出了求解非线性方程组的

要型迭代法的几何实质同时提出了新的研究方向并,。

设计了对一般非线性方程组运用的灵活而有效的算法关键词非线性方程组型迭代法

几何实质

。

中图分类号

引

言

对非线性方程组其中,

任

,

,

一

,

,

…人,,

」求解的方法甚多有迭代法同伦延拓算法,,

、

、

单纯形算法和区间迭代法等

。

在文献

中系统地介绍了。

阶非线性方程组,

的基本理

论完整地分析了该类方程组数值解的几种主要迭代法在众多的迭代法中以著名的法奋‘丢

一〔

‘

丢

〕

一‘

去

,

,

,

…,

最为引人注目它的最大优点是平方收敛且是强有力的有自校正性阵及其逆矩阵的代价很高,,,

。

但缺点是求。

矩阵

对初始点的要求较高。

,

不具有大范围收敛性、

另外

,

当

奇异或病态时计算不能顺利进行针对以上问题许多工作者对定型方程比较好的方法。

法作了种种改进修正

,

得到了一些对一般或某特

这类方法的迭代格式是去‘奋

一

去

汤

,

,

…

我们称这类方法为法、

型迭代法

。

常见的有修正,

法

、

下降法

、

带参数的为此针对

一

和

一

法等

。‘〕

对于解非线性方程组迭代法的研究虽有较长的历史本文收到日期一一

但问题远没有完全解决

,

浙江丝绸工学院学报

年、

第

卷

这一老问题种处理方法

,

新的思想文献

、

方法也不断出现,

。

如对奇异

、

病态问题。

文献

〕

、

〕提出了几

较系统地分析了

型方法的点估计等

本文则从迭代法的几何

实质出发

,

用几何的观点研究迭代法

从而设计出有效的算法

迭代法的几何实质人‘,在万程‘’中’

门「’

九

州

,一

卜…,

‘

一

’

」

以

。

…

我们记“为

”

维空间中的一张““

关

一

,

即、

关

一

,

,

…

,

记关的梯度方向为

二另外记甲迭代过程如图,

一

绘,一

,

’,。

毅从,

一‘

,

,

一

为

的’

矩阵我们首先看以下的精确解‘

设‘

为‘,

出发

,

沿一组方向力到复以上过程即,

,

交点为,

过

一,

,

二

的切平面开始重展图

的交点作为新的方程组

的近

似解则关

然后从由

设开得关

‘

一“

‘

任二。

十右’一

甲关

嘴关军关二。

一

,

略去高阶项得

迭代法几何示意图

‘

而过

‘

的

‘

的切平面为

一令

甲关

口

记△一

一

我们可得到

甲关

口

△。

一关

“

一

一

二。一口

从而可以解出△面,

,

得到新的近似解

当取不同的刀或取不同的过令的平面以上为切平,。

…

,

就可以得到不同的几何方法这些方法皆具有直观明确的几何意义特别,

,

当取刀一甲关时切平面方程中的甲人甲关二。

口

可为甲关”。

二。,

则,

式即为…,

△

一关

一

此即

方程

,

上述方法即为,

迭代法

了解了迭代法的上述几何实质以后

我们就可以来设计一些有效的算法

。

几何算法仿射类二

法‘‘

一

‘

艺凡‘

一。

,

,

,

…

第

期,,,

卢兴江

关于解非线性方程组的

型迭代法的若干研究

其中尽鱿…取不同的几

为一组方向,,

…

,

可得到不同的方法,

。

认是,

抖’在仿射坐标系尹

双…,,

,

下的坐标值而,

此方法的几何实质与法丈由以下方法确定凡

法相似故称仿射类展开略去高阶项得,

令关

盛十’

,

在扩点勺,,‘

戈

了

’,例

善似一

‘

乙,

冰一。

”

“一‘

,

”“

’”

,

图

仿射类

腼

法几何示意图

从中可解得凡设人几取从一

…

十

一,,

,

一

,

一

〕,

关

差

…

,

,

,

则用仿射类需迭代’

法迭代一次即得精确解,

’

一

,

了

’

。

而在相同的情况下次辅助迭代、、

法次迭迭代才达到

次文献。

提出的自适应拟中」二一‘,

一修正法则需算法则用。

代才得到同样的解文献一

次延拓法循环

次

一‘

的解显见仿射类备,

法对提高收敛速度有较法。

好的作用

。

当然在仿射类,

法中可使军关,

步不变得到相应的修正仿射类

调整步长

法吞

‘

盛

一

甲

二‘

〕

一’

香

〕

其中

尸

一

对’

称为步长矩阵之」法,,。

。

一

,

…即在…,

中引进了常数对的平面的位置也即,

角阵尸调整‘

,

以调整过’’一‘刀

一

中

的值步长。

以使收敛速度更快,

,

故称为调整步长次即得精确解即,

法理论上存在尸使得迭代一’

。

如图

。

显然牛顿下降法即是。

,

叭九一时的特殊情况图调整步长、,。

法几何示意图

。

例

,

取

,

同例

,

取

。

一。

。

,

,

尸。一

〔

则迭代

次即得精确解而

。

迭代在相同情况下需迭代步长矩阵下取不同的,

次

尸,

除了改变收敛性或加快收敛速度外还有另一个作用那就是在多根的情况,,

尸

迭代法可收敛到不同的根

。

浙江丝绸工一式一,

学

院学报

年

第

卷

、‘,

、

,

例

八

设,

一法,

晋,

。

取

’。

一‘

,

,

在这个初值下

发散而调整步长迭代次得精确解之一一。

法计算结果如下一,

月、自任

、汤任,

卫

取。

。

,

取

尸。一

〔厂,

口

〕、‘

,

尸,一尸一

〔

‘

飞代迭,

次得精确解之二护一、,

,

产

二

取一

尸。一

尸

尸

尸

一

迭代

次得精确解之三

一

结束语对解非线性方程组其他类型的方法好的算法对于本文研究的解决。。

,

我们也可以研究其几何实质尸,,,

,

从而有可能设计出更尸,

,

理论上如何确定最佳的的完美确定的方法

使得算法能自动选取

是值得我们进一步

。

若得到了

尸

则直接意味着非线性方程组

求解问题的圆满

参考文献李庆扬莫孜中祁力群非线性方程组数值解法北京科学出版社,

一

多元非线性方程组迭代解法

北京,

科学出版社

,

,

一

潘壮元潘壮元

求解奇异问题一类新的加速迭代法用修正的法求解奇异问题,

,

高校计算数学学报高校计算数学学报,

一。,

王兴华韩丹夫孙方裕

若干变形

迭代的点估计

计算数学

一

蔡玉芝

求解非线性方程组的自适应拟

一修正方法

高校计算数学学报

一

,

,

一

一

,

责任编辑

郭

审

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/todq.html