2010-2018高考真题理科数学分类汇编解析版第26讲 椭圆

专题九 解析几何

第二十六讲 椭圆

一、选择题

x2y21．(2018全国卷Ⅱ)已知F右焦点，A是C的1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左，

ab左顶点，点P在过A且斜率为则C的离心率为 A．

3的直线上，?F1F2P?120?，△PF1F2为等腰三角形，62 3 B．

1 2 C．

1 3 D．

1 4x2y2??1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2．(2018上海)设P是椭圆53（ ）

A．22 B．23 C．25 D．42 x2y2??1的离心率是 3．（2017浙江）椭圆94A．

25135 B． C． D．

3933x2y24．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1，A2，

ab且以线段A1A2为直径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为

A．1632 B． C． D．

3333x2y25．(2016年全国III)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点，A，

abB分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 A．

13

B．

12

C．

23

D．

34

x2x2226．(2016年浙江)已知椭圆C1：2?y?1(m?1)与双曲线C2：2?y?1(n?0)的焦

mn点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则

A．m?n且e1e2?1 B．m?n且e1e2?1 C．m?n且e1e2?1 D．m?n且e1e2?1

x2?y2?1上的点，则P,Q两点间7．(2014福建)设P,Q分别为x??y?6??2和椭圆1022的最大距离是

A．52 B．46?2 C．7?2 D．62

x2y2

8．（2013新课标1）已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于

ab

A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 x2y2

A．＋＝1

4536

x2y2

B．＋＝1

3627

x2y2

C．＋＝1

2718

x2y2

D．＋＝1

189

x2y29．(2012新课标)设F1、F2是椭圆E：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线

abx?3ao上一点，?F2PF1 是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为 21234A、 B、 C、 D、

2345二、填空题

x2?y2?m(m?1)上两点A，B满足AP?2PB，10．(2018浙江)已知点P(0,1)，椭圆4则当m=___时，点B横坐标的绝对值最大．

x2y2x2y211．(2018北京)已知椭圆M：2?2?1(a?b?0)，双曲线N：2?2?1．若双曲线Nabmn的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．

x2y212．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2?2?1?a?b?0?的右焦

abb点，直线y?与椭圆交于B,C两点，且?BFC?90?，则该椭圆的离心率是 ．

2yBOCFx

x2y2??1的三个顶点，且圆心在x的正半轴上，则13．（2015新课标1）一个圆经过椭圆

164该圆的标准方程为_________．

1x2y214．（2014江西）过点M(1,1)作斜率为?的直线与椭圆C：2?2?1(a?b?0)相交

2ab于A,B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ．

x2y2??1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦15．（2014辽宁）已知椭圆C：94点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|?|BN|? ．

x2y216．（2014江西）设椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右焦点为F1，F2，作F2作x轴的垂

abB两点，F1B与y轴相交于点D，若AD?F1B，则椭圆C的离心率线与C交于A，等于________．

y217．（2014安徽）设F1,F2分别是椭圆E:x?2?1(0?b?1)的左、右焦点，过点F1的

b2直线交椭圆E于A,B两点，若AF1?3BF1,AF2?x轴，则椭圆E的方程为_____．

x2y218．（2013福建）椭圆?:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为2c．若

ab直线y?3?x?c?与椭圆?的一个交点M满足?MF1F2?2?MF2F1，则该椭圆的离心率等于

x2y219．（2012江西）椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A,B，左、右焦点分别

ab是F1,F2．若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．

x2?y2?1的左、右焦点，点A,B在椭圆上，若20．（2011浙江）设F1,F2分别为椭圆3F1A?5F2B；则点A的坐标是 ．

三、解答题

x2?y2?1的右焦点为F，21．（2018全国卷Ⅰ）设椭圆C:过F的直线l与C交于A,B两2点，点M的坐标为(2,0)．

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB．

x2y2??1交于A，B两点，线22．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：43段AB的中点为M(1,m)(m?0)． (1)证明：k??1； 2(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP?FA?FB?0．证明：|FA|，|FP|，

|FB|成等差数列，并求该数列的公差．

x2x223．(2018天津)设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离

ab心率为5，点A的坐标为(b,0)，且FB?AB?62． 3(1)求椭圆的方程；

(2)设直线l：y?kx(k?0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．

若

AQPQ?52sin?AOQ(O为原点) ，求k的值． 4x2y224．（2017新课标Ⅰ）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，

abP3?(?1,33)，P4?(1,)中恰有三点在椭圆C上． 22(1)求C的方程；

C相交于A，B两点．若直线P(2)设直线l不经过P2A与直线P2B的斜率的和2点且与

为?1，证明：l过定点．

x2?y2?1上，过M做x轴25．（2017新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2的垂线，垂足为N，点P满足NP?（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过

2NM．

C的左焦点F．

x2y226．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2?2?1(a?b?0)的左、

ab右焦点分别为F1，F2，离心率为

1，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位2于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2． （1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

x2y2127．（2017天津）设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已

2ab知A是抛物线y?2px(p?0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为

21． 2

（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），

直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为

6，求直线AP的方程． 22x2y228．（2017山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2?2?1?a?b?0?的离心率为，

2ab焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）如图，动直线l：y?k1x?的斜率为k2，且k1k2?3交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC 22，M是线段OC延长线上一点，且MC:AB?2:3，4M的两条切线，切点分别为S,T．求?SOT的

M的半径为MC，OS,OT是

最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

ySCOAB

MTlxx2y2329．(2016年北京)已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，A(a,0)，B(0,b)，

ab2O(0,0)，ΔOAB的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．

求证：|AN|?|BM|为定值．

30．(2015新课标2）已知椭圆C：9x2?y2?m2(m?0)，直线l不过原点O且不平行于

坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M． （Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边3行？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

2x2y21?和点31．（2015北京）已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为，点P?0，2abA?m，n??m≠0?都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是

否存在点Q，使得?OQM??ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

x2y232．（2015安徽）设椭圆E的方程为2?2?1?a?b?0?，点O为坐标原点，点A的坐

ab标为?a，点B的坐标为?0，点M在线段AB上，满足BM?2MA，直线OM0?，b?，

的斜率为

5． 10（Ⅰ）求E的离心率e；

（Ⅱ）设点C的坐标为?0，?b?，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点

的纵坐标为

7，求E的方程． 2x2y233．（2015山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率

ab为

3，左、右焦点分别是F1、F2．以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以12为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

x2y2（Ⅱ）设椭圆E：2?2?1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y?kx?m

4a4b交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q．

( i )求

|OQ|的值； |OP|（ii）求△ABQ面积的最大值．

x2y2334． (2014新课标1) 已知点A(0,?2)，椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率为，ab2F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为

（Ⅰ)求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方

程．

23，O为坐标原点． 3x2y235．(2014浙江)如图，设椭圆C:2?2?1?a?b?0?,动直线l与椭圆C只有一个公共点

abP，且点P在第一象限．

（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a,b,k表示点P的坐标；

（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a?b．

yl1POxl

C：x2?36．（2014新课标2）设F1，F2分别是椭圆

2ay2?1?a?b?0?的左，右焦点，M2b是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N． （Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN?5F1N，求a,b．

x2yE：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过点F1 37．（2014安徽）设F1,F2分别是椭圆

ab的直线交椭圆E于A,B两点，|AF1|?3|BF1| （Ⅰ）若|AB|?4,?ABF2的周长为16，求|AF2|； （Ⅱ）若cos?AF2B?23，求椭圆E的离心率． 5x2y2338．（2014山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，

ab2直线y?x被椭圆C截得的线段长为（Ｉ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭

圆C上，且AD?AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点． (ⅰ)设直线BD，AM的斜率分别为k1,k2，证明存在常数?使得k1??k2，并求

出?的值；

(ⅱ)求?OMN面积的最大值．

410． 5x2y239．（2014湖南）如图5，O为坐标原点，双曲线C1:2?2?1(a1?0,b1?0)和椭圆

a1b123x2y2均过点且以C1的两个顶点和C2的两个P(,1)，C2:2?2?1(a2?b2?0)3a2b2焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ｉ）求C1,C2的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于

A,B两点，与C2只有一个公共点，且

|OA?OB|?|AB|？证明你的结论．

x2y240．（2014四川）已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的焦距为4，其短轴的两个端点

ab与长轴的一个端点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x??3上任意一点，过F作TF的垂线交椭

圆C于点P，Q．

（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当

|TF|最小时，求点T的坐标． |PQ|x2y241．（2013安徽）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦距为4，且过点P(2，3)．

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设Q(x0,y0)(x0y0?0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A(0,22),连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由． 42．（2013湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m?n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记??和S2．

m，△BDM和△ABN的面积分别为S1n

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