线性方程组及其矩阵解法

高等代数课程设计,

**大学理学院

本科考查（课程论文）专用封面

学年学期：2019-2020学年第1学期

课程名称：高等代数

任课教师：**

论文/作业题目：《线性方程组及其矩阵解法》

年级专业：19数学类

姓名学号：************

提交时间：2019.12.15

评阅成绩：

评阅意见：

阅卷教师签名：2020年1月4日

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

摘要

解方程是代数中一个基本的问题，对于多元一次方程组，用矩阵来求解及讨论其的是否有解，是否只有唯一解和多解之间的解的结构问题是一个相对简便和可行的办法。本文主要列出矩阵和多元线性方程组性质和概念，对其定理进行证明和讨论，然后找出定理的推论进行归纳总结。最后提出个人的思考与留下的疑问。

关键词：高等代数；线性方程组；矩阵；性质；证明；思考

Abstract

Solving equations is a basic problem in algebra. For multivariate linear equations, the matrix is used to solve and discuss whether there is a solution, whether there is only one solution and structural problems of solutions between multiple solutions, and it a relatively simple and feasible method. The paper mainly lists the properties and concepts of matrices and discusses their theorems, and then finds out the inferences of the theorems and summarizes them. At last, I put forward my personal thoughts and left questions.

Key words: Higher algebra; System of linear equations; Matrix; Nature; Prove;

1

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

2

1. 引言

线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。在中学中所学的袋鼠中，我们通常是解四元以下的线性方程组。下面我们主要讨论的一般的多元一次方程组，也就是线性方程组。

1．一般线性方程组是指形式为

（1）

的方程组，其中 代表 n 个未知量， s 是方程的个数;a ij (i=1,2,…,s,j=1,2,…,n)

称为方程组的系数；bi(i=1,2,…,s) 称为常数项。

2．方程组的解

设k 1,k 2,…，k n 是n 个数。如果x 1,x 2,…,x n 分别用k 1,k 2,…，k n

代入后，每个式子都是恒等式。则有序数组（k 1,k 2,…，k n ）是方程组的一

个解。若解集合为空集时，则方程组无解。

3.消元法解一般线性方程组

采用消元就是对线性方程组作初等行变换。消元的过程就是反复实施初等变换的过程，从而得到更为简单的同解的线性方程组。

4.方程组的系数矩阵和增广矩阵

称为方程（1）的系数矩阵 11112211211222221122 n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??+++=?12,,,n x x x 111212122

212

n n s s sn a a a a a a A a a a ?? ?= ? ???1112112122

2212

n n s s s sn a a a b a a a b A b a a a ?? ?= ? ???

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

3 称为方程（1）的增广矩阵

用系数矩阵和增广矩阵来表示一般线性方程组会便于对线性方程组做初等变换得到同解线性方程组。

不妨设线性方程组（1）的增广矩阵为

经过一系列初等行变化化成阶梯型矩阵

（2）

其中≠0，i=1,2…n

(1)当d r+1=0时，方程组有矛盾方程，故方程组（1）无解

(2)当d r+1≠0时,方程组（1）有解

则方程组（1）与方程组（7）同解

（3）

因为（2）中的行向量的秩≤n ，又因为C ii ≠0，所以r ≤n

当r=n 时，方程组（1）有唯一解

当r<n 时，方程组（1）有无穷多解

由此可见，任给x r+1，…，x n 一组值，都能唯一的给定的值，也就是定出方程

组（3）的一个解。一般的，由（3）我们可以把表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而x r+1，…，x n 称为一组自由未知量。

因此，方程组（1）有没有解，以及有怎样的解，都可以通过观察其增广矩阵进行初等行变换化的的矩阵看出。

下面对齐次和非齐次线性方程组的解作具体讨论

5.齐次线性方程组的解

定理一：若齐次线性方程组

如果s<n 。则它必有非零解

1112112122

2212n n s s s sn a a a b a a a b A b a a a ?? ?= ? ???

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

4

证明：显然，方程组在化成阶梯型方程组之后，方程组的个数不会超过原方程的个数，即r ≤s<n

由r<n 得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。

4.线性相关性

定义一：向量α称为向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合，如果有数域P 中的数k 1,k 2,…,k s ,使得α=k 1β1+k 2β2+…+k s βs

定义二：α可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，如果α是向量组β1，β2，…，βs 的一个线性组合时。

定义三：如果向量组α1，α2，…，αt 中的每一个元素αi （i=1，2，…，t ）都可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出，那么向量组α1，α2，…，αt 就成为可以经向量组β1，β2，…，βs 线性表出。如果两个向量组可以互相线性表出，它们就称为等价。

定义四：如果向量组α1，α2，…，αs （s ≥2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组α1，α2，…，αs 称为线性相关。

定义四’:向量组α1，α2，…，αs （s ≥1）称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数k 1,k 2,…,k s ，使k 1β1+k 2β2+…+k s βs =0

定义五：一组向量组α1，α2，…，αs （s ≥1）不线性相关，即没有不全为零的数k 1,k 2,…,k s ，使k 1β1+k 2β2+…+k s βs =0 就称为线性无关，

或者说，一向量组α1，α2，…，αs 线性无关，如果由k 1β1+k 2β2+…+k s βs =0 可以推出： K1=k2=…=ks=0

5.用齐次线性方程组判断向量组是否线性相关

一般地，要判断一个向量组αi =（a i1,a i2,…a in ）,i=1,2,…,s 是否线性相关，根据定义四’就是看方程

x 1α1+x 2α2+…+x s αs =0 （4）

有无非零解。（4）式按分量写出来就是

因此，向量组α1，α2，…，αs 线性无关的充分必要条件是其齐次线性方程组只有零解。

6.向量组的秩

定义六：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关。 定义七：向量组的极大线性无关组所含的向量组的个数就是这个向量组的秩。 定理一：设α1，α2，…，αr 与β1，β2，…，βs 是两个向量组，如果 （1） 向量组α1，α2，…，αr 可以经β1，β2，…，βs 线性表出

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

5

（2） r>s

那么向量组α

1

，α

2

，…，α

r

必线性相关。

证明：由（1）有

要证明α1，α2，…，αr线性相关，只要证明可以找到不全为零的k1,k2,…,k r,使

K

1

α

1

+k

2

α

2

+…+k

r

α

r

=0

为此，作线性组合

如果我们能找到不全为零的数x

1

,x

2

,…,x

r

,使β

1

，β

2

，…，β

s

的系数全为零，那就

证明了α

1

，α

2

，…，α

r

线性相关性。这一点是能做到的，即r>s齐次方程组

其中未知量的个数大于方程组的个数，故它有非零解。

推论一：如果向量组α

1

，α

2

，…，α

r

可以经向量组β

1

，β

2

，…，β

s

线性表出，且α1，α2，…，αr线性无关，那么r≤s

推论二：任何n+1个n维向量必线性相关。

推论三：两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量。

定理二：对于n个n维向量，α

i

=（a

i1

,a

i2

,…a

in

）,i=1,2,…,s

将其用一个齐次方程组表示，将其系数矩阵做行列式可得

线性相关

系数矩阵为零，方程组有非零解，则这n个向量（列向量）线性相关，

系数矩阵不为零，方程组只有零解，则这n个向量（列向量）线性无关

由克拉默法则及其逆定理得，非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式不等于0.

7.线性方程组有解判别定理

定理三：（线性方程组有解判别定理）线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增光矩阵有相同的秩。

证明：

先设处线性方程组为

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

6

其系数矩阵和增广矩阵分别为

引入向量

于是线性方程组（1）可以改写成向量方程

x

1

α

1

+x

2

α

2

+…+x

n

α

n

=β

显然，线性方程组（1）有解的充分必要条件为向量β可以表示成α

1

，α

2

，…，α

n 的线性组合。用秩的概念，方程组（1）有解的条件可由以下证明的证

先证必要性。设线性方程组有解，就是说，β可由向量组α

1

，α

2

，…，α

n

线性表

出。由此可推出，向量组α

1

，α

2

，…，α

n

与向量组等价，因而它们有相同的秩。这两个向量组分别是系数矩阵和增广矩阵的列向量。因此，系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。

再证充分性。设其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，就是说，他们的列向量组α1，α2，…，αn与α1，α2，…，αn，β有相同的秩，令它们的秩为r。α1，α2，…，αn中的极大线性无关组是由r个向量组成，不妨设α1，α2，…，αr是它的一个极

大线性无关组。显然，α

1

，α

2

，…，α

r

也是的一个极大线性无关组，因此向量β

可由α

1

，α

2

，…，α

r

线性表出。既然它可以经线性表出。因此，方程组（1）有解。

8.线性无关组解的结构（解不唯一的情况下）

定理四：对于一齐次线性方程组它的解有下面两个性质：

（1）两个解的和还是线性方程组的解

（2）一个解的倍数还是方程组的解

（3）解之间的线性组合得到的仍然是方程组的解

证明（1）：

设（k

1

,k

2

,…,k

n

）与（l

1

,l

2

,…,l

n

）是方程组的两个解。也就是说，把它们代入方程组每个方程组成恒等式，即

a

i1

k

1

+a

i2

k

2

+…a

in

k

n

=0, i=1,2,…,s

a

i1

l

1

+a

i2

l

2

+…a

in

l

n

=0, i=1,2,…,s

把两个解的和代入方程组得

A

i1

(k

1

+l

1

)+a

i2

(k

2

+l

2

)+…a

in

(k

n

+l

n

)=0+0=0, i=1,2,…,s

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

7 这就证明了两个解的和还是方程组的解。

证明（2）：

设（k 1,k 2,…,k n ）是方程组的一个解，不难看出（ck 1,ck 2,…,ck n ）还是线性方程

组的解。因为

c （a i1k 1+a i2k 2+…a in k n ）=c ×0=0，i=1,2,…,s

由（1）（2）可以很显然地证明（3）的正确性。

定义八：齐次线性方程组的一组解η1，η2，…，ηt 称为一组基础解系，如果

（1） 任何一个解都能表成η1，η2，…，ηt 的线性组合

（2） η1，η2，…，ηt 线性无关

定理五：在其次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r ，这里的r 表示矩阵的秩（易见，n-r 也就是自由未知量的个数）

定义九：对于一般线性方程组，把每个方程组的常数换成零，得到的齐次方程组称为一般线性方程组的到处组。

定理六：

（1） 一般线性方程组两个解的差是方程组的解

（2） 线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个方程组的一个

解。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/to4m.html