概率论知识点总结

概率论总结

目 录 一、 前五章总结

第一章 随机事件和概率 …………………………1 第二章 随机变量及其分布……………………….5 第三章 多维随机变量及其分布…………………10 第四章 随机变量的数字特征……………………13 第五章 极限定理………………………………...18 二、 学习概率论这门课的心得体会……………………20

一、前五章总结 第一章 随机事件和概率

第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集

一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等

若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A或A?B。

若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件

“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。 用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件

称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件

称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件

如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件

称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā 。A与ā满足：A∪ā= S,且Aā=Φ。

运算律：

设A，B，C为事件，则有

（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA （2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC （4）德摩根律： 小结：

事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系：包含、相等、对立、互不相容； 四种运算：和、积、差、逆；

四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。 第二节：

1、 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件

A?B?A?BA?B?A?BA由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：P(A)＝k/n＝

A包含的样本点数/S中的样本点数。

2、 几何概率：设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则

向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为：

P（A）=μ（A）/μ（S） 假如样本空间S可用

一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可. 概率的性质：

????（1）P(?)=0, ?P????????P????m?1?m?1（2）

Ai,Aj,i,j?1,2,?,n,i?j,两两互不相容，?n?n则P???Ak????P?Ak?;?k?1?k?1（3） P(A)?1?P(A),（4） 若A?B，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).

第四节：条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A对B的条件概率，记作P(A|B).

而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率. 乘法公式： 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)

全概率公式：设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分，且

P(A|B)?P?AB?P?B?P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件, 则 P(B)??P(Ai)P(B｜Ai)ni?1贝叶斯公式：设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分，且

P(Ai)>0，i =1,2,…,n, B是任一事件且P(B)>0, 则

P(Ai|B)?P(Ai)P(B｜Ai)?P(A)P(B｜A)jjj?1n

第五节 ：若两事件A、B满足

P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立. 将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件A、B、C，若

P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)

P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C) 四个等式同时 成立,则

称事件 A、B、C相互独立.

第六节：定理 对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k次的概率为 总结：

1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。

3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。

4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。

第二章：随机变量及其分布

1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。

分布函数：设 X 是一个 r.v，x为一个任意实数，称函数

kkn?kPn(k)?Cnpqk?0,1,?,n,q?1?p

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