13-函数与极限习题与答案（计算题）

高等数学

二、计算题（共 200 小题，）

1、设f(x)?2、设f(x)?2x，求f(x)的定义域及值域。 1?x1?x，确定f(x)的定义域及值域。 1?x2?x2x?ln(x2?x)，求f(x)的定义域。

3、设f(x)?2x?1?sin?x，求f(x)的定义域。 52?x?1?，求f(x)?f??的定义域。 5、设f(x)?ln2?x?x?4、设f(x)?arcsin6、求函数f(x)?arccos2x?1?x?2x2的定义域。 1?x7、设f(x)的定义域为?a．b?，F(x)?f(x?m)?f(x?m) ，(m?0)，求F(x)的定义域。 8、设f(x)?sinx?16?x2，求f(x) 的定义域。 9、设f(x)?2?x2，求f(x)的定义域。

1?xx2?5x10、设f(x)?lg，求f(x)的定义域。

611、设f(x)?12、

125?x2?arctan，求f(x)的定义域。

x设y?1?a?f(x?1)满足条件，y|a?0?x及y|x?1?2,求f(x)及y.

13、设f(x)?lg设f(x)?14、

x?5(2)若f?g(x)??lgx，求g(2)的值。 ,(1)确定f(x)的定义域；x?5am?bx?c　　(x?0，abc?0),求数m，使f()?f(x)，对一切x?0成立。

xx15、设f(x)?ax2?bx?c，计算f(x?3)?3f(x?2)?3f(x?1)?f(x)?1的值，其中a，b，c是给定的常数。

16、设f(x)?x1?x，求f()　(x??1)。

1?x1?x217、设f(x?18、设f(1x3?x)?4　(x?0)，求f(x)。 2xx?3x?11)?x(1?x2?1) 　(x?0)，求f(x)。 x19、设f(lnx)?x2?x?2，0?x???，求f(x)及其定义域。 1t220、设y?f(t?x)，且当x?2 时，y??2t?5，求f(x)。

x221、设f(x?1)?x2　 ,　求f(2x?1)。 22、设f(1x2)?x(),求f(x)。 xx?123、设f(x)?2x?2,求f(2),f(?2),f(5)。 224、设　z?x?y?f(x?y) , 且当 y?0 时 , z?x2 , 求f(x)及z。 1x2)?4　 (x?0) , 求f(x)。 25、设　f(x?xx?11x2?2x26、设　，求f(x)。 2f(x)?xf()?xx?127、

2设　f(sinxx)?1?cosx,　　求f(cos). 2228、

设　f(x?1)?x?2x,求f(x). 29、 设　f(x)?1?x1　求f()及f?f(x)?. 1?xx30、设　f(x)?31、

?1?x1,求f(2)，f(a),　f()，　f??。 1?xaf(x)??设　f(x?2)?x2?2x?3　　求f(x)及f(x?h). 32、

??(t)?　???(t)? 设　?(t)?t3?1　求?(t2) 　29?x22x?1?srcsin，求f(x)的定义域。 33、设　f(x)?ln(x?2)434、

设　f(x)?lgx?12x?1，求f?x?的定义域。

35、设f(x)?lg(1?2cosx)，求f(x)的定义域。 36、

设f(x)?2?x?37、设　f(x)?38、

1，求f(x)的定义域.

lg(1?x)6?5x?x2?lg(x2?5x?6)，求f(x)的定义域。

x?3?ln(4?x),　求f(x)的定义域. 2x)，求f(x)的定义域. 10设　f(x)?arcsin39、

设　f(x)?arcsin(lg40、建一蓄水池，池长50 m，断面尺寸如图所示，为了随时能知道池中水的吨数（1立方米水为1吨），可在水池的端壁上标出尺寸，观察水的高度x，就可以换算出储水的吨数T，试列出T与x的函数关系式。

41、等腰梯形ABCD（如图），其两底分别为AD = a和BC = b，（a > b），高为h。作直线MN // BH，MN与顶点A的距离AM = x (左边的面积S表示为x的函数。

a?ba?b?x?)，将梯形内位于直线MN22

42、设M为密度不均匀的细杆OB上的一点，若OM的质量与OM的长度的平方成正比，又已知OM = 4单位时，其质量为8单位，试求OM的质量与长度间的关系。

43、在底AC = b，高BD = h的三角形ABC中，内接矩形KLMN（如图），其高为x，试将矩形的周长P和面积S表示为x的函数。

44、等腰直角三角形的腰长为l（如图），试将其内接矩形的面积表示成矩形的底边长x的函数。

45、设有一块边长为a的正方形铁皮，现将它的四角剪去边长相等的小正方形后，制作一个无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数。

46、旅客乘火车可免费携带不超过20千克的物品，超过20千克，而不超过50千克的部分，每千克交费0.20元，超过50千克部分每千克交费0.30元，求运费与携带物品重量的函数关系。

47、由直线y?x，y?2?x及x轴所围成的等腰三角形OAB。在底边上任取一点x?[0 , 2]，过x作垂直x轴的直线，试将图上阴影部分的面积表示成x的函数。

48、有一条由西向东的河流，经相距150千米的A、B两城，从A城运货到B城正北20千米的C城，先走水道，运到M处后，再走陆道，已知水运运费是每吨每千米3元，陆运运费是每吨每千米5元，求沿路线AMC从A城运货到C城每吨所需运费与MB之间的距离的函数关系。

49、生产队要用篱笆围成一个形状是直角梯形的苗圃（如图），它的相邻两面借用夹角为 135的两面墙（图中AD和DC），另外两面用篱笆围住，篱笆的总长是30米，将苗圃的面积表示成AB的边长x的函数。

?

50、在半径为20厘米的圆内作一个内接矩形，试将矩形的面积表示成一边长的函数。 51、在半径为R的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并指出函数的定义域。

52、设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V表示为高h的函数，并指出其定义域。

53、图中圆锥体高OH = h，底面半径HA = R，在OH上任取一点P（OP = x），过P作平面?垂直于OH，试把以平面?为底面的圆锥体的体积V表示为x的函数。

54、已知f(x)是二次多项式，且f(x?1)?f(x)?8x?3，f(0)?0，求f(x)。 55、求函数y?2?x?x2的定义域及值域。

56、求函数y?lg(1?2cosx)的定义域及值域。

2x的定义域及值域。

1?x2x58、求函数y?arcsin(lg)的定义域及值域。

1057、确定函数y?arccos59、

设f(x)为奇函数，且满足条件f(1)?a和f(x?2)?f(x)?f(2)。(1)试求f(2)及f(n)　(n为正整数)；(2)如果f(x)是以2为周期的周期函数，试确定a的值。60、求f(x)?sin3x?cosx的最小正周期。 61、

设f(x)是以T?2为周期的周期函数，且在?0，2?上f(x)?x2?2x，求f(x)在??2，4?上的表达式。

62、

求f(x)?sinx?63、

11sin2x?sin3x的最小正周期。 23设函数f(x)对任意实数x、y满足关系式：　　f(x?y)?f(x)?f(y)(1)求f(0)；(2)判定函数f(x)的奇偶性。64、

?1?x?1?x?2，设f(x)??，?(x)?f(a?x)?bx?1，1?x?3? 试求a，b的值，使?(x)(x?0除外)为奇函数。65、

ex?ex设f(x)?x，求f(x)的反函数?(x)，并指出其定义域. ?xe?e66、

求函数f(x)?loga(x?1?x2)的反函数?(x)(式中a?0，a?1)。

67、

求函数f(x)?1?1?x (x?1)的反函数?(x)，并指出?(x)的定义域。1?1?x68、求函数y?xx?4x的反函数。

69、

ex求函数y?的反函数，并指出其定义域。

1?ex70、

求函数y?ln71、

a?x(a?0)的反函数的形式。 a?x求函数y?1x(e?e?x)的反函数，并指出其定义域。 272、求函数y?arctg73、

1?x的反函数。 1?x求函数y?lgarccosx3(?1?x?1)的反函数，并指出其定义域。

74、

求函数y?x2?1(x??1)的反函数，并指出反函数的定义域。

75、

设f(x)?arcsinx，?(x)?lgx，求f??(x)?及其定义域。

76、

设f(x)?lnx，?(x)?1?x2，求f??(x)?及f??(0)?。

77、

已知f(x)?ex，f??(x)??1?x，且?(x)?0，求?(x)，并指出其定义域。

278、

1x2?1设f(x)?，?(x)?2，求f??(x)?及其定义域。

x?1x?179、设f(x)?80、

?1?x(x?0，x?1)，求f??及ff?f?x??。 x?1f(x)????设f(x)?x?1，?(x)?81、

1，求f??(x)?及??f(x)?。 2x?1设f(x)?sinx，?(x)?2x，求f??(x)?、??f(x)?及f?f(x)?。

82、设f(x)?x1，?(x)?，求f??(x)?。 2x1?x83、设f(x)?1?lnx，?(x)?x?1，求f??(x)?。

84、

e2x?1求函数，y?2x的反函数，并指出其定义域。

e?185、

求函数y?Sh86、

x (???x???)的反函数，并指出其定义域。3x (???x???)的反函数，并指出其定义域。3x (??，??)的反函数，并指出其定义域。3求函数y?ch87、

求函数y?ln88、

求函数y?lnx?1的反函数，并作出这两个函数的图形。

89、

2??x?x?1，x?1；设f(x)??求f(1?a)?f(1?a)，其中a?0． 2??2x?x，x?190、

?1?x，x?0；设f(x)??x求f(?2)、f(0)及f(2)的值。

?2，x?0.91、

?0，　　?1?x?0;?设f(x)??x?1，　0?x?1；求f(x)的定义域及值域。

?2?x，　1?x?2．?92、

?1?x?0；?0，　　(1)求F(x)的表达式和定义域；?设f(x)??x，　　0?x?1；F(x)?f(1?2x)，

(2)画出F(x)的图形。?2?x，　1?x?2．?93、

???(x)，当x?0时，(1)求f(2?cosx)；? 设f(x)??0，　当x?0时，(2)求?(x)，使f(x)在(??，??)是奇函数。?1?x?，当x?0时．x?94、

?1?x?0，???(x)， 设f(x)??求?(x)，使f(x)在??1，1?上是偶函数。2?0?x?1．?x?x，95、

?x2，x?1；??设f(x)??，求f(cos)及f(sec)．

44?log2x，x?1．96、

?2x?1，x?0；设f(x)??2求f(x?1)．

?x?4，x?0．97、

??1，x??1；?设f(x)??x，　x?1；求f(x2?3)?f(sinx)?5f(4x?x2?6)．

??1，　x?1．98、

2??1?x，x?0；(1)f(x)的定义域；设f(x)??求： 2?(a为常数)。??x，x?0．(2)f(2)及f(a)．99、

?x，???x?1；?设f(x)??x2，1?x?4；求f(x)的反函数?(x)．

?2x，4?x???．?100、

?ex，　　???x?0；?设f(x)??x?1，0?x?4；求f(x)的反函数?(x)．

?x?1，　４?x???．?101、

?0，x?0；?x?1，x?1； 设f(x)???(x)?? 求f(x)??(x)．x，x?0．x，x?1．??102、

?2?x，x?0；设f(x)??求f?f(x)?．

?2，　x?0．103、

设f(x)?104、

?x，x?0；1(x?x)，?(x)??2求f??(x)?． 2?x，x?0．??ex，x?0；?0，x?0； 求f(x)的反函数g(x)及f??(x)?．设f(x)???(x)??2?x，　x?0．??x，x?0．105、

??1，x?0；设f(x)???(x)?2x?1，求f??(x)?及??f(x)?．

1，x?0．?106、

?x，?x2，　0?x?2；0?x?4；设f(x)???(x)?? 求f??(x)?及??f(x)? ．2?x?4．4?x?6．?x?2，?x?2，107、在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当

天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t份，而销售量为x份，试将报摊的利润y表示为x的函数。

108、定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若g(x)表示将x依4舍5入法则保留2位小数，试用I(x)表示g(x)。

109、定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若f(x)表示将x之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用I(x)表示f(x)。

110、

设f(x)对一切实数x1，x2成立f(x1?x2)?f(x1)f(x2)，且f(0)?0，f(1)?a，求f(0)及f(n)．(n为正整数)

111、

31??计算极限limx?sinln(1?)?sinln(1?)?

x??xx??112、

计算极限lim(1?x??21?2)x xx113、

?计算极限 lim?x?x?xx????114、

??x?x?x

?ecosx?e计算极限lim

x?0x2115、

计算极限limx?04?tanx?4?sinx tanxsinxe?e116、

计算极限limx?01?xsinx?cos2x

xtanx117、

计算极限lim(x?x?x?x)

x???118、

x3?ax2?x?b设lim?3，试确定a，b之值。 2x?1x?1119、

设lim(3x?ax2?bx?1)?2，试确定a，b之值。

x???120、

设limx?0x2a2?x2(b?cosx)?1　(a?0)，试确定a，b之值。 2121、

设?(x)?x?2?x?2x?1，求A与K使lim122、

?(x)xkx????A(A?0)

设当x?0，?(x)?31?x3?31?x3~Axk，试确定A及k．123、

计算极限limn(arctann??n?1n?arctan) nn?1n124、

?1??计算数列极限lim?tan(?)?

n??4n??125、

设x1?4，xn?1?2xn?3　(n?1，2，??)，求limxn．

n???126、

设x1?1，xn?1?2xn?3(n?1，2，?)，求limxn

n??127、

设lim(3x2?4x?7?ax?b)?0 , 试确定a，b之值。

x???128、

3x2?2求a，b使lim(?ax?b)?1

x??x?1129、

3设当x?0，?(x)?(1?ax)

130、

22?1和?(x)?1?cosx满足?(x)~?(x)．试确定a的值。求lim(n??12n????) 222n?n?1n?n?2n?n?n131、

?13?xx2求lim() x??6?x132、

x2?2x?3研究极限lim．

x??x?1133、

研究极限limarccotx?01 的存在性。x1的存在性。 x?1x)．

?x134、

讨论极限limarctanx?1135、

计算极限 lim(cosx??0136、

(x?1)(3x?1)?(nx?1) 计算极限 limx?1(x?1)n?1137、

xn?xn?1???x2?x?n计算极限lim

x?1x?1138、

计算极限limx?01?1?x2ex2?cosx

139、

ex?2e?x求limx． x??3e?4e?x140、

1设?(x)?(1?ax2)3?1，?(x)?e?ecosx，且当x?0时?(x)~?(x)，试求a值。

141、

计算极限limx?2ln(1?3x?2)arcsin(3x?4x?4)32．

142、

11 设f(x)?xsin，试研究极限limx?0xf(x)143、

xxx?计算极限lim?lim(coscos?cos) 2n?x?0?n??222??144、

ex?excosx 计算极限limx?0x?ln(1?x2)145、

x3?3x2?3x?2计算极限lim 2x?2x?x?2146、

x3?(a2?1)x?a计算极限lim　(a?0)

x?ax2?a2147、

求lim(sin2x??212?cos)x xxn148、

设x?1计算极限lim(1?x)(1?x2)(1?x4)?(1?x2)

n??149、

(esinx?1)4?1?x2 计算极限limx?0(1?cosx)ln(1?x2)150、

111计算极限lim(?)

x?0xsinxtanx151、

计算极限在lim152、

ln(a?x)?ln(a?x)?2lna　(a?0)

x?0x21?cosx2计算极限lim．

x?01?cosx153、

计算极限lim154、

x?a?x?ax?a22x?a?0　(a?0)

1?x?1?x2 计算极限limx?01?x?1155、

求极限lim156、

tanmx　(m，n为非零常数)

x?0sinnxln(1?x?x2)?ln(1?x?x2)计算极限lim

x?0secx?cosx157、

1ex?e2x???enx计算极限limln

x?0xn158、

计算极限：limsin(n2?a2??)．

n??159、

?3n2?2?求数列的极限lim?2?n??3n?4??160、

n(n?1)

求数列的极限lim(n??2n?1n)． 2n?1n161、

a?nbn求数列的极限lim()，其中a?0，b?0．

n??2162、

1)(2?)?(2?1?n 求数列的极限limn?e?en?2e2?．n????2163、

求数列的极限limn(a?1)，其中a?0．

n??1n164、

n2?1n求数列的极限lim()．

n??n?1165、

11求数列的极限limn2?ln(a?)?ln(a?)?2lna? ; 其中a?0是常数

??n??nn??166、

anbn求数列的极限limn(en???e)，其中a，b为正整数．

167、

1求数列的极限lim(n?e)n.

n??1n168、

求数列的极限limn?ln(n?1)?lnn?．

n??169、

x2?1求极限lim．

x?－1lnx170、

求极限lim?ln(1?x)?ln(x?1)?x．

x???171、

求极限lim172、

lncosx． 2x?0x求极限lim?(x?2)ln(x?2)?2(x?1)ln(x?1)?xlnx?x

x???173、

求极限lim(1?x?x)．

x?021x174、

求极限lim(cosx)．

x??01x175、

???求极限lim?tan(?x)?x?04??176、

cotx．

求极限lim(sinx?cosx)．

x?01x177、

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