近代概率论基础第四章作业解答(参考)

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第四章作业题解答参考

4．解：（1）按照示性函数的定义，示性函数为一随机变量且对任意的事件AÎF，有

ìï1, 1A(w)=ïí

ïïî0,

wÎAwÏA

。

因此

ìï1,镲1A(w)=ï眄镲ïî0,ìï1,

1AB(w)=ïí

ï0,ïî

w蜗AwÏAwÎAB

=ìï1,ïî0,

w

A

ìï1,

，1AB(w)=ïí

wÎABwÏAB

wÎA

ïïî0,

，

ìï1,

，1AÈB(w)=镲眄

镲wÏABïî0,

w稳Aw先A

B

ìï1,

=ïBï0,

î

w ABwÎAB

，

故对任意的w蜽，有

1A(w)=1-1A(w);1AB(w)=1A(w)?1B(w);1AÈB(w)

1-1AB(w).

（2）由（1）可知

1AÈB(w)=1-1AB(w)=1-1A(w) 1B(w)

=1-[1-1A(w)]?[11B(w)]=1A(w)+1B(w)-1A(w) 1B(w)

=1A(w)+1B(w)-1AB(w)

注意到E1A(w)=1?P(A)

0?P(A)P(A)和E(X+Y)=EX+EY，对上

式取数学期望可知：P(A?B)P(A)+P(B)-P(AB)。

（3）用A记“五个队中至少有一个对全胜”，用B记“五个队中至少有一个对全败”，

则要求的概率为：

1-P(A?B)

1-(P(A)+P(B)-P(AB))

114114114113

=1-(C5()+C5()-C5() C4())。

2222

1,若第i次试验A出现

5．解：设 1 2 n，其中 i ，则

0，若第i次试验A出现

n

n

i

E

E

i 1

pi，

i 1

由试验独立得诸 i相互独立，由此得

n

n

i

D

D

i 1

pi(1 pi)。

i 1

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kn (k 1)n

8．解：P{ k} P{ k} P{ k 1} ,k 1,2, ,N， n

N

N

E

k

k 1

k (k 1)

N

n

nn

。

9、证：E

kP{

k 0

k} k[P{ k} P{ k 1}]

k 0

kP{

k 0

k} kP{

k 0

k 1}

k 1

k P{

k}

k 1

(k 1) P{ k}

P{

k 1

k}。

0

0

0

0

10、证：E

xdF(x)

0

xdF(x)

xdF(x)

xdF(x)

xd(1 F(x))

xF(x)

0

F(x)dx x 1 F(x)

1 F(x) dx

由期望存在得

|x|dF(x) ，故

0 AF( A)

A

|x|dF(x) 0(当A )， (当B )

0

0 B(1 F(B))

B

|x|dF(x) 0

以此代入E 的计算式即得 E

1 F(x) dx

F(x)dx。

特别地，如果 只取非负值，则当x 0时，有F(x) 0，故E 另证：因为对任意的 ，有

1 F(x) dx。

( ) 1{ ( ) 0} 故

E ( ) E

0

( )

1 dx 1{ ( ) 0}

( )

1 dx

0

1{ ( ) x}dx

1{ ( ) x}dx

{ ( )x

1

dx E }dx }

{ (x)

1

dx }dx}

x} dx

0 0 0

E1{

( )x

E1

{ (x)

P{ ( ) x}d xF(x)d x

P { ( )

[ 1F(x)] dx

注：第2个等号用到期望和积分交换次序，这是根据Fubini定理。

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2

(x a)2(y a)

13．证： 1 2的联合密度为p(x,y) exp ， 22

2 2

∴ Emax( 1, 2)

max(

x,y)p(x,y)dxdy

dx

x

xp(x,y)dy

dx

x

yp(x,y)dy

（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）

dx

x

(x a)p(x,y)dy

dx

x

(y a)p(x,y)dy a

（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）

dy

y

(x a)p(x,y)dx 12

dy

y

(y a)p(x,y)dx a

(x a)2

22

a 2

1

2

(y a)2

2

2

e

dy

y

(x a)edx (令

(y a)

t)

a

e

t

2

dt a

a

.

另证：设 max{ 1 a

2

a

1 a 2 a

,

，则 max{ 1, 2} a。

而和

的分布函数均为： (x)

x

e

x

2

2

dx，又因为 1, 2相互独立，

故 的分布函数应为： 2(x)，于是

E E a

y

2

xd (x) a

x

2

2

2 2

x

x

e

y

2

2

dy e

x

2

2

dx a

e

2

y

x e

2

dxdy a

e

y

2

dy a

a a

14．解：设x的分布函数为F(x)，根据数学期望的定义，注意到f(x)的单调非降性，

可知：对任意的a>0，有

Ef(|x|)=

ò

+

f(|x|)dF(x)³

-

ò

|x|³a

f(|x|)dF(x) 匙f(a)

ò

|x|³a

1dF(x)

=f(a)P{|x| a}.

最后由f(a)>0可知结论成立。

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15．解：令hi=

xi

x1+x2+L+xn

,i=1,2,L,n，由题意知：Eh1=Eh2=L=Ehn，而

1n

h1+h2+L+hn=1，故由数学期望的线性性质可知：Ehi=

N

，于是结论成立。

16．解：用x记袋中的白球数，则Ex=

由全概公式知所求的的概率为

N

å

k=0

k?P{x

k}=n。

p=

邋P{x=k}?

k=1

kN

1N

N

k?P{x

k=1

k}=

1N

Ex=

nN

.

22．解：因

n

n

n

n

D邋aixi=

i=1

i=1

aiDxi=

2

i=1

aisi，åai=1，

2

2

i=1

可设拉格朗日函数为：

n

n

2i

F(a1,a2,L,an,l)=邋a

i=1

si+l(1-i=1

2

ai)

利用拉格朗日乘数法可解得： l=

2

n

邋s

i=1

1

2i

,ai=

l2si

2

=si

2

1

n

1si

2

i=1

这即为所求。

24．解：不妨设x的密度函数为p(x)，则f(-x)=f(x)于是

Exx=E(1{x?0}x

+

2

。注意到xx=1{x?0}x-1{x

2

0}

x，

2

)-E(1{x

0}

x

2

)=蝌-?

2

+?

1{x?0}xf(x)dx-

2

1{x

0}

xf(x)dx

2

=

蝌

xf(x)dx--

2

xf(x)dx

(或者： Exx=

而

ò

+

-

|x|xf(x)dx=L)

蝌

-?

xf(x)dx=

2

tf(-t)d(-t)=

2

+

xf(x)dx

2

因此 Exx=0。又Ex=

ò

+

xfx(dx)=0，于是Exx=Ex Ex，故x与x不相关。

-

但是，对任意的x>0，有

P(x<x,x<x)=P(x<x)?P(x

x)?P(x

x)

即x与x不相互独立。

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27．解：不妨设x,h的分布律及联合分布律分别为： P{x=a}=1p,P{x=

b}=1-1

p;Ph{=c}=

2

p,hP{=d=}

， p-12

P(x=a,h=c)=3p,Px(= P(x=b,h=c)=2p-那么

Ex=a1p+

(b1-1

3

ah,=

d)=1p-；p3

。 p d)=1-1p-2p+3

p,Px(=bh,=

p),hE=

c+p2

-(d1

2

； p)

Exh=acp3+ad(p1-p3)+bc(p2-p3)+bd(1-p1-p2+p3).

如果x,h不相关，则有Exh=Ex Eh，即

[ap1+b(1-p1)]?[cp2

d(1-p2)]

=acp3+ad(p1-p3)+bc(p2-p3)+bd(1-p1-p2+p3)。

由上式可解得：p3=p1 p2,于是x与h相互独立。

43．证明：充分性的证明见课件，下面证明必要性。

用x表示“实验次数为u的伯努利实验中的成功的次数”；用h表示“实验次数为u的伯努利实验中的失败的次数”，则

x+h=u。 （1）

ìì1,第i次实验成功；ïï0,第i次实验成功；ï再令 xi=í， hi=ï， 则有 í

ï0，第i次实验失败。ï1，第i次实验失败。ïïîî

x=x1+x2+L+xu，h=h1+h2+L+hu，

且xi,hi的母函数分别为：ps+q和p+qs，其中p+q=1。

我们设u的母函数为g(s)，则由(4.4.13)式可知，x和h的母函数分别为：

g(ps+q)和g(p+qs)。

这样，由（1）可知，对任意的s<1，有：g(ps+q)?g(p

|x|<1,|y|<1，有

qs)=g(s)，于是对任意的

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g(x+

y)=g(x)

g( y)

这样，类似于引理2.4.1的证明可知：g(s)=as，其中a>1为一常数。最后如果我们令

l=

ss-1

lna>0，则有g(s)=e

l(s-1)

，于是实验次数u服从参数为l的泊松分布。

44．证明：（1）见课件《母函数》那一节。（2）不做要求。

47．证明：“充分性”：设分布函数F(x)的特征函数为f(t)，且f(t)为实的偶函数。根据逆转公式，设x1,x2为F(x)的连续点，则有

12p

T

F(x2)-F(x1)=lim

Tò

1

e

-itx1

-eit

-itx2

f(t)dt

-T

=-lim

T

2p12p

ò

T

e

itx1

-eit

itx2

f(-t)dt

-T

=-lim

Tò

T

e

-it(-x1)

-eit

-it(-x2)

-T

f(t)dt=-[F(-x2)-F(-x1)].

我们让x1沿着F(x)的连续点趋向于+

F(x)=1-F(-x)。

，则有，对F(x)的一切连续点x，有

如果x不是F(x)的连续点，则存在F(x)的连续点列xn，使得xn­x，这样对每一个nÎN，

-F-(xn，) F(xn)=1

最后在上式中令n? ，考虑到分布函数F(x)的左连续性即得F(x)=1-F(-x+0)。

“必要性”：设随机变量x的分布函数F(x)满足F(x)=1-F(-x+0)，且x的特征函数为f(t)。由特征函数的定义

f(t)=

ò

+

-

edF(x)

itx

h=-x的分布函数为

P{h<x}=P{-x<x}=P{x>-x}=1-P{x?

x}=1-F(-x+0)=F(x)，

于是h=-x的特征函数为

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f1(t)=

ò

+

edF(x)=f(t)。

itx

-

而由P226性质6可知： f1(t)=f(-t)，于是对任意的tÎR，有f(-t)=f(t)。 又因为

+?

f(t)=

蝌

edF(x)=

itx

e

-itx

dF(x)=f(-t)=f(t)，

-?

因此f(t)为实的偶函数。

50．解：随机变量x的密度函数为

1

1

2

p(x)=

p1+x

，

于是x和h=x的特征函数均为

+?

fx(t)=fh(t)=

蝌

-?

edF(x)=

itx

1p

e

itx

11+x

2

=

1p

ò

+

costx1+x

2

dx=e-|t|

-

而x+h=2x的密度函数为： q(y)=

y1p?22

12p?

1y

2

2p

(+4y

2

，

)

1+)

2

因此x+h=2x的特征函数为

2p

+?

fx+h(t)=

蝌

-?

e

ity

14+y

=2

2p

costy4+y

2

=e

-2|t|

故 fx+h(t)=fx(t )fh(。t)

但是因为h=x，所以x与h线性相关，故显然不独立。 注：如何求解上面的两个含有参数的广义积分请查阅数学分析书。

2

52．解：因为xi(i=1,L,n)相互独立且服从N(0,1)，因此xi(i=1,L,n)也相互独立，

且xi的密度函数为：j(x)，于是xi的密度函数为：

2

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g(y)=j(-?

j1y

-

12

e

-

y2

,y>0

即服从自由度为1的c2分布。

而自由度为n的c2分布的特征函数为：

+

f(t)=

ò

e

itx

12

n/2

G()21

+

-n2-

n

x

-

n2

e

-

x2

dx=

2

n/2

1G()2n

ò

+

x

-

n2

e

-

(1-2it)x

2

dx

=(1-2it)

-

n2

x

2

n/2

nG()2

12

ò

x

edx=(1-2it)

2

-

n

.2

因此xi的特征函数为：(1-2it)特征函数为：

(1-2it)

n

2

-

n

，又因为xi(i=1,L,n)相互独立，因此h=

2

å

i=1

xi

2

的

-

12

(1-2it)

-

12

鬃L(1-2it)

-

12

=(1-2it)

-

n2

，

即h=

å

i=1

xi

2

服从自由度为n的c2分布。

设x1服从自由度为n1的c2分布，x2服从自由度为n2的c2分布，且x1与x2相互独立。因为

fx1(t)=(1-2it)

-n12

，fx(t)=(1-2it)

2

-

n22

，

fx+x(t)=(1-2it)

1

2

-

n1+n2

2

因此c分布关于自由度这个参数具有再生性。

2

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