浙江省杭州外国语学校届高三月月考数学理试题

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浙江省杭州外国语学校2014届高三3月月考

数学（理科）试卷

注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2．整场考试不准使用计算器

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设全集U?R,集合M??x|y?lg(x2?1)?,N??x|0?x?2?,则N (eUM)?（ ）

A．?x|?2?x?1? 2. 函数

y1B．?x|0?x?1? C．?x|?1?x?1? D．?x|x?1?

f(x)?2|log2x|?|x?y11x1|x的图像为 ( )

y11xy11xOOOO1xA B C D

开始输入a3. 设a,b是两条直线，?,?是两个平面，则a?b的一个充分条件是（ ）

A．a??,b//?,??? B．a??,b??,?//? C．a??,b??,?//? D．a??,b//?,???

4. 阅读如图所示的程序框图,若输入a?A．9 B．10 C．11 D．12 5. 已知命题p:?x?(??,0),3?4； 命题q:?x?(0,xx k?1,S?0

S?S?1(2k?1)(2k?1)k?k?19,则输出的k值是（） 19S?a?否是输出k?2),tanx?x 则下列命题中真命题是（ ）

结束 A．p?q B．p?(?q) C．p?(?q) D．(?p)?q

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?x?y?4,?2226．设不等式组?y?x?0表示的平面区域为D．若圆C:(x?1)?(y?1)?r(r?0)不

?x?1?0?经过区域D上的点,则r的取值范围是（ ）

A．[22,25] B．(0,22)C．(0,22)(32,??)

(25,??) D．(0,32)(25,??)

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

（ ） A．1 B．

113C．D． 3 2 28. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量

?为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则?的数学期

望E?为（ ） A．19717 B． C．2 D．

939?2x3?1?,x??,1??x?1?x??2??2a?2?a?0?，若存9. 已知函数f(x)??，函数g(x)?asin6??1x?1,x??0,1???6?2???3源:Z§xx§k.Com][来

在x1,x2??0,1?，使得f(x1)?g?x2?成立，则实数a的取值范围是（ ） A．[,1333] B．[,] 2442C．[,2414] D．[,] 3323?2x?1,(x?0)10.已知函数f(x)=?,把函数g(x)?f(x)?x的零点按从小到大的顺

f(x?1)?1,(x?0)?序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） A．an?n(n?1)B．an?n?1 C．an?n(n?1)

2

D．an?2?2

n二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．

11．设a?0，在二项式(a?x)10的展开式中，含x的项的系数与含x4的项的系数相等，则a的值为 ．

12.在平面直角坐标平面上，OA?(1,4),OB?(?3,1)，且OA与OB在直线l上的射影长度 相等，直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率为 ．

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13. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为___

14.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位， 则这样的六位数共有 ___ 个．

15.平面向量a，b，e满足|e|?1，a?e?1，b?e?2，|a?b|?2，则a?b的最小值为 ．

xyx02y02??1，过点P(x0,y0)作一直线与曲线??1相交且仅有一个公共 16.已知3939点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角222π2π或；类比此思想，已知 33x2?1的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的 x0y0?x0?1，过点作一直线与函数y?x倾斜角为__________

17.已知集合M???x,y?y?f?x??，若对于任意?x,y??M，存在?x,y??M，使得

1122x1x2?y1y2?0成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：

①M???x,y?y???1??； ②M???x,y?y?sinx?1?； x?x2③M???x,y?y?logx?； ④M???x,y?y?e?2.

?其中是“垂直对点集”的序号是

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18. （本题满分14分）

已知函数f(x)?sin?x (??0)在区间[0,??2?]上单调递增,在区间[,]上单调递减; 333如图,四边形OACB中,a,b,c为△ABC的内角A，B，C的对边,且满足

4??cosB?cosCsinB?sinC. ?3sinAcosA(1)证明:b?c?2a

BC(2)若b?c,?AOB??,(0????),OA?2OB?2, 求四边形OACB面积的最大值.

19. （本题满分14分）

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某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% (1)设第n年该生产线的维护费用为an,求an的表达式;

(2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?

20. （本题满分14分）

在如图所示的几何体中,?ABC是边长为2的正三角形,AE?1,AE?平面ABC, 平面BCD?平面ABC, BD?CD,且BD?CD. (1)若AE?2,求证:AC//平面BDE

(2)若二面角A?DE?B为60°,求AE的长.

21. (本题满分15分)

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0),⊙O:x2?y2?b2, 点A,F分别是椭圆C的左顶

ab点和左焦点, 点F不是O上的点，点P是O上的动点. (1)若P(?1,3),PA是O的切线,求椭圆C的方程; (2)是否存在这样的椭圆C,使得不存在,说明理由.

|PA|恒为常数?如果存在,求出这个数及C的离心率e;如果|PF|

22. (本题满分15分) 设f(x)?lnx．

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1?x)最大值; （1）若??(0,1)，求g(x)??lnx?(1??)ln(（2）已知正数?，?满足????1．求证：?f(x)??f(x)?f(?x??x)；

1212（3）已知xin?0，正数?满足??i?1．证明:

ini?1??lnx?ln??xiiii?1i?1ni(其中i?1,2,?n)．

参考答案:

1-10 BCCCD CBADB 11、1 12、2/5 13、

??2 14、120 15、5/4 16、或 17、②④

422??18、【答案】解:(Ⅰ)由题意知:

4?3,解得:??,

?32sinB?sinC2-cosB-cosC ??sinAcosA?sinBcosA?sinCcosA?2sinA-cosBsinA-cosCsinA ?sinBcosA?cosBsinA?sinCcosA?cosCsinA?2sinA ?sin(A?B)?sin(A?C)?2sinA

?sinC?sinB?2sinA??b?c?2a

(Ⅱ)因为b?c?2a，b?c,所以a?b?c,所以△ABC为等边三角形

13SOACB?S?OAB?S?ABC?OA?OBsin??AB2

24?sin??3(OA2?OB2-2OA?OBcos?) 453?53, ?2sin(?-)?434?sin?-3cos????2???(0，?),??-?(-，),

333当且仅当?-?3??2即??，535?时取最大值,SOACB的最大值为2?

46?2n?2,n?7?a??5n?719、（1）n

16(),n?8??4

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（2）第10年年初

20、【答案】解: (Ⅰ)分别取BC，BA，BE 的中点M，N，P,连接DM，MN，NP，DP,

E

P

D A C

M N B

[来源:学|科|网]

则MN∥AC,NP∥AE,且NP=1AE?1 2因为BD?CD,BC?2,M为BC的中点, 所以DM?BC,DM?1

又因为平面BCD⊥平面ABC, 所以DM?平面ABC 又AE?平面ABC, 所以DM∥AE

所以DM∥NP,且DM?NP,因此四边形DMNP为平行四边形, 所以MN∥DP,所以AC∥DP,又AC?平面BDE,DP?平面BDE, 所以AC∥平面BDE

[来源:学科网](或者建立空间直角坐标系,求出平面BDE的法向量n1,计算n1?AC?0即证)

E

D N C

M A

B

(Ⅱ)解法一:

过M作MN?ED的延长线于N,连接BN. 因为BC?AM,BC?DM,

所以BC?平面DMAE,ED?平面DMAE 则有BC?ED.

所以ED?平面BMN,BN?平面BMN, 所以ED?BN.

所以?MNB为二面角A?ED?B的平面角,

[来源:Zxxk.Com]

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即?MNB=60?

在Rt?BMN中,BM=1,则MN=12 ,BN=. 33在Rt?MND中,DN=6. 3设AE?h?1,则DE?h2?3,所以NE?h2?3?6,又BE?32?h?1?2?22 2?26?22?2?222在Rt?BNE中,BE?BN?NE,即?h?1??2=? h?3???????3?3???解得h?解法二:

z

E

6,所以AE?6?1

D y A C M B x

由(Ⅰ)知DM?平面ABC,AM?MB, 建立如图所示的空间直角坐标系M?xyz. 设AE?h,则M?0,0,0?,B?1,0,0?,

D?0,0,1?A0,3,0,E0,3,h,

3,h.

??BD???1,0,1?,BE???1,???设平面BDE的法向量n1?(x,y,z)

????x?z?0,?BD?n1?0,则? 所以?

?x?3y?zh?0.????BE?n1?0.令x?1, 所以n1?(1,1?h,1) [来源:Z_xx_k.Com] 3

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又平面ADE的法向量n2?(1,0,0) 所以cos?n1,n2??n1?n2?n1?n2112?12??1?h?32?1 2[来源:Z|xx|k.Com]

解得h?6?1, 即AE?6?1

5?1|PA|1?5x2y2??1e?,?21、（1） （2）1642|PF|222解：（）1g?(x)?

?1??x?（0?x?1）

x1?xx(1?x)当x?(?,1)时，g?(x)?0.即g(x)在(0,?)上递增，在(?,1)?当x?(0,?)时，g?(x)?0，

递减.故当x??时，有gmax(x)?g(?)??ln??(1??)ln(1??).(3分)

则 (2)构造函数F（x）??f(x1)??f(x)?f(?x1??x)??lnx1??lnx?ln(?x1??x)，

??(x1?x)??F?（x）???.易证F(x)在在(0,x1)上递增，在(x1,??)上递减.

x?x1??xx(?x1??x)?当x?x1时，有Fmax(x)?F(x1)??f(x1)??f(x1)?f(?x1??x1)?0.

?(1??)??F(x2)?F(x1),即?f(x1)??f(x2)?f(?x1??x2)?0， 即证?f(x1)??f(x2)?f(?x1??x2) （8分） （3）用数学归纳法证明如下： ① 当n?1,2时，命题显然成立； ② 假设当n?k(k?2,k?N)时，命题成立，即当?1??2????k?1??k?1时， ?1lnx1??2lnx2????k?1lnxk?1??klnxk?ln(?1x1??2x2????k?1xk?1??kxk).则当n?k?1，即当?1??2????k?1??k??k?1?1时，

?k?1?k?1?2??????1，又假设知

1??k?11??k?11??k?11??k?1?k?1?k?1?2lnx1?lnx2???lnxk?1?lnxk?1??k?11??k?11??k?11??k?1?k?1?k?1?2ln(x1?x2???xk?1?xk)，即 1??k?11??k?11??k?11??k?1?x??2x2????k?1xk?1??kxk?1lnx1??2lnx2????k?1lnxk?1??klnxk?(1??k?1)ln(11)1??k?1?1lnx1??2lnx2????k?1lnxk?1??klnxk??k?1lnxk?1

?1x1??2x2????k?1xk?1??kxk)??k?1lnxk?1

1??k?1?x??2x2????k?1xk?1??kxk?ln[(1??k?1)11??k?1xk?1]

1??k?1?(1??k?1)ln(

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=?ln(?1x1??2x2????k?1xk?1??kxk??k?1xk?1). 这说明当n?k?1时，命题也成立.

综上①②知，当xi?0，正数?i满足??i?1时

i?1n??lnx?ln??xiiii?1i?1nni(其中i?1,2,?n) （14分）

（以上答案仅供参考，其他解法请作情给分.）

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