小学五年级奥数讲义(教师版)30讲全
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小学五年级奥数讲义(教师版)30讲全
小学奥数基础教程(五年级)
第1讲数字迷(一)第16讲巧算24
第2讲数字谜(二)第17讲位置原则
第3讲定义新运算(一)第18讲最大最小
第4讲定义新运算(二)第19讲图形的分割及拼接
第5讲数的整除性(一)第20讲多边形的面积
第6讲数的整除性(二)第21讲用等量代换求面积
第7讲奇偶性(一)第22讲用割补法求面积
第8讲奇偶性(二)第23讲列方程解应用题
第9讲奇偶性(三)第24讲行程问题(一)
第10讲质数及合数第25讲行程问题(二)
第11讲分解质因数第26讲行程问题(三)
第12讲最大公约数及最小公倍数(一)第27讲逻辑问题(一)第13讲最大公约数及最小公倍数(二)第28讲逻辑问题(二)第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一)
第15讲孙子问题及逐步约束法第30讲抽屉原理(二)
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第1讲数字谜(一)
数字谜的内容在三年级和四年级都讲过,同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多,思考性强,所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外,还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+,-,×,÷四个运算符号,分别填入下面等式的○内,使等式成立(每个运算符号只准使用一次):(5○13○7)○(17○9)=12。
分析及解:因为运算结果是整数,在四则运算中只有除法运算可能出现分数,所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时,因为除数是13,要想得到整数,只有第二个括号内是13的倍数,此时只有下面一种填法,不合题意。(5÷13-7)×(17+9)。当“÷”在第二或第四个○内时,运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时,可得下面的填法:(5+13×7)÷(17-9)=12。
例2 将1~9这九个数字分别填入下式中的□中,使等式成立:□□□×□□=□□×□□=5568。
解:将5568质因数分解为5568=26×3×29。由此容易知道,将 5568分解为两个两位数的乘积有两种:58×96和64×87,分解为一个两位数及一个
三位数的乘积有六种:
12×464, 16×348, 24×232,
29×192, 32×174, 48×116。
显然,符合题意的只有下面一种填法:174×32=58×96=5568。
例3 在443后面添上一个三位数,使得到的六位数能被573整除。
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分析及解:先用443000除以573,通过所得的余数,可以求出应添的三位数。
由443000÷573=773……71推知, 443000+(573-71)=443502一定能被
573整除,所以应添502。
例4 已知六位数33□□44是89的倍数,求这个六位数。
分析及解:因为未知的数码在中间,所以我们采用两边做除法的方法求解。
先从右边做除法。由被除数的个位是4,推知商的个位是6;由左下式知,十位相减后的差是1,所以商的十位是9。这时,虽然89×96=8544,但不能认为六位数中间的两个□内是85,因为还没有考虑前面两位数。
再从左边做除法。如右上式所示,a可能是6或7,所以b只可能是7或8。由左、右两边做除法的商,得到商是3796或3896。由3796×89=337844, 3896×89=346744
知,商是3796,所求六位数是337844。
例5 在左下方的加法竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,请你用适当的数字代替字母,使加法竖式成立。
分析及解:先看竖式的个位。由Y+N+N=Y或Y+ 10,推知N要么是0,要么是5。
如果N=5,那么要向上进位,由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10,等号两边的奇偶性不同,所以N≠5,N=0。
此时,由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10, E不是0就是5,但是N=0,所以E=5。
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- 4 - / 139- 4 - / 139 竖式千位、万位的字母及加数的千位、万位上的字母不同,说明百位、千位加法都要向上进位。因为N=0,所以I ≠0,推知I=1,O=9,说明百位加法向千位进2。
再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1,百位加法向千位进2,且X ≠0或1,
所以R+T+T+1≥22,再由R ,T 都不等于9知,T 只能是7或8。
若T=7,则R=8,X=3,这时只剩下数字2,4,6没有用过,而S 只比F 大1,S ,F 不可能是2,4,6中的数,矛盾。
若T=8,则R 只能取6或7。R=6时,X=3,这时只剩下2,4,7,同上理由,出现矛盾;R=7时,X=4,剩下数字2,3,6,可取F=2,S=3,Y=6。所求竖式见上页右式。
解这类题目,往往要找准突破口,还要整体综合研究,不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题,竖式中从上到下的四个词分别是 40, 10, 10, 60,而 40+10+10正好是60,真是巧极了!
例6 在左下方的减法算式中,每个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数
字。请你填上适当的数字,使竖式成立。
分析及解:按减法竖式分析,看来比较难。同学们都知道,加、减法互为逆运算,
是否可以把减法变成加法来研究呢(见右上式)?不妨试试看。
因为百位加法只能向千位进1,所以E=9,A=1,B=0。
如果个位加法不向上进位,那么由十位加法1+F=10,得F=9,及E=9矛盾,所以个位加法向上进1,由1+F+1=10,得到F=8,这时C=7。余下的数字有2,3,4,5,6,由个位加法知,G 比D 大2,所以G ,D 分别可取4,2或5,3或6,4。所求竖式是
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解这道题启发我们,如果做题时遇到麻烦,不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换,将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外,做题时要考虑解的情况,是否有多个解。
练习1
1.在一个四位数的末尾添零后,把所得的数减去原有的四位数,差是621819,求
原来的四位数。
解:621819÷(100-1)= 6281。
2.在下列竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字。请
你用适当的数字代替字母,使竖式成立:
(1) A B (2) A B A B
+ B C A - A C A
A B C B A A C
(1)由百位加法知,A=B+1;再由十位加法A+ C=B+10,推知C=9,进而得到A=5,B=4(见上右式)。
(2)由千位加法知B=A-1,再由个位减法知C=9。因为十位减法向百位借1,百位减法向千位借1,所以百位减法是(10+B-1)-A=A,
化简为9+B=2A,将B=A-1代入,得A=8, B=7(见右上式)。
3.在下面的算式中填上括号,使得计算结果最大:1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
解:1÷(2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9)=90720。
4.在下面的算式中填上若干个(),使得等式成立:1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8
÷9=2.8。
解:1÷(2÷3)÷4÷(5÷6÷7÷8)÷9=2.8。
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5.将1~9分别填入下式的□中,使等式成立:□□×□□=□□×□□□=3634。
提示:3634=2×23×79。46×79= 23×158= 3634。
6.六位数391□□□是789的倍数,求这个六位数。提示:仿照例3。391344。
7.已知六位数7□□888是83的倍数,求这个六位数。
提示:仿例4,商的后3位是336,商的第一位是8或9。774888。
第2讲 数字谜(二)
这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 在下面的算式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,求abcde.
1abcde ×3=abcde1
分析及解:这道题可以从个位开始,比较等式两边的数,逐个确定各个字母
所代表的数码。现在,我们从另一个角度来解。1abcde 及abcde1
只是1所在的位置不同,设x=abcde 则算式变为
(100000+x )×3=10x+1, 300000+3x=10x+1, 7x=299999, x=42857。
这种代数方法干净利落,比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。
例2 在□内填入适当的数字,使左下方的乘法竖式成立。
□□□ 1 2 4
×8 1 × 8 1
□□□ 1 2 4 □□□ 9 9 2
□□□□□ 1 0 0 4 4
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- 7 - / 139- 7 - / 139 求竖式。
例3 左下方的除法竖式中只有一个8,请在□内填入适当的数字,使除法竖式成立。
例4
解:竖式中除数及8的积是三位数,而及商的百位和个位的积都是四位
数,所以x=112,被除数为989×112=110768。右上式为所求竖式。
代数解法虽然简洁,但只适用于一些特殊情况,大多数情况还要用传统的方法。例4 在□内填入适当数字,使下页左上方的小数除法竖式成立。
分析及解:先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式(见下页右上方竖式)。可以看
出,除数及商的后三位数的乘积是1000=23×53的倍数,即除数和商的后三位数一个是23=8的
倍数,另一个是53=125的奇数倍,因为除数是两位数,所以除数是8的倍数。
又由竖式特点知
a=9,从而除数应是96的两位数的约数,可能的取值有96,48,32,24和16。
因为,c=5,5及除数的乘积仍是两位数,所以除数只能是16,进而推知b=6。因为商的后三位数是125的奇数倍,只能是125,375,625和875之一,经试
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