一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式

(第1课时)

【目标导航】

通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式．在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件．

【预习引领】

解下列一元二次方程.

(1)x2－1=0 (2)x2 －2x =－1

(3)(x+1)2－24=0 (4)x2 +2x+2=0

问题：(1)为什么会出现无解？

(2) 回顾用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的过程.

【要点梳理】

１．一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的判别式是2－4ac．

2．判别一元二次方程根的情况：

（1）当b2－4ac＞0时，___________ _____;

（2）当b2－4ac＝0时，__________________;

（3）当b2－4ac＜0时，________ _______．

例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x－4＝0；

（2）16y2＋9＝24y；

（3）5(x2+1)－7x＝0．

【课堂操练】

不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x－2=0；

（2）2y2+5=6y；

（3）4p(p－1)－3＝0；

（4）(x－2)2＋2(x－2)－8＝0；

（5

2 0

例2求证：关于x的方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．

【课堂操练】

1．不解方程，判别下列方程根的情况．

(1) a2x2－ax－1＝0（a≠0）

(2) (2m2＋1)x2－2mx＋1=0．

(3)x2

++k2=0

例3 关于x的方程2x2－（4k+1）x+2k2－1=0当k取何值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程没有实数根．

【课堂操练】

1．若关于x的方程x2+(2k－1)x+k2－21=0 4

有两个相等的实数根，则k= ．

2．一元一次方程中，有实数根的是 ( )

A．x2＋x＋1=0 B．x2－2x＋3=0

C．x2＋x－1=0 D．x2＋4=0

3．方程x2－3x＋1=0的根的情况是 ( )

A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根

4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k=0有实数根，则k的取值范围 ( )

A．k≤1 B．k≥1 C．k<1 D．k>1

5．若关于x的一元二次方程mx2－2x＋1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )

A．m＜1 B． m＜1且m≠0

C．m≤1 D． m≤1且m≠0

6

．一元二次方程x n 0有两个相等的实数根，那么

A．－4 B．4 C．2n的值为 ( ) m11 D． 44

27. （2011山东威海，9，3分）关于x的一元二次方程x (m 2)x m 1 0有两个相等的实数根，则

m的值是（ ）

A．0 B．8 C

．4 D．0或8

8．试判别方程x2＋2mx＋m－1=0 的根的情况；

9．关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＋2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．

10．当k取何值时，方程4x2－（k＋2）x＋k－1=0有两个相等的实数根？求出这时方程的根．

【课后盘点】

1． 不解方程，判别方程根的情况；

（1）2x2+3x－4=0 （2）16y2+9=24y

（3）5(x2+7)－x=0 （4）0.2x2－5=

（5）3x2+4x－2=0 （6）2y2+5=6y

（7）4p(p－1)－3=0 （8）x2

2．一元二次方程x2+2x+4=0根的情况是

A．有一个实数根 B．没有实数根 ( )

C．有两个相等的实数根

D．有两个不相等的实数根

3．一元二次方程ax bx c 0(a 0),若a与c异号，则方程 ( )

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．根的情况无法判断．

4．若关于x的方程x 2x m 0没有实数根，则实数m的取值范围是 ( )

A．m<l B．m>-1 C．m>l D．m<-1

5．一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是A．有两个不相等的正根 ( )

B．有两个不相等的负根

C．没有实数根 223x 2

D．有两个相等的实数根

6．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是 （ ）

A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0

C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0

7．函数y (a 1)x图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x (1 2a)x a 0，则此方程的根的情况是 （ ）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．不能确定

8．关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是( )

A．k>－1 B．k>1

C．k≠0 D．k>－1且k≠0

9．已知方程x 3x k 0有两个相等的实数根，则k ．

10已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+m+2=0．若方程有两个相等的实数根，求m的值是．

11．设关于x的方程x 2mx 2m 4 0

证明：不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根

12．已知：a、b、c是△ABC

的三边，若方程ax 2(b c) 2a有两个等根，试判断△ABC的形状．

13．关于x的方程kx2+(k+1)x+22222k=0 4

（1）若方程有两个相等的实数根，求k的值；

（2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

14．已知：m、n为整数，关于x的二次方程

x2+(7－m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，

x2－(m－4)x+n+1=0没有实数根，求m、n的值．

【课后拓展】

1．关于x的方程k2x2＋(2k－1)x＋1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( )

A．当k=1时，方程两根互为相反数 2

B．当k=0时，方程的根是x=－1

C．当k=±1时，方程两根互为倒数

1时，方程有实数 4

22．求证：方程mx (m 6)x 3 0必有实根 D．当k≤

3．（2011 厦门）已知关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根．

（1）求n的取值范围；

（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．

参考答案：

一元二次方程根的判别式

(第1课时)

【预习引领】

答案：（1）x1=1，x2= -1

（2）x1=x2=1

（3）x1= 1 26，x2= 1 26

（4）方程无解。

【要点梳理】

例1 （1）a=2，b=3，c=-4

因为b2－4ac=9-4×2×（-4）>0

所以原方程有两个不相等的实数根。

（2）16y2-24 y+9=0

a=16，b=-24，c=9

因为b2－4ac=（-24）2-4×9×16=0

所以原方程有两个相等的实数根。

（3）5x2－7x+5=0．

a=5，b=-7，c=5

因为b2－4ac=72-4×5×5<0

所以原方程霰无实数根。

【课堂操练】

答案：（1）有两个不相等的实数根

（2）无实数根

（3）有两个不相等的实数根

（4）有两个不相等的实数根

（5）无实数根

例2 ：（1）a=1，b=2k+1，c= k-1

因为b2－4ac=（2k+1）2-4（k-1）

=4 k2 +5>0

所以原方程有两个不相等的实数根。

【课堂操练】

答案：（1）有两个不相等的实数根

（2）无实数根

（3）有两个实数根

例3：2x2－（4k+1）x+2k2－1=0

a=2，b=4k+1，c= 2k2－1

b2－4ac=（4k+1）2-4×2×（2k2－1）

=8k+16

（1）∵方程有两个不相等的实数根；

∴8k+16>0

∴k>-2

(2) ∵方程有两个相等的实数根；

∴8k+16=0

∴k=-2

(3) ∵方程没有实数根；

∴8k+16<0

∴k < -2

【课堂操练】

1．1 2

2．C

3． A

4． A

5． D

6． C

7. D

8．b2－4ac=（2m）2-4（m－1）

=4m2-4m2+4

=（2m -1）2+3

∵m无论为何数，（2m -1）2≥0。

∴（2m -1）2+3≥0。

∴b2－4ac≥0

∴原方程有两个实数根

9．b2－4ac=（3m-1）2-4 m（2m－1）

=m2-2m+1

∵m2-2m+1=1

∴m1=1，m2= 0

∵m≠0

∴m=2。

∴方程为：2x2－5x＋3=0

∴ x1=1，x2=3 2

10．∵有两个相等的实数根

∴b2－4ac=0

∴ （k+2）2-4 ×4（k－1）=0

∴ k1=2, k2 k1=10

b1 2a2

b3当k=10时，x1=x2= 2a2当k=2时，x1=x2=

【课后盘点】

1．（1）两个不相等的实数根

（2）两个相等的实数根

（3）无实数根

（4）两个不相等的实数根

（5）两个不相等的实数根

（6）无实数根

（7）两个不相等的实数根

（8）两个相等的实数根

2． B

3． A

4． C

5． C

6． D

7． A

8． D

9． 9 4

10． 7或 —1

11．b2－4ac=（2m）2-4（-2m - 4）

= 4（m+1）2+12>0

所以：不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根

12．∵有两个相等的实数根

∴b2－4ac=0

∴4（b2+c2）-4a×2（b+c-a）=0

∴（b-a）2+（c-a）2=0

∴b=a=c

13． b2－4ac=2k+1

1 2

1 （2）2k+1>0，k> 2 （1）2k+1=0，k=

14．由题意得：

（7-m）2－4(3+n)>0 (1)

（4+m）2－4(n+6)=0 (2)

（m-4）2－4(n+1)<0 (3)

由（2）得：4n=（4+m）2－24

代入（1）（3）中解得：

545 m 422

因为m是整数所以m=2。

所以n=3

【课后拓展】

1．A

2．分类讨论

（1） 当m=0时，方程是6x+3=0有实数根。

（2） 当m≠0时，b2－4ac=（m+6）2-12m

=m2+36>0,所以方程总有两个不相等的实数根。

结合（1）（2）方程总有实数根。

3．（1）∵于x的方程x2-2x-2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=-2、常数项c=-2n，

∴△=b2-4ac=4+8n＞0，

解得，n＞- 12；

（2）由原方程，得

（x-1）2=2n+1，

∴x=1± 2n+1；

∵方程的两个实数根都是整数，且n＜5，

∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式，

∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，

解得，n=0，n=1.5或n=4．

一元二次方程根的判别式

(第2课时)

【目标导航】

1．让学生进一步掌握根的判别式．

2．学生通过观察、分析、讨论、相互交流，培养分析问题、解决问题的能力．

【预习引领】

1．不解方程判别下列一元二次方程根的情况；(1) 2x 2x 4 0

2

2x 1 x 22

2(3) ax bx 0(a 0) (2)

(4) 2x 1 x(x 1) 0

2．关于x的一元二次方程2x2－(2m+1)x+m=0

的根的判别式是9，求m的值及方程的根．，

【要点梳理】

例1已知方程x 6x m 8 0没有实数根，求证方程x (m 2)x 2m 1有两个不相等的实数根．

例2 已知关于x的方程

（1）方程有两个相等的实数根，求k的值；

（2）方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围;

（3）方程没有实数根，求k的取值范围;

（4）方程有实数根，求k的取值范围．

例3已知关于x的方程

(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根;

(2)若等腰三角形ABC的一边长a=6，另两边 b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长． 例4 关于x的方程mx 4x 4 0与 2222k2x2 (2k 3)x 1 0 x2 (3k 1)x 2k2 2k 0

x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整数，求整数m的值．

【课堂操练】

1．一元二次方程9x (b 6)x b 1 0有两个相等的实数根，则b．

2．当m 关于x的一元二次方程(m 2)x 2(m 1)x 1 0有两个不相等的实数根．

3．当a时， 已知关于x的方程(a 4)x 2(a 1)x 1 0有两个相等的实数根．

4．已知a、b、c分别是三角形ABC的三边长，当m＞0时， 关于x的 一元二次方

程22222c(x2 m) b(x2 m) 2 0有两个相等的实数根，求证：△ABC是直角三角形．

5．已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k- 12）=0．

（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．

（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．

【课后盘点】

1．若方程2x(kx－4) －x2+6=0无实数根，则k的最小整数值为 ( )

A．2 B．1 C．－1 D．不存在

2．下列方程中有两个不相等实数根的是

A．2x2+4x+35=0 B．x2+1=2x （ ）

C．(x－1)2=－1 D．5x2+4x=1

3．若关于x的方程(m-2)x2－2x+1=0有实数根则m （ ）

A．m<3 B．m≤3

C．m<3且m≠2 D．m≤3且m≠2

4． 关于x的一元二次方程kx2+3x－1=0有实

数根，则k的取值范围是 ( )

99 B．k≥－ 44

99C．k≥－且k≠0 D．k=－ 44A．k≤

5．（ 2011重庆江津， 9，4分）已知关于x的一元二次方程(a－1)x－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )

A. a <2 B a >2 C. a <2且a≠1 D. a <－2·

6．关于x的一元二次方程k2x2－2(k+1)x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．

7．若方程x2－2x－m=0有两个相等的实数根，则m= ．

8．二次方程x mx 22123m m 0，若m为任意实数，则解的情况是 ． 22

9．若方程2x2－2x+3a－4=0

有两个不相等的实数根，则a 2．

10一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为．

11．当m时，方程(m+2)x2+2x－1=0有实数根．

12．（2005 黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m-1=0．

求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．

13．已知a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：方程bx (b c a)x c 0无实数根．

14．已知关于x的方程(1－2k)x－

x－1=0有两个不相等的实数根，k为实数，求k的取值范围． 15若方程x2+2(1+m)x+(3m2+4mn+4n+2)=0有实数根，求m、n的值．

16．若m是非负整数，且关于x一元二次方程(1－m2)x2+2(1－m)x－1=0有两个实数根．求m的值．

17．m是什么整数时，方程（m2-1）x2-6（3m-1）x+72=0有两个不相等的正整数根．

18若m为有理数，当k是什么数时，方程

x2－4mx+4x+3m2－2m+4k=0的根为有理数．

【课后拓展】 2222222

y x 2m1．如果方程组 2只有一个实数解，那么 m的值为 ( ) y 3x

334 B． C． 1 D． 883

22．已知关于x方程(n 1)x mx 1 0 ① A．

有两个相等的实数根．

(1)求证：关于y的方程

m2y2 2my m2 2n2 3 0 ②必有两个不相等的实数根;

(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式mn 12n的值．

2

参考答案：

一元二次方程根的判别式

(第2课时)

【预习引领】

1．（1）两个不相等的实数根

（2）无实数根

（3）两个不相等的实数根

（4）无实数根

2． b2－4ac=（2m+1）2-8m=9

∴m1=2，m2= -1

（1）m=2时：2x2－5x+2=0 ，x1=

（2）m=-1时：2x2+x-1=0 ，x1=

【要点梳理】

例1∵方程x 6x m 8 0没有实数根，

∴b2－4ac=36-4（8-m）<0

∴m<-1

对于方程x (m 2)x 2m 1来说：

b2－4ac=（m+2）2-4（2m+1）= m2-4m =m（m-4）

∵m<-1

∴m-4<-5

∴m（m-4）>0

∴方程x (m 2)x 2m 1有两个不相等的实数根．

例2 b2－4ac=（2k-3）2-4k2=-12k+9

（1）∵方程有两个相等的实数根；

∴-12k+9=0

∴k=221，x2= 2 21，x2= -1 223 4

3且k≠0 4

3 4

3 4(2) ∵方程有两个不相等的实数根； ∴-12k+9>0 ∴k<(3) ∵方程没有实数根； ∴-12k+9<0 ∴k >(4) ∵方程有实数根 ∴-12k+9≥0 ∴k≤

例3．

（1）b2－4ac=（3k+1）2-4（2k2+2k）=（k-1）2

∵无论k取何值，（k-1）2≥0

∴b2－4ac2≥0

（2）由题意得方程必有一根等于6，代入得：

36-6（3k+1）+k2+2k=0

∴k1=3，k2=5

（1）k=3时：x2－10x+24=0 ，x1=6，x2= 4

（2）k=5时：x2-16x+60=0 ，x1=10，x2= 6

例4 。 b2－4ac=16-16m≥0

b2－4ac=16m2-4(4m24m-5)≥0

∴ 5 m 1 4

∵m是整数

∴m=-1，0，1。

【课堂操练】

1． 0或24

2． m 且m 2

3．a 32

4．∵c（x2+m）+b（x2-m）-2 max=0

∴（b+c）x2-2 max+cm-bm=0

∵有两个相等的实数根

∴（-2 ma）2-4（b+c）（cm-bm）=0，m＞0

222∴a+b=c

∴△ABC是直角三角形．

5．（1）证明：方程化为一般形式为：x2-（2k+1）x+4k-2=0，

∵△=（2k+1）2-4（4k-2）=（2k-3）2，

而（2k-3）2≥0，

∴△≥0，

所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根；

（2）解：x2-（2k+1）x+4k-2=0，

整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，

∴x1=2，x2=2k-1，

当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，

因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，

解得k= 32，则三角形的三边长分别为：2，2，4，

∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；

当a=4为等腰△ABC的腰，

因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，

解得k= 52，则三角形三边长分别为：2，4，4，

此时三角形的周长为2+4+4=10．

所以△ABC的周长为10．

【课后盘点】

1． A

2． D

3． B

4．B

5．C 5 2

6． 1 2

7．-1

8．无实数根

9． -2

10． 0

11． m 3

12．△=（4m+1）2-4（2m-1）

=16m2+8m+1-8m+4=16m2+5＞0，

∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．

22213．△=(b+c-a) 2-4b2c2

=(b2+c2-a2+2bc)(b2+c2-a2-2bc)

=[(b+c) 2-a2][(b-c) 2-a2]

=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)

由三角形任意两边之和大于第三边得

b+c+a>0，b+c-a>0，b-c+a>0，b-c-a<0

∴△<0

∴无实数根

14．∵有两个不相等的实数根

∴二次项系数1-2k≠0

∴K≠1 2

又△>0

∴4(k+1)+4(1-2k)>0

∴k<2

∴k<2且k≠1 2

15．

b2－4ac2=4(1+m) 2-4(3m2+4mn+4n2+2)

=-4［(m-1) 2+（m-2n) 2］≥0

∴m=1，n= 1 2

16．

∵ 方程是一元二次方程，且有两个实数根，

∴1－m2 ≠0且△=4(1－m) 2+4(1－m2)≥0

∴ m≠ ±1且 m ≤1

又∵m为非负整数，

∴m=0

把m=0代入原方程，原方程变为：

x2+2x－1=0

∴ x=－1±5

17．

∵ m2-1≠0

∴m≠±1

∵△=36（m-3）2＞0

∴m≠3

原方程变形、因式分解为

2 (m+1)( m-1)x-6(3m-1)x+72=0，

[(m+1)x-12][( m-1)x-6]=0，

x1= 126，x 2= m 1m 1

又∵x 1，x 2是正整数

∴m-1=1，2，3，6，m +1=1，2，3，4，6，12，

解得m =2．这时x1=6，x2=4．

18．

22方程x+4（1-m）x+3m-2m+4k=0

222△=16（1-m）-4（3m-4m+4k）=4m-16m+16-16k，

22∵方程x+4（1-m）x+3m-2m+4k=0的根总为有理根，

∴△为完全平方式，

22∴4m-16m+16-16k=4（m-4m+4）-16k，

∴16k=0时，△是完全平方式，

解得k=0，

22所以m为给定的有理数，k为0时，方程x+4（1-m）x+3m-2m+4k=0的根总为有理根．

【课后拓展】

1． A

2．（1）证明：由方程①得n-1≠0，m2-4×（n-1）=0．

∴m2=4（n-1）且m≠0，则n-1＞0．

方程②中△=4m2-4m2（-m2-2n2+3）=4m2（1+m2+2n2-3）=8m2（n+3）（n-1）．

∵n-1＞0．

∴△＞0．方程②必有两个不相等的实数根．

m2

（2）解：由m=4（n-1），得n-1= ．代入第一个方程，得 4

m2

22x+mx+1=0，解得x= ． 4m

2把 x=代入第二个方程，得 m

2222 2m2×（ ）- 2m × -m-（）2+3=0． mmm2

整理得2n2+4n=7．

∴m2n十12n=n（m2+12）=n（4n-4+12）

=4n2+8n=2（2n2+4n）

=14．

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