东平县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

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精选高中模拟试卷

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班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设函数的集合

，平面上点的集合

，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中

两个点的函数的个数是

A4

B6

C8

D10

2． “

方程

+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．

A ．必要不充分

B ．充要

C ．充分不必要

D ．不充分不必要

3． 已知直线l

的参数方程为1cos sin x t y t αα

=+???=??（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3π

ρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当

||AB 最小时，α的值为（ ） A ．4πα= B ．3πα= C ．34πα= D ．23

πα= 4．

不等式≤0的解集是（ ）

A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）

B ．[﹣1，2]

C ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）

D ．（﹣

1，2] 5． 记集合{}22(,)1A x y x y =+?和集合{}(,)1,0,0B x y x y x y =+３?表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，

若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ）

A ．12p

B ．1p

C ．2p

D ．13p 【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力． 6． O 为坐标原点，F

为抛物线

的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ） A ．1 B

． C

． D ．2

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第 2 页，共 15 页 7． 设函数

y=sin2x+

cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则（ ） A ．T=π

， B ．T=π，A=2

C ．T=2π

， D ．T=2π，A=2 8． 已知i

是虚数单位，则复数

等于（ ） A

．﹣

+i B

．﹣

+i C

．

﹣i D

．

﹣i

9． 若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ）

A ．0

B ．1

C ．

D ．3

10．半径R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）

A

．πR 3 B

．πR 3 C

．πR 3 D

．πR 3

11．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）

A ．15

B ．21

C ．24

D ．35

12．已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A

，若，则

实数a 的取值范围是（ ）

A

．

B

． C

． D

． 二、填空题

13．设函数f （x ）

=

则函数y=f （x ）与

y=的交点个数是 ．

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第 3 页，共 15 页 14．命题“(0,)2

x π?∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ． 15．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．

16．过原点的直线l 与函数

y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则

|

+|= ．

17．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则 OAB ?面积的最大值为 .

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.

18．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D 的位置关系为 ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法

知识竞赛.

5名职工的成绩，成绩如下表：

（1 掌握更稳定；

（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的 分数差至少是4的概率.

20．已知函数f （x ）=lnx+ax 2+b （a ，b ∈R ）．

（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m ，总存在实数a ，使函数f （x ）在区间（m ，+∞）上不单调；

（Ⅲ）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 2＞x 1＞0）是曲线f （x ）上的两点，试探究：当a ＜0时，是否存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于f'（x 0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．

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21．已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x、y的值．

22．为了培养中学生良好的课外阅读习惯，教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于t0小时．为此，教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取100名学生进行调研，获得他们一周课外阅读时间的数据，整理得到如图频率分布直方图：

（Ⅰ）求任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）（单位：小时）的概率

（Ⅱ）专家调研决定：以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t0，试确定t0的取值范围

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23．已知函数f （x ）

=x 2﹣ax+（a ﹣1）lnx （a ＞1）．

（Ⅰ） 讨论函数f （x ）的单调性；

（Ⅱ） 若a=2，数列{a n }满足a n+1=f （a n ）．

（1）若首项a 1=10，证明数列{a n }为递增数列；

（2）若首项为正整数，且数列{a n }为递增数列，求首项a 1的最小值．

24

．已知函数．

（Ⅰ）若函数f （x ）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[1，e]上的最小值．

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东平县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】本题考查了对数的计算、列举思想

a ＝－时，不符；a ＝0时，y ＝log 2x 过点(，－1)，(1,0)，此时

b ＝0，b ＝1符合； a

＝时，y

＝log 2

(x

＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b ＝0，b ＝1符合；

a ＝1时，y ＝log 2(x ＋1)

过点(

－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b ＝－1

，b

＝1符合；共6个 2． 【答案】C

【解析】解：若方程

+=1表示椭圆，则满足，即，

即﹣3＜m ＜5且m ≠1，此时﹣3＜m ＜5成立，即充分性成立，

当m=1时，满足﹣3＜m ＜5

，但此时方程+

=1即为x 2+y 2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要

性不成立．

故“方程

+

=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的充分不必要条件．

故选：C ．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．

3． 【答案】A

【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C 的方程为22((1)4x y +-

=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵

||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴

4

π

α=，选A ．

4． 【答案】D

【解析】解：依题意，不等式化为，

解得﹣1＜x ≤2， 故选D

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第 7 页，共 15 页 【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．

5． 【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示OAB D

及其内部，由几何概型得点M 落在区域Ω2内的概率为1

12P ==p 2p

，故选A.

6． 【答案】C

【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F （0，1），

又P 为C

上一点，|PF|=4，

可得y P =3

，

代入抛物线方程得：|x P |=2

，

∴S △POF =|0F|?|x P |=． 故选：C ．

7．

【答案】B

【解析】解：由三角函数的公式化简可得：

=2

（

）

=2（sin2xcos

+cos2xsin ）=2sin （2x+）， ∴T==π，A=2

故选：B

8． 【答案】A

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【解析】

解：复数

=

=

=，

故选：A ．

【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

9． 【答案】B

【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数， ∴函数y=3x 的反函数为y=f （x ）=log 3x ， 所以f （9）=log 33=1． 故选：B ．

【点评】本题给出f （x ）是函数y=3x （x ∈R ）的反函数，求f （3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．

10．【答案】A

【解析】解：2πr=πR ，所以

r=，则

h=，所以

V=

故选A

11．【答案】C

【解析】【知识点】算法和程序框图 【试题解析】否，

否，

否，

是，

则输出S=24． 故答案为：C 12．【答案】 A

【解析】解：取a=

﹣时，f （x ）=

﹣x|x|+x ，

∵f （x+a ）＜f （x ）， ∴（x

﹣）|x ﹣|+1＞x|x|， （1）x ＜0

时，解得﹣＜x ＜0； （2）0≤x

≤时，解得

0； （3）x

＞

时，解得

，

综上知，a=

﹣时，A=

（﹣

，），符合题意，排除B 、D ； 取a=1时，f （x ）=x|x|+x ，

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∵f （x+a ）＜f （x ），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|， （1）x ＜﹣1时，解得x ＞0，矛盾； （2）﹣1≤x ≤0，解得x ＜0，矛盾； （3）x ＞0时，解得x ＜﹣1，矛盾； 综上，a=1，A=?，不合题意，排除C ，

故选A ．

【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．

二、填空题

13．【答案】 4 ．

【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f （x ）

=的图象与函数

y=的图象，如下图所

示，

由图知两函数y=f （x ）与

y=的交点个数是4． 故答案为：4．

14．【答案】()

0,2x π

?∈，sin 1≥

【解析】

试题分析：“(0,)2x π

?∈，sin 1x <”的否定是()

0,2

x π

?∈，sin 1≥

考点：命题否定

【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合

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第 10 页，共 15 页 命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“?x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.

15．【答案】 0.6 ．

【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），

∴曲线关于x=2对称，

∴P （ξ＞0）=P （ξ＜4）=1﹣P （ξ＞4）=0.6，

故答案为：0.6．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．

16．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意可得点B 和点C 关于原点对称，∴

|

+

|=2||， 再根据A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，可得A （0，﹣2），

∴

2||=4，

故答案为：4． 【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用

|

+

|=2||是解题的关键．

17．

【答案】

9【解析

】

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18．【答案】 平行 ．

【解析】解：∵AB 1∥C 1D ，AD 1∥BC 1，

AB 1?平面AB 1D 1，AD 1?平面AB 1D 1，AB 1∩AD 1=A C 1D ?平面BC 1D ，BC 1?平面BC 1D ，C 1D ∩BC 1=C 1 由面面平行的判定理我们易得平面AB 1D 1∥平面BC 1D

故答案为：平行．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．

三、解答题

19．【答案】（1）90=甲x ,90=乙x ,5242

=甲s ,82=乙s ，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）2

1

. 【解析】

试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.

试题解析：解：（1）90939191888751=++++=）

（甲x ，9093929189855

1=++++=）（乙x 524

])9093()9091()9091()9088()9087[(51222222

=-+-+-+-+-=

甲s 8])9093()9092()9091()9089()9085[(51222222

=-+-+-+-+-=乙s

∵85

24

<，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. （6分）

考

点：1.平均数与方差公式；2.古典概型． 20．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ

）由已知得

解得

…

此时

，

（x ＞0）．

（Ⅱ）

（x ＞0）．

（1）当a ≥0时，f'（x ）＞0恒成立，此时，函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．… （2）当a ＜0时，令f'（x ）=0，得，

f （x

），f'（x ）的变化情况如下表：

）

所以函数f （x ）的增区间为（0，

），减区间为（

，+∞）．…

要使函数

f （x ）在区间（m ，

+∞）上不单调，须且只须＞m ，即

．

所以对任意给定的正数m ，只须取满足的实数a ，就能使得函数f （x ）在区间（m ，+∞）上不

单调．…

（Ⅲ）存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于f'（x 0）．… 证明如下：令g （x ）=lnx ﹣x+1（x ＞0），则

，

易得g （x ）在x=1处取到最大值，且最大值g （1）=0，即g （x ）≤0，从而得lnx ≤x ﹣1． （*）… 由，得

．…

令，

，则p （x ），q （x ）在区间[x 1，x 2]上单调递

增．

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且

，

，

结合（*

）式可得，

，

．

令h （x ）=p （x ）+q （x ），由以上证明可得，h （x ）在区间[x 1，x 2]上单调递增，且h （x 1）＜0，h （x 2）＞0，… 所以函数h （x ）在区间（x 1，x 2）上存在唯一的零点x 0，

即

成立，从而命题成立．… （注：在（Ⅰ）中，未计算b 的值不扣分．）

【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．

21．【答案】

【解析】解：由复数相等的条件，得

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） 解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

【点评】本题考查复数相等的条件，以及方程思想，属于基础题．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）一周课外阅读时间在[0，2）的学生人数为0.010×2×100=2人，

一周课外阅读时间在[2，4）的学生人数为0.015×2×100=3人，

记一周课外阅读时间在[0，2）的学生为A ，B ，一周课外阅读时间在[2，4）的学生为C ，D ，E ，从5人中选取2人，得到基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共有10个基本事件， 记“任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）”为事件M ，

其中事件M 包含AC ，AD ，AE ，BD ，BC ，BE ，共有6个基本事件，

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第 14 页，共 15 页 所以P （M ）

=

=，

即恰有1人一周课外阅读时间在[2，4

）的概率为．

（Ⅱ）以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t 0，即一周课外阅读时间未达到t 0的学生占20%， 由（Ⅰ）知课外阅读时间落在[0，2）的频率为P 1=0.02，

课外阅读时间落在[2，4）的频率为P 2=0.03，

课外阅读时间落在[4，6）的频率为P 3=0.05，

课外阅读时间落在[6，8）的频率为P 1=0.2，

因为P 1+P 2+P 3＜0.2，且P 1+P 2+P 3+P 4＞0.2，

故t 0∈[6，8），

所以P 1+P 2+P 3+0.1×（t 0﹣6）=0.2，

解得t 0=7，

所以教育局拟向全市中学生的一周课外阅读时间为7小时．

【点评】本题主要考查了用列举法计算随机事件的基本事件，古典概型概以及频率分布直方图等基本知识，考查了数据处理能力和运用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）

∵

，

∴

（x ＞0）， 当a=2

时，则在（0，+∞）上恒成立，

当1＜a ＜2时，若x ∈（a ﹣1，1），则f ′（x ）＜0，若x ∈（0，a ﹣1）或x ∈（1，+∞），则f ′（x ）＞0， 当a ＞2时，若x ∈（1，a ﹣1），则f ′（x ）＜0，若x ∈（0，1）或x ∈（a ﹣1，+∞），则f ′（x ）＞0， 综上所述：当1＜a ＜2时，函数f （x ）在区间（a ﹣1，1）上单调递减，

在区间（0，a ﹣1）和（1，+∞）上单调递增；

当a=2时，函数（0，+∞）在（0，+∞）上单调递增；

当a ＞2时，函数f （x ）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，1）和（a ﹣1，+∞）上单调递增． （Ⅱ）若a=2

，则，由（Ⅰ）知函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增， （1）因为a 1=10，所以a 2=f （a 1）=f （10）=30+ln10，可知a 2＞a 1＞0，

假设0＜a k ＜a k+1（k ≥1），因为函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，

∴f （a k+1）＞f （a k ），即得a k+2＞a k+1＞0，

由数学归纳法原理知，a n+1＞a n 对于一切正整数n 都成立，

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第 15 页，共 15 页 ∴数列{a n }为递增数列．

（2）由（1）知：当且仅当0＜a 1＜a 2，数列{a n }为递增数列，

∴f （a 1）＞a 1

，即

（a 1为正整数），

设

（x ≥1

），则， ∴函数g （x

）在区间

上递增，

由于

，g （6）=ln6＞0，又a 1为正整数， ∴首项a 1的最小值为6．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题．

选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】

24．【答案】

【解析】解：（1）由已知得：f ′（x ）

=．

要使函数f （x ）在区间[1，+∞

）内单调递增，只需

≥0在[1，+∞）上恒成立． 结合a ＞0可知，只需

a

，x ∈[1，+∞）即可．

易知，此时=1，所以只需a ≥1即可．

（2）结合（1），令f ′（x ）

=

=0

得． 当a ≥1时，由（1）知，函数f （x ）在[1，e]上递增，所以f （x ）min =f （1）=0；

当

时，，此时在[1

，）上f ′（x ）＜0

，在

上f ′（x ）＞0， 所以此时f （x

）在

上递减，在上递增，所以f （x ）min =f

（）=1﹣lna

﹣；

当

时，，故此时f ′（x ）＜0在[1，e]上恒成立，所以f （x ）在[1，e]上递减，

所以f （x ）min =f （e ）

=

． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．

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