专题五：函数与导数应用(1) - 教师版

2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------函数

专题五：函数与导数应用（1）——教师版 ——导数的求导法则、几何意义、不等式

一、基本练习：

1、函数y=（x+1）2（x－1）在x=1处的导数等于___4_____ 解析:y′|x=1=［（x2+2x+1）（x－1）］′|x=1=［x3+x2－x－1］′|xx=1=（3x2+2x－1）| x=1=4. 2、设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于_____解析:f′（x）=3ax2+6x,f′（－1）=3a－6=4,所以a=A.f（x）=x4－2 C.f（x）=x3 解析：筛选法.答案：A

10______ 310. 33、对任意x，有f?（x）=4x3，f（1）=－1，则此函数为__________

B.f（x）=x4+2 D.f（x）=－x4

414、已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是___4x－y－4=0.___.

3341解析：∵P（2，4）在y=x3+上，

33又y′=x2，∴斜率k=22=4. 5、.函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3x－y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标为____（

11，）或（－1，1）_______. 416解析:设点A的坐标为（x0,y0）,

则y′|x=x0=2x|x=x0=2x0=k1,又直线3x－y+1=0的斜率k2=3. ∴tan45°=1=

3?2x0|k2?k1|11=||.解得x0=或x0=－1.∴y0=或y0=1,即A点坐

|1??k2k1|1?6x0416标为（

11，）或（－1，1）. 4166、如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为_54 _ 解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54.

7、若抛物线y=x2－x+c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为___4_____.

解析：∵y′=2x－1，∴y′|x=－2=－5. 又P（－2，6+c），∴

6?c=－5. ∴c=4. ?2 二、典型例题：

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例题1：设函数y=ax＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－４=0.若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式.

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解:∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，∴P的坐标为P（0,d）.又曲线在点P处的切线方程为y=12x－４，P点坐标适合方程，从而d=－４.

又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′｜x=0=12,而y′=３ax2＋2bx＋c，y′｜x=0=ｃ，从而 c=12.

又函数在x=2处取得极值0，所以 y′｜x=2=0, f（2）=0,即

12a＋４b＋12=0, ８a＋４b＋20=0. 解得a=2，b=－9.

∴所求函数解析式为y=2x3－9x2＋12x－４.

x2例题2：设函数f（x）=x－－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）>m，则

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实数m的取值范围是_____ m∈（－∞，解析：f?（x）=3x2－x－2=0，x=1，－f（－1）=5

7）___. 22， 3221211，f（－）=5，f（1）=3，f（2）=7. ∴m<3. 232227例题3：求证：x>1时，2x3>x2+1.

证明：令f（x）=2x3－x2－1，则f?（x）=6x2－2x=2x（3x－1）.

当x>1时，f?（x）>0恒成立. ∴f（x）在（1，+∞）上单调递增.

又∵f（1）=0， ∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+1.

（选做）例题4：已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）.

－1

（1）求函数y=f（x）的反函数y=f（x）及f（x）的导数f′（x）;

－

（2）假设对任意x∈［ln（3a）,ln（4a）］，不等式|m－f1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围. 解:（1）由y=f（x）=ln（ex+a），

－

得x=ln（ey－a），所以y=f1（x）=ln（e x－a）（x＞lna）.

exf′（x）=［ln（e+a）］′=x.

e?ax

（2）由|m－f1（x）|+ln（f′（x））＜0,得

ln（ex－a）－ln（ex+a）+x＜m＜ln（ex－a）+ln（ex+a）－x.

－

设?（x）=ln（ex－a）－ln（ex+a）+x, ?（x）=ln（ex－a）+ln（ex+a）－x,

于是原不等式对于x∈［ln（3n）,ln（4a）］恒成立.等价于?（x）＜m＜?（x）. （*）

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exexexex由?′（x）=x－+1, ?′（x）= x+－1,

e?aex?ae?aex?a注意到0＜ex－a＜ex＜ex+a. 故有?′（x）＞0, ?′（x）＞0, 从而?（x）、?（x）均在［ln（3a）,ln（4a）］上单调递增, 因此不等式（*）成立当且仅当?（ln（4a））＜m＜?（ln（3a））, 即ln（

812a）＜m＜ln（a）.

35三、课后练习：

1、确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.

解：y?=2x+b，k=y′|x=2=4+b=2， ∴b=－2.

又当x=2时，y=22+（－2）×2+c=c， 代入y=2x，得c=4.

2、过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是_2x－y+4=0_____.

.解析：y′=6x－4，∴切线斜率为6×1－4=2. ∴所求直线方程为y－2=2（x+1），即2x－y+4=0.

3πππ）在点（,）处的切线方程是_3x－2y+3－=0____. 66223ππ解析:因为f′（x）=3cos（3x－）,所以所求切线的斜率为f′（）=,切线方

26633ππ程为y－= （x－）,即3x－2y+3－=0.

22623、函数（fx）=sin（3x－

4、曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程.

解：y?=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，∴x=－1时，切线最小斜率为3，

此时，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.∴切线方程为y+14=3（x+1）.

2

5、设a＞0，f（x）=ax+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，__

解析：（1）∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=－

π1］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为__［0，］42aπ］， 4bbb的距离d=x0－（－）=x0+. 2a2a2a?b1?bb1，］.∴d=x0+∈［0，］. 2a2a2a2a又∵f?（x0）=2ax0+b∈［0，1］，∴x0∈［

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