高考排列组合专题突破

高考排列组合专题突破 排列组合应用 重难点突破

一 排列组合不同问题解法

1．相邻问题并组法

题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．

【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有[ ]

A．60种 B．48种 C．36种 D．24种

2．相离问题插空法

元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．

【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是

[ ]

A．1440 B．3600

C．4820 D．4800

3．定序问题缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．

【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]

A．24种 B．60种

C．90种 D．120种

4．标号排位问题分步法

把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．

【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ]

A．6种 B．9种

C．11种 D．23种

5．有序分配问题逐分法

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．

【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]

A．1260种 B．2025种

C．2520种 D．5040种

四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________.

6．多元问题分类法

元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．

【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[ ]

A．210个 B．300个

C．464个 D．600个

【例7】从1，2，3， 100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？

【例8】从1，2， 100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？

7．交叉问题集合法

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)

【例 9】从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙

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不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？

8．定位问题优先法

某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．

【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．

9．多排问题单排法

把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．

【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]

10．“至少”问题间接法

关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．

【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有[ ]

A．140种 B．80种

C．70种 D．35种

11．选排问题先取后排法

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．

【例14】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种

12．部分合条件问题排除法

在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．

【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[ ]

13 平均分组问题:

例一 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）分为三份，每份2本；

（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。

例二 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.

(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.

(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.

(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起.

(4)全体排成一行，男、女各不相邻.

(5)全体排成一行，男生不能排在一起.

(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.

(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.

(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.

14 相同元素分配——档板分隔法

1 把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数

2 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数.

15 对等法:

1.期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?

2.有10个人排在一排照相，问甲在已的右边的方法有几种？

16 多面手问题（ 分类法---选定标准）

有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、

日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日 语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？

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二 习题练习

1 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？

2 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少？

3 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

4 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6 项工程的不同排法种数是

5 马路上有编号为1，2，3 ，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的 二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

6 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 7 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插

法？ 8 已知直线xy 1（a，b是非零常数）与圆x2 y2 100有公共点，且公共点的横ab

坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条

9 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，

（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？

（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？

三 难点突破

1 走楼梯问题

例1：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )

（A）34种 （B）55种 （C）89种 （D）144

(分类法，递推法) an an 1 an 2

2 更列问题

把n(n N )个元素排成一列，所有元素各有一个不能占据的指定位置，且不同元素不能占据的指定位置也不同，我们把满足这种条件的一个排列叫做这些元素的一个更列。

例2：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )

（A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种

an (n 1)(an 2 an 1)，显然，a1 0,a2 1，再由递推关系有a3 2,a4 9， a5 44

例 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) (全国高考试题)

（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种

3 染色问题

例4：用4种不同颜色涂四边形的4个顶点，要求每点染一种颜色，相邻的

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顶点染不同的颜色，则不同的染色方法有( )

（A）84种 （B）72种 （C）48种 （D）24种

我们先把这个题目推广：用m种不同颜色给n边形A1A2 An的n个顶点染色(其中m 3,n 3，且m为常数)，每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，不同的染色方法有多少种？设不同的染色方法有an种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：

第一步：染A1，有m种染法；

第二步：染A2，有m 1种染法；

同理，染A3, ,An 1均有m 1种染法，最后染An，如果仅考虑An与An 1不同色，则仍有m 1种染法，相乘得m(m 1)n 1种染法，但要去掉An与A1同色的染法数，此时可将An与A1合并看成一个点，得出需要排除的染法数为an 1，所以

3有an m(m 1)n 1 an 1，显然，a3 Am。

例 1：一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。

例 2：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分成6个部分(如图2)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法共有 种。 (2003年天津理科高考试题)

1 6 4 图2

图1

4 传球问题

例7：甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样共传了四次，则第四次球仍传回到甲的方法共有( )

（A）21种 （B）42 （C）24 （D）27

an (m 1)n 1 an 1 1 解法1：分类法：

第一类：没有一步两级，则只有一种走法；

第二类：恰有一步是一步两级，则走完10级要走9步，9步中选一

1步是一步两级的，有C9 9种可能走法；

第三类：恰有两步是一步两级，则走完10级要走8步，8步中选两

步是一步两级的，有C82 28种可能走法；

1345 依此类推，共有1 C9=89，故选(C)。 C82 C7 C6 C5

解法2：递推法：

设走n级有an种走法，这些走法可按第一步来分类，

第一类：第一步是一步一级，则余下的n 1级有an 1种走法；

第二类：第一步是一步两级，则余下的n 2级有an 2种走法，

所以an an 1 an 2，又易得a1 1,a2 2，由递推可得a10 89，故选(C)。 2 解：首先我们把人数推广到n个人，即n

个人排成一列，重新站队时，各人都

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不站在原来的位置上。设满足这样的站队方式有an种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：

第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有n 1种站法。

第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n 2个人有an 2种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置， ，第n个人不站在第n个位置，所以有an 1种站队方式。

由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列{an}的递推关系式：

an (n 1)(an 2 an 1)，显然，a1 0,a2 1，再由递推关系有a3 2,a4 9，

a5 44，故应选(B)

3 解：我们先把这个题目推广：用m种不同颜色给n边形A1A2 An的n个顶点染色(其中m 3,n 3，且m为常数)，每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，不同的染色方法有多少种？

设不同的染色方法有an种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：

第一步：染A1，有m种染法；

第二步：染A2，有m 1种染法；

同理，染A3, ,An 1均有m 1种染法，最后染An，如果仅考虑An与An 1不同色，则仍有m 1种染法，相乘得m(m 1)n 1种染法，但要去掉An与A1同色的染法数，此时可将An与A1合并看成一个点，得出需要排除的染法数为an 1，所以

3有an m(m 1)n 1 an 1，显然，a3 Am。

又本题中，颜色数m 4，所以递推关系为：an 4 3n 1 an 1，又

3，故选（A）。 a3 A4 24，所以a4 4 33 a3 84（种）

4 解：先把这个题目进行推广：m(m N )个人相互进行n(n N )次传球，由甲先传，第一次甲传给其他m 1个人中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样经过n次传球，最后球仍回到甲手中的传球方法有多少种？(这里m为常数)

设不同的传球方法共有an种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：

第一步进行第一次传球：甲传给其他人，有m 1种传球方法；

第二步进行第二次传球：拿球者把球传给其他人，仍有m 1种传球方法； 同理，第三次、第四次、 、第n 1次传球都有m 1种传球方法，最后进行第n次传球，由于只能传给甲，故只有一次传球方法，相乘得(m 1)n 1种传球方法，但要注意第n 1次传球不能传给甲，否则就不存在第n次传球，因此要去掉第n 1次传球，球恰好传给甲的传球方法数，这就是由甲先传，经过n 1次传球后球又回到甲手中的传球方法，显然，这里有an 1种传球方法，所以有递推关系：an (m 1)n 1 an 1，又易得，a1 0。

而在本题中，m 4，所以an 3n 1 an 1，所以由递推可得，a2 3 a1 3， a3 32 a2 6,a4 33 a3 21，故本题应选（A）

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