2016年湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学试卷（文科）（

2016年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）

1．复数z=i（﹣1+3i）在复平面上对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知=（1，2），=（﹣1，m），若∥，则m=（ ） A．﹣ B．

C．﹣2 D．2

3．函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（ ） A．C．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） （0，1） D．（1，2）

4．如图给出了一个程序框图，其作用是输入实数x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

5．已知直线l1：x+ay﹣2=0，l2：x﹣ay﹣1=0，则“a=﹣1”是“l1⊥l2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若实数x，y满足

，则x﹣y的最小值等于（ ）

A．﹣2 B．0 C．2 D．3

7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则植树所需要的最少天数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8

8．用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为π，则球的表面积为（ ） A．4π B．8π C．12π D．16π

9．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，其一条渐近线的斜率等于，则该双曲线的标准方程为（ ） A．

﹣

=1 B．

﹣

=1 C．

﹣

=1 D．

﹣

=1

10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

第1页（共17页）

A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4

），则a，

11．若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（﹣1），c=f（2b，c满足（ ）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a

12．已知圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0，直线l：ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0），若直线l始终平分圆C，则ab的最大值为（ ） A．

B．

C．1

D．2

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知集合U={0，1，2}，A={x|x2=x，x∈R}，则?UA= ． 14．已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2，则a16= ． 15．在平面直角坐标系中，角α的终边过点P（1，2） ，则cos2α+sin2α的值为 ．16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）． 参考上述解法，若关于x的不等式于x的不等式

+

+

＜0的解集为（﹣2，﹣）∪（，1），则关

＜0的解集为 ．

三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，∠CAB=60°，AC=2，BC=． （1）求△ABC的面积；

（2）如图所示，若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜求ω和φ的值．

）的图象经过A、C、B三点，

第2页（共17页）

18．某电视台为调查市民对本台某节目的喜爱是否与年龄有关，随机抽取了100名市民，其中是否喜欢该节目的人数如图所示： 喜欢 不喜欢 合计 10岁至30岁 a b 30岁至50岁 c d 合计 （1）写出列表中a，b，c，d的值； （2）判断是否有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，说明你的理由；

（3）现计划在这次调查中按年龄段用分层抽样的方法选取5名市民，并从中抽取2名幸运市民，求2名幸运市民中至少有一人在30﹣50岁之间的概率． 下面的临界值表供参考：

P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：K2=

，其中n=a+b+c+d．

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，BC=3，AB=B1C=5，点D是线段AB的中点，四边形ACC1A1为正方形． （1）求证：AC1∥平面B1CD； （2）求三棱锥D﹣B1C1C的体积．

20．已知函数f（x）=（1﹣a2）lnx﹣x3． （1）当a=0时，求f（x）的极值；

（2）设函数g（x）=ex﹣﹣2（e为自然对数的底数），k为函数f（x）在x=1处切线的斜率，若g（x）﹣k＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围． 21．已知△ABC的顶点A、B的坐标分别为（﹣，0）、（，0），C为动点，且满足sinB+sinA=sinC．

（1）求点C的轨迹L的方程；

（2）设M（x0，y0）是曲线L上的任一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作两条切线，分别交曲线L于点P、Q．

①若直线OP、OQ的斜率均存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值； ②试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

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请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，BC是圆O的直径，点F在弧BC上，点A为劣弧的中点，作AD⊥BC于点D，BF与AD交于点E，与AC交于点G． （1）求证：AE=BE；

（2）若圆O的半径为5，AB=6，求AG．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．

（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程； （2）已知点P（1，0），直线l与曲线C交于M、N两点，求|PM|?|PN|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

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2016年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）

1．复数z=i（﹣1+3i）在复平面上对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】求出复数z，根据其代数形式的几何意义找出平面中对应的点的坐标，由坐标判断复数对应的点所在的象限

【解答】解：复数z=i（﹣1+3i）=﹣i﹣3=﹣3﹣i， ∴z在复平面上对应的点的坐标为（﹣3，﹣1），在第三象限． 故选：C．

2．已知=（1，2），=（﹣1，m），若∥，则m=（ ） A．﹣ B．

C．﹣2 D．2

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．

【分析】利用向量的共线的充要条件，列出方程求解即可． 【解答】解： =（1，2），=（﹣1，m），若∥， 可得﹣2=m，则m=﹣2． 故选：C．

3．函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（ ） A．C．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） （0，1） D．（1，2） 【考点】函数零点的判定定理．

【分析】由函数的解析式可得f（﹣1）f（0）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x+3x的零点所在的区间．

【解答】解：由函数的解析式可得f（﹣1）=﹣1+=﹣＜0，f（0）=0+1=1＞0， ∴f（﹣1）f（0）＜0，

根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（﹣1，0）， 故选：B．

4．如图给出了一个程序框图，其作用是输入实数x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（ ）

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A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【考点】程序框图．

【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论． 【解答】解：由题意得该程序的功能是： 计算并输出分段函数y=

的值，

又∵输入的x值与输出的y值相等， 当x≤0时，x=|x|，解得x=0，

当x＞0时，x=，解得x=1或﹣1（舍去）． 故满足条件的x值共有2个． 故选：B．

5．已知直线l1：x+ay﹣2=0，l2：x﹣ay﹣1=0，则“a=﹣1”是“l1⊥l2”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【分析】“l1⊥l2”?“1+a?（﹣a）=0”?“a=﹣1，或a=1”，进而结合充要条件的定义，可得答案．

【解答】解：∵直线l1：x+ay﹣2=0，直线l2：x﹣ay﹣1=0， ∴“l1⊥l2”?“1﹣a?a=0”?“a=﹣1，或a=1”， 故“a=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件， 故选：A．

6．若实数x，y满足A．﹣2 B．0

C．2

，则x﹣y的最小值等于（ ） D．3

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

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【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

令z=x﹣y，则y=x﹣z， 联立

，解得A（﹣1，1），

由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．

故选：A．

7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则植树所需要的最少天数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】等比数列的前n项和．

【分析】由已知第n天植树的棵数an=2n﹣1，即{an}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出植树所需要的最少天数．

【解答】解：∵第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍， ∴第n天植树的棵数an=2n﹣1，

即{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∵某住宅小区计划植树不少于100棵， ∴Sn=

=2n﹣1≥100，

∴n≥7．

植树所需要的最少天数为7天． 故选：C．

8．用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为π，则球的表面积为（ ） A．4π B．8π C．12π D．16π 【考点】球的体积和表面积．

【分析】由已知中一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，我们可以求出该圆的半径，其中根据球半径、截面圆半径及球心距构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以求出球半径，进而代入球的表面积公式，即可得到该球的表面积．

【解答】解：由已知中与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π， 故该圆的半径为1， 故球的半径为，

故该球的表面积S=4πR2=8π

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故选：B．

9．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，其一条渐近线的斜率等于，则该双曲线的标准方程为（ ） A．

﹣

=1 B．

﹣

=1 C．

﹣

=1 D．

﹣

=1

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】求出抛物线的焦点，即有c=5，求得渐近线方程即有=，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．

【解答】解：抛物线y2=20x的焦点为（5，0）， 即有双曲线的焦点为（±5，0）， 设双曲线的方程为则c=5，

由渐近线方程为y=±x． 则有=， 又a2+b2=c2， 解得a=4，b=3， 则双曲线的方程为

﹣

=1． ﹣

=1（a＞0，b＞0），

故选：D．

10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．3π B．4π

C．2π+4 D．3π+4

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．

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【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是圆柱体的一半， ∴该几何体的表面积为 S几何体=π?12+π×1×2+2×2 =3π+4． 故选：D．

11．若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（﹣1），c=f（2

），则a，

b，c满足（ ）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，且b=f（1），容易得出

，从而由增函数的定义即可得出a，b，c的大小关系，从

而找出正确选项．

【解答】解：根据题意，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 且b=f（﹣1）=f（1）； 又1＜log23＜2，∴

；

；

∴f（1）；

即b＜a＜c． 故选：B．

12．已知圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0，直线l：ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0），若直线l始终平分圆C，则ab的最大值为（ ） A．

B．

C．1

D．2

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】由已知得圆心C（1，2）在直线ax+by﹣2=0上，从而a+2b﹣2=0，由此利用均值定理能求出ab的最大值．

【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0，直线l：ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）， 直线l始终平分圆C，

∴圆心C（1，2）在直线ax+by﹣2=0上， ∴a+2b﹣2=0， ∵a＞0，b＞0， 2ab≤（

）2=1，∴ab≤．

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∴当且仅当a=2b=1时，ab取最大值．

故选：A．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知集合U={0，1，2}，A={x|x2=x，x∈R}，则?UA= {2} ． 【考点】补集及其运算．

【分析】求出集合的等价条件，根据补集运算进行求解即可． 【解答】解：∵A={x|x2=x，x∈R}={0，1}， ∴?UA={2}， 故答案为：{2}

14．已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2，则a16= 32 ． 【考点】等差数列的通项公式．

【分析】根据等差数列的定义判断{an}是等差数列，写出它的通项公式，再求出a16的值． 【解答】解：数列{an}满足a1=2，an+1=an+2， ∴d=an+1﹣an=2；

∴an=2+（n﹣1）×2=2n， ∴a16=2×16=32． 故答案为：32．

15．在平面直角坐标系中，角α的终边过点P（1，2），则cos2α+sin2α的值为 1 ． 【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】利用任意角三角函数的定义和二倍角公式求解．

【解答】解：∵在平面直角坐标系中，角α的终边过点P（1，2）， ∴x=1，y=2，r=， ∴sinα=

∴cos2α+sin2α=（

，cosα=

=

，

=1．

）2+2sinαcosα=

故答案为：1．

16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）． 参考上述解法，若关于x的不等式于x的不等式

+

+

＜0的解集为（﹣2，﹣）∪（，1），则关

）∪（1，2） ．

＜0的解集为 （﹣3，

【考点】其他不等式的解法．

【分析】根据不等式的新解法，进行类比求解即可． 【解答】解：由

+

＜0的解集为（﹣2，﹣）∪（，1），

第10页（共17页）

得+＜0，即+＜0，

由﹣2＜＜﹣或＜＜1， 得﹣3＜x＜即不等式

+

或1＜x＜2，

＜0的解集为（﹣3，）∪（1，2）

）∪（1，2），

故答案为：（﹣3，

三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，∠CAB=60°，AC=2，BC=． （1）求△ABC的面积；

（2）如图所示，若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜求ω和φ的值．

）的图象经过A、C、B三点，

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】（1）由已知及余弦定理可求c的值，利用三角形面积公式即可求值得解． （2）由图象可求函数周期T，利用周期公式可求ω，由OA=在函数图象上，可得f（﹣1）=2sin（﹣

+φ）=0，结合范围|φ|＜

，可得点A（﹣1，0） ，即可解得φ的值．

【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵△ABC中，∠CAB=60°，AC=2，BC=由余弦定理可知：a2=c2+b2﹣2bccos∴c2﹣2c﹣3=0， ∴c=|AB|=3， ∴S△ABC=?2?3?sin（2）T=2×3=6，∴ω=∵OA=

=，

…6分

，

．

，∴A（﹣1，0），

+φ）=0，

第11页（共17页）

∴f（﹣1）=2sin（﹣

∴﹣∵|φ|＜∴φ=

+φ=kπ（k∈Z），即：φ=kπ+， ．…12分

（k∈Z），

18．某电视台为调查市民对本台某节目的喜爱是否与年龄有关，随机抽取了100名市民，其中是否喜欢该节目的人数如图所示： 喜欢 不喜欢 合计 10岁至30岁 a b 60 30岁至50岁 c d 40 合计 75 25 100 （1）写出列表中a，b，c，d的值； （2）判断是否有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，说明你的理由；

（3）现计划在这次调查中按年龄段用分层抽样的方法选取5名市民，并从中抽取2名幸运市民，求2名幸运市民中至少有一人在30﹣50岁之间的概率． 下面的临界值表供参考：

P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：K2=

，其中n=a+b+c+d．

【考点】独立性检验的应用． 【分析】（1）计算a、b、c、d的值，填写列联表即可； （2）计算观测值K2，通过表中数据得出概率结论；

（3）利用分层抽样原理求出“10岁～30岁”与“30岁～50岁”的市民人数，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可． 【解答】解：（1）a=50，b=10，c=25，d=15；填表如下： 喜欢 不喜欢 合计 10岁至30岁 50 10 60 30岁至50岁 25 15 40 75 25 100 合计 （2）没有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，理由如下； K2=

又P（K2≥6.635）=0.01，

第12页（共17页）

≈5.56＜6.635，

所以P（K2≈5.56）＞0.01，所以1﹣P（K2≈5.56）＜0.99， 故没有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关；

（3）设所抽的5名市民中有m名“10岁～30岁”的市民，则 =

，解得m=3，

所以5名市民中有3名“10岁～30岁”的市民，2名“30岁～50岁”的市民， 分别记为a、b、c、D、E，从中任选2名，基本事件有 ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE共10个， 其中2名市民中至少有1名在30﹣50岁之间事件为 aD，aE，bD，bE，cD，cE，DE共7个，

所以2名幸运市民中至少有1人在30﹣50岁之间的概率为P=

．

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，BC=3，AB=B1C=5，点D是线段AB的中点，四边形ACC1A1为正方形． （1）求证：AC1∥平面B1CD； （2）求三棱锥D﹣B1C1C的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）取BC1中点M，由中位线定理可得AC1∥DM，故而AC1∥平面B1CD； （2）由勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由正方形的性质得出AC⊥CC1，故而AC⊥平面BCC1B1，于是D到平面BCC1B1的距离d=积S

，代入棱锥的体积公式计算．

，利用勾股定理求出CC1，得出棱锥的底面

【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点M，则M为BC1的中点，连结DM． ∵D是AB的中点，

∴AC1∥DM，

又AC1?平面B1CD，DM?平面B1CD， ∴AC1∥平面B1CD．

（2）∵AC=4，BC=3，AB=5，

∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC．

∵四边形ACC1A1为正方形，∴AC⊥CC1，

又BC?平面BCC1B1，CC1?平面BCC1B1，BC∩CC1=C， ∴AC⊥平面BCC1B1． ∵D是AB的中点，

∴D到平面BCC1B1的距离d=∵CC1=

=4，

第13页（共17页）

=2．

∴S∴V

==

=?d=

． =4．

20．已知函数f（x）=（1﹣a2）lnx﹣x3． （1）当a=0时，求f（x）的极值；

（2）设函数g（x）=ex﹣﹣2（e为自然对数的底数），k为函数f（x）在x=1处切线的斜率，若g（x）﹣k＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）求出f（x）的导数，得到k的值，根据函数的单调性求出g（x）＞g（0），从而有﹣a2≤﹣1，解出即可． 【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）， ∵f′（x）=

（x＞0），

由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，

∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， ∴f（x）极大值=f（1）=﹣，无极小值；

（2）f′（x）=

由题意得k=f′（1）=﹣a2，

，（x＞0），

∵g′（x）=ex﹣＞0，（x＞0），

∴g（x）在（0，+∞）递增，g（x）＞g（0）=﹣1，

∴k≤g（0）=﹣1，即﹣a2≤﹣1， 故a≥1或a≤﹣1．

21．已知△ABC的顶点A、B的坐标分别为（﹣，0）、（sinB+sinA=sinC．

（1）求点C的轨迹L的方程；

，0），C为动点，且满足

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（2）设M（x0，y0）是曲线L上的任一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作两条切线，分别交曲线L于点P、Q．

①若直线OP、OQ的斜率均存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值； ②试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【考点】椭圆的简单性质．

C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，【分析】（1）运用正弦定理和椭圆的定义可得，且有a=，c=

，b=

=

，即可得到所求轨迹方程；

（2））①由直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即

可得到k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2=0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到所求定值；

②OP2+OQ2为定值9．讨论当直线OP，OQ的斜率均存在时，P（x1，y1），Q（x2，y2），运用①的结论，结合P，Q在椭圆上，满足椭圆方程，化简整理，由两点的距离公式即可得到定值9；当直线OP，OQ的斜率不存在时，圆M与x，y轴均相切，即可得到定值． 【解答】解：（1）由sinB+sinA=sinC，可得|CA|+|CB|=|AB|， 即有|CA|+|CB|=2＞2，

即有C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆， 且a=

，c=

，b=

=

，

可得轨迹L的方程为+=1（y≠0）；

（2）①证明：由直线OP：y=k1x与圆M相切，可得

=，

即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2=0，

同理由直线OQ：y=k2x与圆M相切， 可得（x02﹣2）k22﹣2x0y0k2+y02﹣2=0，

即k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2=0的两个不等的实根， 可得k1k2=

，

由M在椭圆上，可得+

=1，即为y02=3﹣x02，

即有k1k2=

=﹣；

②OP2+OQ2为定值9．

理由如下：当直线OP，OQ的斜率均存在时，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由k1k2=﹣，即y12y22=x12x22，

由P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆上，可得

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+=1， +=1，

即y12=3﹣x12，y22=3﹣x22， 则（3﹣x12）（3﹣x22）=x12x22， 即有x12+x22=6，

y12+y22=（3﹣x12）+（3﹣x22）=6﹣3=3，

即OP2+OQ2=9；

当直线OP，OQ的斜率不存在时，圆M与x，y轴均相切， 显然有OP2+OQ2=9．

综上可得，OP2+OQ2为定值9．

请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，BC是圆O的直径，点F在弧BC上，点A为劣弧的中点，作AD⊥BC于点D，BF与AD交于点E，与AC交于点G． （1）求证：AE=BE；

（2）若圆O的半径为5，AB=6，求AG．

【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质． 【分析】（1）根据圆周角定理以及互余的角的性质证明AE和BE的关系；（2）根据相似三角形的性质以及勾股定理求出AG的长即可． 【解答】（1）证明：∵A是弧BF的中点， ∴BA=AF，∴∠ABF=∠ACB，

又∵AD⊥BC，BC是圆O的直径， ∴∠BAD=∠ACB， ∴∠ABF=∠BAD， ∴AE=BE；

（2）解：RT△ABC中由勾股定理得AC=8， 由△ABG∽△ACB得：AB2=AG?AC， ∴AG=．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

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23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．

（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程； （2）已知点P（1，0），直线l与曲线C交于M、N两点，求|PM|?|PN|的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程． 【分析】（1）使用加减消元法消去参数t，得到直线l的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程，将极坐标方程两边同乘ρ得到直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，使用参数得几何意义得出|PM|?|PN|的值．

【解答】解：（1）∵（t为参数），∴﹣y=．

∴将代入﹣y=得．

∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴曲线C的普通方程是x2+y2﹣4x=0．

代入x2+y2﹣4x=0得t2﹣t﹣3=0．

（2）将

∴t1t2=﹣3．

∴|PM|?|PN|=|t1t2|=3．

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