基于伪谱法的亚轨道飞行器返回轨迹优化设计

2010年10月第28卷第5期西北工业大学学报

JournalofNorthwesternPolytechnicalUniversityOct.2010Vo.l28No.5

基于伪谱法的亚轨道飞行器返回轨迹优化设计

闫晓东,唐 硕

(西北工业大学航天学院,陕西西安 710072)

摘 要:在亚轨道飞行器返回轨迹设计中,不仅要研究其可行轨迹的设计问题,还要研究在各种性能指标下的最优轨迹。文章采用伪谱法研究了亚轨道飞行器返回轨迹优化设计问题。为了便于应用伪谱法并加快优化速度,建立了以能量为独立积分变量的动力学方程,并进行了归一化处理,将终端时间自由的优化问题转化为固定积分区间的优化问题。考虑状态约束、控制约束、过程约束以及终端约

束,采用伪谱法进行了亚轨道飞行器的返回轨迹优化设计。从算例的仿真结果可以看出,伪谱法可以较好完成亚轨道飞行器的返回轨迹的优化设计任务。关 键 词:轨迹,优化,亚轨道飞行器,返回轨迹;伪谱法

中图分类号:V412 文献标识码:A 文章编号:1000-2758(2010)05-0748-05 一直以来,返回轨迹的分析与设计是航天器再入返回制导领域研究的重点。对于亚轨道飞行器而言,由于其返回本身问题的复杂性,再加上严苛的过程约束和终端约束,使得返回轨迹的分析与设计十分复杂,也十分重要。不仅要研究其可行轨迹的设计问题,还要研究在各种性能指标下的最优轨迹。

从上世纪五、六十年代开始,最优控制理论就开始引入到飞行器的再入返回过程中,并逐步得到了应用和发展。近年来计算机技术及数值算法的发展,为解决飞行器轨迹优化提供了有效的工具。

返回轨迹优化问题是一个较为复杂的最优控制问题。目前求解最优控制问题的数值方法主要有直接法和间接法。在众多的直接数值优化方法中,伪谱法(也称为全局正交配点法)具有速度快、收敛性好的优点,备受关注。本文采用伪谱法进行了亚轨道飞行器返回轨迹优化的研究。为了便于应用伪谱法并加快优化速度,以能量为独立积分变量对动力学方程进行处理,构建归一化能态方程,将终端时间自由的优化问题转化为固定积分区间的优化问题。之后,采用伪谱法对返回轨迹最优控制问题进行离散处理,并考虑状态约束、控制约束、过程约束以及终端约束,进行了亚轨道飞行器的返回轨迹优化设计。从算例的仿真结果可以看出,采用伪谱

收稿日期:2009-09-17

作者简介:闫晓东(1981-),西北工业大学讲师,主要从事飞行动力学与制导控制的研究。

[3,4]

[2]

[1]

法可以较好完成亚轨道飞行器的返回轨迹的优化设

计任务。

1 动力学方程及其转化

1 1 动力学方程

不考虑地球旋转,并在飞行器的侧滑角为零的假设条件下,SLV无动力三自由度质点动力学方程为

[5]

r =Vsin

=

rcos Vcos cos =

rV =-D-sin =Lcos -V

Vcosg-(1)(2)(3)(4)(5)(6)

2

=+cos sin tan

Vcos r

式中,r为飞行器地心距, 为经度, 是纬度,V是飞行器相对地球速度, 为速度倾角, 为速度方位角,

=0表示正北方向, 为速度倾斜角。D、L分别表示阻力加速度和升力加速度。

第5期闫晓东等:基于伪谱法的亚轨道飞行器返回轨迹优化设计

749

D=

1 2 归一化能态方程

2

VCDSref2m

(7)

2 采用高斯伪谱法的返回轨迹优化

2 1 高斯伪谱法的离散化过程

伪谱法是利用全局正交多项式对状态空间和最优控制空间进行逼近,从而将最优控制问题转化为非线性规划问题进行求解。

状态变量采用N+1次Lagrange插值多项式来近似

x( ) X( )=

[6]

返回动力学方程是以时间为独立变量的,而亚轨道飞行器的返回过程优化是一个终端时间自由的优化问题,在求解时,一种方法是将终端时间作为一个优化变量进行处理;另一种方法是将其转化为固定区间的优化问题。基于此,本文以能量为独立积分变量,对(1)式~(6)式微分方程组进行转化,构建能态微分方程,将终端时间自由的优化问题转化为固定积分区间的优化问题。

(8)-rR式中,Rd表示地球半径。该式定义了地面上的势能为0。对能量求导得

E =

=V V +g r dt

定义能量的表达式为

12

E=V-2

X( )L

i=0

i

N

i

( )(16)

此处, [-1,1]为多项式定义域,该定义域与积

分时间存在如下变换关系

t=

tf-t0tf+t0

+22

(17)

Li( )(i=0,1, ,N)定义为

- j

(18)

j=0,j i i- j

控制变量采用N次Lagrange插值多项式来

Li( )=

N

=V(-D-gsin )+g(Vsin )=-VD(9)

将动力学方程转换为以能量为积分变量的方程

组,并对其进行归一化处理

E =

E-E0

Ef-E0

(10)

逼近

u( ) U( )=

式中

- j

j=1,j i i- j

由(18)式和(20)式不难得到

N

U( )L

i=1

i

N

*i

( )(19)

式中E0为初始返回点飞行器能量,Ef为飞行末端能量。E 为归一化后的能量。r由Rd归一化,即 r=r/Rd。归一化后的动力学方程为

r = = = =-Ef-E0

(-sin /D)RdEf-E0

-RdD rcos Ef-E0cos cos-RdDr

2

L( )=

*

i

(20)

(11)(12)(13)

i=j,L*( )=1,

ij

0,0,i j

对(16)式求导,得到状态的微分为Li( j)=

1,

x ( ) X ( )=

( ) X( )L

i=0

i

i

N

i=ji j

(21)

每个Lagrange多项式在配点处的微分可以由一个矩阵表示,该矩阵可由下式计算得到

L i( k)=Dki=

Ef-E0

Lcos -g-cos(14)2

VDRdEf-E02

=-+cos sin tan 2

VDcos Rdr

(15)

上述方程组中,( ) 表示该变量相对于能量E

的微分。由于速度和能量不独立,因此动力学方程由6阶变为5阶。可以看出,归一化后的能态方程的积分区间为[0,1],方程中的各状态量级相同,这样一个定区间积分问题既求解方便又快速。

N

l=0

j=0,j i,l

j=0,j i

N

( k- j)

(22)

( i- j)

式中,k=0,1, ,N,i=0,1, ,N。通过该矩阵,将微分方程转化为代数约束

N

tf-t0

DX-f(Xk,Uk, k;t0,tf)=0kii i=02

式中,k=1, ,N,Xk X( 注意k),Uk U( k)。到这些动态约束均配置在配点上,而不包括2个边界点。起始边界点的约束为:X0 X(-1),终端边

750

N

西 北 工 业 大 学 学 报第28卷

tf-t0

Xf X0+wkf(Xk,Uk, K;t0,tf)(23)

2 k=1

式中,wk为高斯权重系数。

采用高斯求积公式离散后的性能指标为

J= (X0,t0,Xf,tf)+

tf-t0

wkg(Xk,Uk, k;t0,t)2k =1

N

VREf

=

hfVf fRf(24)

式中R为航程,由下式计算

R=-

边界条件为

(X0,t0,Xf,tf)=0

在配点处的过程约束为:

C(Xk,Uk, 0K;t0,tf)

(25)

E0

Ef

dED

3 算例及结果分析

3 1 初始条件

算例初始返回点高度:70km,速度:2500m/s;速度倾角:0 。返回点经纬度为(100 ,30 )。飞行器质量为6853kg,气动力数据拟合公式为

2

CL=0 000181 +0 022956 - 0 010935Ma+0 0042806CD=0 000689 -0 0059261 - 0 0018487Ma+0 074615

选取配点数为30,以飞行器的纵向航程最大为性能指标,即:J=-Rf。

返回各种约束中,状态变量约束为

0m

70

0000 -89 -20

-180

控制约束为

8

-80 过程约束为

00Pa

0W/m

2

U

2

(k=1, ,N)(26)

2 2 返回轨迹优化约束

若只是获得一条满足各种约束的标准轨迹那么可令性能指标为0,即J=0,这种情况为可行解。若对某一指标优化,如航程最大,则可将其设置为性能指标,这种情况为最优解。

除性能指标外,返回过程还要满足状态约束、控制约束、过程约束以及终端约束等。

(1)状态约束

(11)式~(15)式所示的能态微分方程组形成了5维状态空间

X={(r, , , , ) R:xi xi=1, ,5 xi}式中,xi为状态的下边界,xi为状态的上边界。

(2)控制约束

在亚轨道飞行器返回过程中,控制变量为攻角 和速度倾斜角 ,这两个控制变量也是有约束的

2LU

U={( , ) R:ui ui=1,2 ui} 某些情况下,若攻角 剖面预先给定时,那么控制变量主要是倾斜角 。ui为控制变量的下边界,ui

为控制变量的上边界。

(3)过程约束

除了状态约束和控制约束外,还要考虑过程约束,过程约束主要有过载约束、动压约束以及热流约束

q nmaxqmaxQ L

L

U5

L

U

180 89 -1 180

[35 80

2 512000Pa250000W/m

30km

2

q

hfVf=

终端约束为

860m-7

(4)终端约束

主要包括高度约束、速度约束、速度倾角约束、航程约束以及速度方位角约束,终端约束即可以写成等式约束,也可以写成不等式约束。

3 2 计算结果及分析

最优解所得到的性能指标即最大航程为:844 15km。计算结果如表1和图1所示。

第5期闫晓东等:

基于伪谱法的亚轨道飞行器返回轨迹优化设计

751

图1 优化结果

表1 最优解的终端值及过程约束变量值高度/km30

速度/m s-1

860

速度倾角-7

最大过载2 5

最大动压7169

最大热流245 48

于积分过程的控制量是由优化结果插值得到的。

从图1中的攻角曲线可以看出,在满足约束的前提下,整个过程没有采用最大的攻角飞行,而是攻角由小变大然后再迅速减小。这样,保证了在满足动压、过载等约束的同时,利于得到最大航程。从倾斜角曲线可以看出,倾斜角一直为0 ,使得飞行器飞行在一个较高的高度,从而得到最大航程。从速度倾角曲线可以看出,速度倾角在-1 以下,满足状态约束。

从优化结果来看,终端值的高度、速度、速度倾角以及航程均满足约束要求,法向过载、动压以及热流密度等过程约束也满足约束要求。

3 3 优化结果的可行性及分析

优化结果是原问题离散化后的解,有必要对优化结果进行可行性验证。验证的方法是用优化得到的控制量作为输入,对原问题进行积分。由于采用伪谱法的优化结果分布在一系列不等距点上,因而在积分过程中采用线性或三次样条对控制量插值,作为积分过程的输入。优化结果和积分结果见图2。

不难发现,优化结果和积分结果吻合较好,具有一致性,说明优化结果是可行的。不过优化结果与

返回轨迹优化问题是一个较为复杂的最优控制问题。为了提高优化速度并便于进行优化计算,对动力学方程进行处理,转化为能态方程,并进行了归,,图2 优化结果与积分结果对比

4 结 论

752

西 北 工 业 大 学 学 报第28卷

伪谱法作为一种直接优化方法,具有收敛速度快、计算精度高等优点。算例的仿真结果表明,利用伪谱法进行亚轨道飞行器返回轨迹的生成与优化设

计是可行的。但是在实际应用过程中也发现,伪谱法对于初始条件具有一定的敏感性。

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YanXiaodong,TangShuo,AnAlternativeMethodofEntryTrajectoryDesignforSuborbitalLaunchVehicle.JournalofAstro-nautics,2008,29(2):467~471(inChinese)

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MassachusettsInstituteofTechnology,2007

JournalofGuidance,ControlandDynamics,1998,21

ApplyingPseudo-Spectral(PS)MethodtoOptimizingEntry

TrajectoryofSuborbitalLaunchVehicle(SLV)

YanXiaodong,TangShuo

(CollegeofAstronautics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi an710072,China)

Abstract:Sections1and2ofthefullpaperexplainhowtoapplythePSmethodtooptimizingtheentrytrajectoryofSLV.Theircoreconsistso:ftoacceleratetheoptimization,weconvertthedynamicsequationstothosewithenergyasindependentvariableandthennormalizethemintoeqs.(11)through(15);theoptimizationproblemwithfreefinaltimeistransformedintotheoptimizationproblemwithfixedintegrationrange;we,takingstateconstraints,

controlconstraints,pathconstraintsandfinalboundaryconditionsintoconsideration,implementtheoptimizationoftheentrytrajectoryofSLV.Thesimulationresults,giveninTable1andFigs.1and2,andtheiranalysisshowpreliminarilythatthePSmethodgivesgoodconvergencespeedandgoodcomputationprecisionandthuscanopt-imizetheentrytrajectoryofSLV.Keywords:

trajectories,

optimization,

suborbitallaunchvehicle(SLV),

entrytrajectory,

pseudo-spectral

(PS)method

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tml4.html