边角互化

例1 已知在?ABC中，c?10,A?45,C?30,求a,b和B 解：?c?10,A?45,C?30 ∴B?180?(A?C)?105

000000csinA10?sin450ac由得 a???102 ?0sinCsinAsinCsin30由

bc得 ?sinBsinCcsinB10?sin10506?20b???20sin75?20??56?52 0sinC4sin30例2 在?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C

bccsinB1?sin6001解：∵?,?sinC???

sinBsinCb23?b?c,B?600,?C?B,C为锐角，?C?300,B?900

∴a?b2?c2?2

6,A?450,a?2,求b和B,C

例3 ?ABC中，c?accsinA?,?sinC??解：?sinAsinCa?csinA?a?c,?C?600或1200

6?sin4503?

22csinB6sin750?当C?60时，B?75,b???3?1，

sinCsin60000csinB6sin150?当C?120时，B?15,b???3?1 0sinCsin6000?b?3?1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x?23x?2?0的两个根，且

2cos(A+B)=1

求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积 解：（1）cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=?

21 ∴C=120? 2（2）由题设：?2

2

2

?a?b?23?a?b?2

∴AB=AC+BC?2AC?BC?osC?a?b?2abcos120

22??a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10 即AB=10

（3）S△ABC=

11133 absinC?absin120???2??22222(2)、在△ABC中，已知a=3，b=2，B=450，求角A、C及边c.

(3)．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A:B:C=1:2:3，则a:b:c=( ) A. 1:2:3 B. 2:3:4 C. 3:4:5 D. 1:3:2 例3．（1）在△ABC中，sinA+cosA=

2，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积. 2

（2）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大

小。

（3）已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.

15.【2012高考广东文6】在△ABC中，若?A?60?，?B?45?，BC?32，则AC? A. 43 B. 23 C. 【答案】B

3 D.

3 2【解析】根据正弦定理，

BCACBC?sinB，则AC???sinAsinBsinA32?3222?23 19.【2102高考北京文11】在△ABC中，若a=3，b=3，∠A=【答案】90?

【解析】在△ABC中，利用正弦定理

?，则∠C的大小为_________。 3ab331，可得??sinB?，所??sinBsinAsinB2sin3以B?30?。再利用三角形内角和180?，可得?C?90?．

520.【2102高考福建文13】在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC?3，

则AC=_______.

【答案】2．

【解析】由正弦定理得

ACBCBC?sinB，所以AC???sinBsinAsinA3?3222?2

22.【2012高考重庆文13】设△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且

1a=1，b=2，cosC?，则sinB? 4 【答案】

15 424.【2012高考陕西文13】在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2 ，B=

?，c=23，则b= . 6【答案】2.

【解析】由余弦定理知b?a?c?2accosB?4?12?2?2?23?2223?4，?b?2. 226.【2012高考浙江文18】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，

b，c，且bsinA=3acosB。

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值. 【答案】

【解析】（1）?bsinA=3acosB，由正弦定理可得sinBsinA?3sinAcosB，即得

tanB?3，?B??3.

222（2）?sinC=2sinA，由正弦定理得c?2a，由余弦定理b?a?c?2accosB，

9?a2?4a2?2a?2acos?3，解得a?3，?c?2a?23. 27.【2012高考安徽文16】（本小题满分12分）

设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,，且有

2sinBcosA?sinAcosC?cosAsinC。

（Ⅰ）求角A的大小；

在△ABC 中，内角A，B，C所对的分别是a,b，c。已知a=2.c=2,cosA=-（I）求sinC和b的值；

（II）求cos（2A+【答案】

2. 4д）的值。 3

39.【2012高考湖北文18】（本小题满分12分）

b【.2012高考真题陕西理9】在?ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若a?则cosC的最小值为（ ） A.

222?c2，

3211 B. C. D. ? 2222【答案】C.

1a2?b2?(a2?b2)a?b?ca2?b22ab12【解析】由余弦定理知cosC?????，

2ab2ab4ab4ab2222故选

12.【2012高考真题天津理6】在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=

77 （B）? 2525724 （C）? （D）

2525（A）【答案】A

【解析】因为C?2B,所以sinC?sin2B()?2sinBcoBs,根据正弦定理有

cbcsinC8siCn184，所以，所以coBs?。又??????sinCsinBbsinB52siBn255167，选A. coCs?co2sB)(?2co2sB?1，所以cosC?2cos2B?1?2??1?252515.【2012高考真题湖北理11】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若

(a?b?c)(a?b?c)?ab，则角C? ．

【答案】 【解析】

2? 3由（a+b-c）(a+b-c)=ab,得到a2?b2?c2=-ab

a2?b2?c2-ab12

根据余弦定理cosC?=??,故?C??2ab2ab231，则b=_______。 416.【2012高考真题北京理11】在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=?【答案】4

a2?c2?b214?(c?b)(c?b)???【解析】在△ABC中，利用余弦定理cosB?

2ac44c?c?34?7(c?b)?，化简得：8c?7b?4?0，与题目条件b?c?7联立，可解得?b?4 ?4c?a?2?19.【2012高考真题重庆理13】设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cosA?3，5cosB?

5,b?3则c? 13【答案】

14 535124,cosB?,所以siA，sinB?，n?513135【解析】因为coAs?sinC?sin(A?B)?3cbc4512356?,根据正弦定理得,解?????sinBsinC1256513135651365得c?14. 523.【2012高考真题新课标理17】（本小题满分12分）

已知a,b,c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边，acosC?3asinC?b?c?0

（1）求A （2）若a?2，?ABC的面积为3；求b,c. 【答案】（1）由正弦定理得：

acosC?3asinC?b?c?0?sinAcosC?3sinAsinC?sinB?sinC

?sinAcosC?3sinAsinC?sin(a?C)?sinC ?3sinA?cosA?1?sin(A?30?)?12

?A?30??30??A?60? （2）S?1bcsinA?3?bc?4 2 a2?b2?c2?2bccosA?b?c?4

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