第三章 线性平稳时间序列分析

1 第三章 线性平稳时间序列分析

在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要的随机序列。在这方面已经有了比较成熟的理论知识，最常用的是ARMA （Autoregressive Moving Average ）序列。用ARMA 模型去近似地描述动态数据在实际应用中有许多优点，例如它是线性模型，只要给出少量参数就可完全确定模型形式；另外，便于分析数据的结构和内在性质，也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制。本章将讨论ARMA 模型的基本性质和特征，这是时间序列统计分析中的重要理论基础。

§3.1 线性过程

通常假设随机序列是由平稳序列{}t X 与相互独立的冲击或振动{}t ε叠加生成，其中t ε是服从某一固定分布的随机变量，实际中由于t ε的独立性及分布情况难以确定，常用白噪声序列来定义。在正式讨论之前，我们首先给出相应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性差分方程，这些工具会使得时间序列模型表达和分析更为简洁和方便，下面是延迟算子的概念。

定义 设B 为一步延迟算子，如果当前序列乘以一个延迟算子，就表示把当前序列值的时间向过去拨一个时刻，即1-=t t X BX 。

进一步地，对于任意的n ，延迟算子B 满足：

22

t t n t t n

B X X B X X --=

=

一般地，延迟算子B 有如下性质：

(1) 01B =；

(2) 若c 为任意常数，则()()1t t t B c X c B X c X -?=?=?；

(3) 对于任意的两个序列{}t X 和{}t Y ，有()()()11t t t t t t B X Y B X B Y X Y --±=±=±；

(4) ()()()01!1!!n

n n i i n B B i n i =--=-∑。 接下来我们讨论求解线性差分方程。

定义 定义如下形式方程为序列{:0,1,2,}t z t =±±的线性差分方程：

()11t t p t p z z z h t αα--++

+=， 其中1p ≥，1,

,p αα为实数，()h t 为t 的已知函数。

特别地，当函数()0h t =时，差分方程：

2

110t t p t p z z z αα--+++=

称为齐次线性差分方程。否则，线性差分方程称为非齐次线性差分方程。

在时间序列模型中，求解差分方程起着重要的作用，t X 关于白噪声序列t ε的有限参数模型都是用线性差分模型表示的。下面我们讨论线性差分方程解的问题，首先讨论齐次线性差分方程解的情况。为此，需要先定义齐次线性差分方程的特征方程和特征根。下列方程：

110p p p λαλα-++

+=

称为齐次线性差分方程的特征方程。这是一个一元p 次线性方程，它至少存在p 个非零根，

称这p 个非零根为特征根，记为12,,

,p λλλ。

根据特征根12,,,p λλλ的情况，齐次线性差分方程解的解有如下情形：

1. 特征根12,,

,p λλλ为互不相同的实根

这时齐次线性差分方程的解为

11t t

t p p

z c c λλ=+

+ 其中，1,

,p c c 为任意实数。

2. 特征根12,,,p λλλ中有相同实根

此时不妨设1d λλ==为d 个相同实根，1,,d p λλ+为互不相同的实根，齐次线性差

分方程的解为：

()2112111d t t

t

t d d d p p

z c c t c t c c λλλ-++=++

+++

+ 其中，1,

,p c c 为任意实数。

3. 特征根12,,,p λλλ中有复根

此时由于1,

,p c c 为任意实数，所以若方程有复根，则必有共轭复根，不妨假定

12,i i a ib re a ib re ωωλλ-=+==-=

为一对共轭复根，其中arccos a

r r

ω==，3,

,p λλ为互不相同的实根，这

时齐次线性差分方程的解为：

()111233

t t

t p p t

it it t t p p

z c c r c e

c e

c c ω

ω

λλλ

λ-=++=+++

+

其中，1,,p c c 为任意实数。

对于非齐次线性差分方程解的问题，通常分下下列两个步骤进行：首先求出对应齐次线

性差分方程的通解t z '，然后再求出该非齐次线性差分方程的一个特解t z ''，即t z ''满足：

()11t t p t p z z z h t αα--''''''++

+=

则非齐次线性差分方程()11t t p t p z z z h t αα--++

+=的解为对应齐次线性差分方程的解

t z '和该非齐次线性差分方程的一个特解t z ''之和，即

3 t t t z z z '''=+

由此可见，非齐次线性差分方程的特解依赖于函数()h t 的形式，齐次线性差分方程的通解依赖于对应特征方程的根，并且带有任意常数。时间序列模型的最终特性通常是被齐次差分方程所支配。

3.1.1线性过程的定义

定义3.1 },{Z t X t ∈称为线性过程，若

t j t j j X G ε∞-=-∞

=∑

(3.1) 其中，{}t ε是白噪声序列，系数序列}{j G 满足

∑∞<∞-∞

=j j G 2

(3.2) 若其中系数序列满足0,0j G j =<，则系统表为

t j t j j X G ε∞

-==∑

(3.3) 称系统为因果性的。

下面不加证明地给出线性过程的相关结果。

定理3.1 定义（3.1）中的线性过程是平稳序列，且无穷滑动和是均方收敛的。 证明：由于{}t ε为白噪声序列，因此{}t ε为正交序列，又：

∑∞<∞-∞=j j

G 2

故有

2

2

20,N

N j t j j j M j M

E G G M εσ

-==??=→→∞ ???∑∑

从而无穷滑动和均方收敛，且

0t j t j j EX G E ε∞

-=-∞

==∑

k t t k X EX -=γ

j t j l t k l j l E G G εε∞∞

---=-∞=-∞??

=? ???

∑∑

2

j j k j G G σ∞

-=-∞

=∑

4 故}{t X 为平稳序列。

3.1.2 线性过程的因果性和可逆性

上节提到，在应用时间序列分析去解决实际问题时，所使用的线性过程是因果性的，即： 0t j t j j X G ε∞-==

∑,10=G (3.4)

∑∞<∞=02j j G (3.5)

设B 为一步延迟算子，则j t t j X X B -=，0≥j ，(3.4)可表为：

0()j t j t t j X G B G B εε∞=??== ???

∑ (3.6)

其中，∑=∞=0)(j j

j B G B G ，今后将把)(B G 看作对t ε进行运算的算子，又可作为B 的函数来

讨论。

函数)(B G 中系数序列}{j G 可以是有限项，也可以是无限项。在无限项时要求(3.4)满足一定的收敛性。要使}{t X 平稳，则要求}{j G 满足(3.5)。函数)(B G 在1≤B 时收敛可作为∑∞

=0j j G 收敛的充分条件。通常更便于使用的条件是：

∞<∑∞

=0j j G (3.7) 在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用t 时刻及t 时刻以前的),1,0( =-j X j t 来表示白噪声t ε，即

1

1()t t t j t j j G B X X I X ε∞--===-∑ (3.8)

其中

∑-==∞=-111)()(j j

j B I B I B G (3.9)

称将t X 变换为t ε的线性算子：

5 1,)(00-=∑-=∞

=I B I B I j j j

为逆函数，称(3.8)为t X 的逆转形式，也称为无穷阶自回归。

与因果性完全类似，为使(3.8)中级数有意义，易证，若∞<∑∞=02j j I ，则(3.8)级数为均

方收敛。

定理3.2 若(3.4)、(3.5)中的系数序列}{j G 满足(3.7)，且

1,0)(0≤≠∑=∞

=B B G B G j j j

则)(1

B G -可表为(3.9)，且有 ∞<∑∞=0

j j I

1,0)(0≤≠∑-=∞=B B I B I j j j

由上述定理可见：)(B G 的零点都在单位圆外与)(B I 的零点都在单位圆外是等价的。 §3.2 自回归模型AR(p)

上节中所讨论的线性过程及其逆转形式都是无穷和的形式，当用有限和去逼近时即产生有限参数线性模型，而且许多平稳序列本身就是由有限参数线性模型刻画的。有限参数线性模型是时间序列分析中理论最基础、应用最广泛的部分。如下将讨论AR 、MA 和ARMA 三种有限参数线性模型。

3.2.1一阶自回归模型AR(1)

通常地，由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种情形就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关，用数学模型来描述这种关系就是下面介绍的一阶自回归模型。

定义3.2 }{t X 为零均值平稳序列，满足如下差分方程：

1t t t X c X φε-=++ (3.10)

其中，φ为t X 对1-t X 的依赖程度，{}t ε为白噪声序列，满足()20,t t E Var εεσ==，则称

6 }{t X 满足一阶自回归模型(Autoregressive Model)，常记作AR(1)。图3.1为一个零均值的AR(1)模型200个模拟数据。 -4

-2

2

4204060140160AR(1)

图3.1 零均值的AR(1)过程

在一阶自回归AR(1)模型中，保持其平稳性的条件是对应的特征方程

0λφ-=

的根的绝对值必须小于1，即满足1φ<。对此，我们可以通过如下推导过程加以理解。利用延迟算子，对于一阶自回归模型AR(1)：1t t t X c X φε-=++可写为 ()1t t B X c φε-=+

()()

()11111t t t X B c c B φεφεφ

--=-+=+-- 在 1φ<条件下，有

()1111j j t t j t t t j c X B B c φφεφεφεφεφ--=+++++-=+++++- (3.11)

若保证AR(1)具有平稳性，0j j j B φ∞

=∑必须收敛，即自回归参数φ必须满足1φ<，或者满足011j j φφ

∞==

<∞-∑。这是容易理解的。 反之，如果1φ>，根据(3.11)中t ε对X 的影响不会随着时间的递增而消失，系统不是

7 有限方差的协方差平稳过程，

0j j j B φ∞=∑发散。于是，}{t X 变成一个非平稳随机过程，这个

过程一般称为爆炸性过程。 因为{}t ε是一个白噪声过程，根据(3.11)式，对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易得

()1t c E X μφ==- (3.12)

()()

1202

2

11j t t t t j j t j j c Var X Var Var εφεφεφ

φεσφ--∞

-=??=+++++ ?-??==-∑ (3.13) (3.13)式也说明，若要保证}{t X 平稳，则必须保证1φ<。

例3.1 设一阶自回归AR(1)模型10.6t t t X X ε-=+，则

()10.6t t B X ε-=

()1110.60.60.6t t

j t t t j X B εεεε---=-=++

++

上式变换为一个无限阶的移动平均过程。 3.2.2 二阶自回归模型AR(2)

当变量当前的取值主要与其前两时期的取值状况有关，用数学模型来描述这种关系就是如下的二阶自回归模型AR(2)：

1122t t t t X c X X φφε--=+++ (3.14)

引入延迟算子B 的表达形式为：

2

12(1)t t B B X c φφε--=+ (3.15) 首先讨论AR(2)模型的平稳性问题，此时，差分方程的平稳条件是特征方程

2120λφλφ--=

的根12,λλ都落在单位圆内，即

8 | λ1| < 1, | λ2| < 1

容易计算两个特征根分别是

12,λλ=

下面利用特征方程的根与模型参数12,φφ的关系，给出AR(2) 模型平稳的12,φφ的取值条件（或值域）。由初等数学知识易得

121λλφ+=

122λλφ=-

从而，有

()()21121212111φφλλλλλλ+=-++=--- ()()21121212111φφλλλλλλ-=--+=-++

则由| λ1| < 1, | λ2| < 1，无论λ1, λ2为实数或共轭复数，都有

12(1)(1)0λλ±±>

从而，得

211φφ±< (3.16)

进一步地，有

21φ< (3.17)

(3.16)和(3.17)式是保证AR(2)模型平稳，回归参数12,φφ所应具有的条件。反之，若(3.16)和

(3.17)式成立，则特征方程特征方程2120λφλφ--=的根必落在单位圆内。满足条件(3.16)

和(3.17)式给出的区域(){}

12212,1,1φφφφφ±<<称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角形区域，见下图阴影部分。

图3.2 平稳AR(2) 模型参数12,φφ取值区域（阴影部分）

9 回归参数12,φφ的取值变化分以下三种情形讨论：

(1) 当21240φφ+=时，有12λλ=为相等实数根。12,φφ取值在图中的抛物线上，称为

临界阻尼状态；

(2) 当21240φφ+>时，12,λλ 为不等实数根。12,φφ的值位于过阻尼区（自相关函数呈

指数衰减）；

(3) 当21240φφ+<时，12,λλ为共轭复根。12,φφ的值位于欠阻尼区（自相关函数呈正

弦震荡衰减）。

由此，对于二阶自回归模型AR(2)模型：1122t t t t X c X X φφε--=+++来说，可以使用两种方法判断其平稳性，它们分别是：

(1) 利用模型对应的特征根12,λλ的约束条件，即满足| λ1| < 1, | λ2| < 1；

(2) 利用模型参数12,φφ的约束条件，满足(){}

12212,1,1φφφφφ±<<。 例3.2 设AR(2)模型：120.70.1t t t t X X X ε--=-+，试判别t X 的平稳性。 解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以通过两种径进行讨论： 方法1：（利用12,φφ的约束条件） 120.6φφ+=，120.8φφ-+=-，20.1φ=-，

满足条件(3.16)和(3.17)，所以t X 是平稳的。

方法2：（利用特征根都落在单位圆内的条件）

模型120.70.1t t t t X X X ε--=-+对应的特征方程为

20.70.10λλ-+=

特征方程的两个根是120.7,2

λλ±=，即| λ1| < 1, | λ2| < 1。因为两个根都在单位圆内，所以t X 是平稳的。

例3.3 设AR(2)模型120.70.6t t t t X X X ε--=++，试判别t X 的平稳性。 解：

方法1：（利用12,φφ的约束条件）

由于

10 12 1.3φφ+=，120.1φφ-+=-，20.6φ=，

不满足条件(3.16)，所以t X 是非平稳的。

方法2：（利用特征根都落在单位圆内的条件）

AR(2)模型120.70.6t t t t X X X ε--=++对应的特征方程为

20.70.60λλ--=

特征方程的两个根是121.2,0.5λλ==-，因为一个根1.2在单位圆外，所以t X 是一个非平稳的序列。

关于二阶自回归AR(2)模型因果性问题，考虑特征方程

2120λφλφ--=

其特征根1λ和2λ为

1211,(2

λλφ=

所以t X 可用部分分式来展开（设21λλ≠） ()212121212121211120

12111 (1)(1)

11 (1)(1)1 t t t t j j t j j X B B B B B B εφφελλλλελλλλλλλλελλ∞++-==

--=

--??=?+? ?----??

=--∑ (3.18)

下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳的二阶自回归模型AR(2)模型：

1122t t t t X c X X φφε--=+++，

可以直接求出其均值μ。我们对式(3.14)两边取期望，得到

112212()()()t t t E X c E X E X c μφφφμφμ--==++=++

即

12

()1t c

E X μφφ==-- (3.19)

11 关于序列的方差，将在后面章节讨论。

3.2.3 p 阶自回归模型AR(p)模型

如果t X 与过去时期直到p t -期的自身取值相关，则需要使用包含1,

,t t p X X --在内

的p 阶自回归AR(p)模型的一般形式为： ()()112,~0,,

, 0t t p t p t t s t X X X WN s t E X φφεεσε--=+++?????

这里(), 0s t s t E X ε?

当0c =时，自回归模型称为中心化的AR(p)模型。一般的AR(p)序列也可以通过下述的变换转化为中心化的AR(p)序列

令

12,1t t p c

Y X μμφφφ==-----

则{}t Y 为}{t X 的中心化序列。由于这种变换对于序列之间的相关关系没有任何影响，所以在以后的篇幅中，如果涉及讨论AR(p)模型的相关关系时，简单起见，我们仅对中心化的AR(p)模型进行讨论就可以了。

下面我们利用差分方程求解的方法讨论AR(p)模型的平稳问题。考虑一个中心化的AR(p)模型：

()t t B X εΦ=

(3.21) 其中，212()(1)p p B B B B φφφΦ=----为算子多项式。根据非齐次差分方程解的情况，

模型(3.21)有通解为： t t t X X X '''=+

其中，t X '为对应齐次差分方程()0t B X Φ=的通解，t X ''是非齐次差分方程()t t B X εΦ=的一个特解，接下来我们给出t X '和t X ''的具体形式。

(1) 首先求对应齐次差分方程()0t B X Φ=的通解t X '。

假定其对应特征方程110p p p λφλφ----=的p 个特征根为12,,,p λλλ，根据前面的讨论，一般地，这p 个特征根可能有如下情形：

12

1d λλ=

=为d 个相同实根；

12,

,d p m λλ+-为2p d m --互不相同的实根；

21,

,p m p λλ-+为2m 个复根，它们两两共轭。

则齐次差分方程()0t B X Φ=的通解为：

()21

121

1

21

cos sin p m

p

d j t t t t j j

j

j

j j j j j j j d j p m X c t c r c t c t λλ

ωω--==+=-+'=+

+

+∑∑∑

这里()1212,

,,,1,

,p m j j c c c c j m -=为任意实数。

(2) 再求非齐次差分方程()t t B X εΦ=的一个特解t X ''。 由于12,,

,p λλλ为所对应的特征根，因此

110,

1,,p p j j p j p λφλφ---

-==

进而

1

1

1

10,1,,p

p

j

j j p φφλλ--

-==，

这说明1

,1,

,j j

u j p λ=

=是方程212()10p p u u u u φφφΦ=----=的根，即AR(p)

模型的自回归系数多项式方程()0u Φ=的根与对应齐次差分方程()0t B X Φ=的特征根互为倒数。由此，自回归系数多项式可以写为

()1

()1p

j j B B λ=Φ=-∏

因此，我们可以得到非齐次差分方程()t t B X εΦ=的一个特解

()

1

1

1

()

1t t t p

j

j X B B εελ=''=

=Φ-∏

部分分式展开得到

()

11

1

11p

j

t t t p

j j j

j k X B

B εελλ==''=

=--∑

∏

13 其中1,

,p k k 为任意实数。 由上述讨论，我们获得非齐次差分方程()t t B X εΦ=的通解的具体表达式为：

()211211211cos sin 1p m p p d j j t

t t t j j

j j j j j j j t j j d j p m j j k X c t c r c t c t B λλωωελ--==+=-+==++++-∑∑∑∑

由此，要使得中心化的AR(p)模型()t t B X εΦ=平稳，对任意实数()1212,,,,1,,p m j j c c c c j m -=，1,,p k k ，平稳的充要条件为：

1,1,,21,21,,j j j p m r j p m p

λ?<=-??<=-+?? 这等价于AR(p)模型()t t B X εΦ=的特征根在单位圆内或者自回归系数多项式方程()0u Φ=的根在单位圆外。

§3.3 移动平均过程MA （q ）

3.3.1一阶移动平均过程MA(1)

有些情况下，序列{}t X 的记忆是关于过去外部干扰的记忆。在这种情况下，{}t X 可以表示成过去干扰值和现在干扰值的线性组合，此类模型常称为序列{}t X 的移动平均模型。最简单的情形是如下的一阶移动平均模型：

1t t t X μεθε-=+- (3.22)

其中，μ为常数，θ为移动平均系数，{}t ε是白噪声过程，满足()20,t t E Var εεσ==，

则称模型(3.22)为一阶移动平均模型（Moving Average ），记为MA(1)。图3.2为一个零均值的MA(1)序列200个模拟数据。

14 -4

-3

-2

-1

1

2

3

20406080100120140160180200MA(1)

图3.2 零均值的MA(1)过程

容易计算，MA(1)的期望为

1()()()t t t E X E E μεθεμ-=+-= (3.23)

方差为

2222222111()()(2)(1)t t t t t t t E X E E μεθεεθεεθεθσ----=-=-+=+ (3.24)

由于MA(1)序列是白噪声序列t ε与其延迟项1t ε-的加权和构造形成的，所以，MA(1)序列{}t X 是显然平稳的。类似于自回归模型的平稳性讨论，与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。对于零均值的MA(1)序列

1t t t X εθε-=-

模型可写为

()1t t B X θε-=

()11t t B

X εθ-=-

在 1θ<条件下，有

()11j j t t j t t t j B B X X X X εθθθθ--=++++

=++++

这是一个无限阶的以几何衰减特征为权数的自回归过程，此时MA(1)模型可以展成无穷阶的自回归模型，称MA(1)模型是可逆的。

3.3.2 q 阶移动平均过程

如果一个随机过程成分的可用下式表达

11t t t q t q X μεθεθε--=+--

- (3.25)

15

其中，θ 1, θ 2, …, θ q 是回归参数，{}t ε是白噪声过程，满足()20,t t E Var εεσ==，则上式称为q 阶移动平均模型，记为MA(q ) 。

同样，容易计算其均值和方差分别为

()

()()()1111()t t t q t q t t q t q E X E E E E μεθεθεμεθεθεμ

----=+--

-=+--

-= (3.26)

()2

2112222

12()()(1)t t t t q t q q Var X E X E μεθεθεθθθσ--=-=---=+++

+ (3.27) 显然，对于q 阶移动平均模型MA(q )均满足平稳性。因此，移动平均模型MA(q )的平稳性对于参数没有任何要求。

§3.4 自回归移动平均过程ARMA(p, q)

3.4.1自回归移动平均过程ARMA(p, q)

如果序列}{t X 的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部干扰存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部干扰，这种模型叫做自回归滑动平均模型(Autoregressive-Moving Average Model )，即ARMA(p , q )模型。

定义3.3 ARMA(p , q )模型的一般表达式为：

()()11112

,

~0,, , 0t t p t p t t q t q t s t X c X X WN s t E X φφεθεθεεσε----=++++--

-????

(3.28)

其中，1,

,p φφ为自回归系数，1,,q θθ为移动平均系数。写成带有延迟算子的形式为：

2121(1)(1)p q p t p t B B B X c B B φφφθθε----=+-- (3.29)

对于(3.29)，两侧同时除以1(1)p p B B φφ--

-，可以得到

()t t X G B με=+ (3.30)

其中

()

()

111()1q q p

p B B B G B B B B θθφφ---Θ=

=

--

+Φ (3.31)

16 12(1)p c

μφφφ=---- (3.32)

模型的平稳性和可逆性是讨论AR 、MA 、ARMA 模型的前提条件，从数据出发建立模型，需要检验所得模型是否满足平稳性和可逆性。检验的方法是根据代数方程的根与系数的关系，对模型参数的约束条件进行讨论，为此，引入模型参数的平稳域与可逆域的概念。

定义3.4 （平稳域）设ARMA 模型的自回归系数和滑动平均系数的向量表示为：

1(,,)T p φφ=φ，1(,,)T p θθ=θ

对AR(p)或ARMA(p,q)模型，使()0B Φ=的根全在单位圆外的参数向量φ的全体构成一个p 维向量空间p R 上的子集，记为(){:()0}p B φΦ=Φ=的根全在单位圆外，称)(p Φ为AR(p)或ARMA(p,q)模型的平稳域。

定义3.5 （可逆域）对MA(q)或ARMA(p,q)模型，使()0B Θ=的根全在单位圆外的参数向量θ的全体构成一个q 维向量空间q R

上的子集，记为(){:()0}q B θΘ=Θ=的根全在单位圆外，称()q Θ为MA(q)或ARMA(p,q)模型的可逆域。

定义3.6 （平稳可逆域）对ARMA(p,q)模型，如下向量称为平稳可逆域：

()()()():,p p q q φφθθ??Φ????=∈Φ∈Θ ??? ? ?Θ??

????

例3.4 求ARMA(1,1)的平稳域和可逆域。

解：

(1) 平稳域

1111t t t t X X φεθε---=-

t X 平稳11φ?<

以上平稳域与AR(1)的平稳域相同，也即ARMA(1, 1)序列的平稳性仅与自回归系数有关，而与滑动平均系数无关，并且平稳条件与AR(1)的平稳条件相同。

(2) 可逆域

对于ARMA(1,1)，假定可逆形式为

t k k t t X B B B X B a )1()(221 -----==ππππ

代入ARMA(1,1)的滞后算子表示形式，比较同次幂系数可得

11111112111()()()k t t t t t k X X X X εφθθφθθφθ----=-------- 根据可逆性定义，应有11<θ。因此，ARMA （1,1）的可逆域是:

17

{}1:1)1(<=θθθ，

它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关，而且可逆域与MA （1）的可逆域相同。

例3.5 求MA(2)的可逆域。 解：由

2211----=t t t t Y εθεθε，

其特征方程为：

01)(221=--=B B B θθθ

该方程的两个根为：

2

2

211124θθθθλ+--=

2

2

211224θθθθλ++-=

由二次方程根与系数的关系，有

2

1

212

21,1

θθλλθλλ-

=+-

= 当MA （2）平稳时，根的模

21λλ与都必须大于1，因此必有：

11

2

12<=

λλθ

由根与系数的关系，可以推出如下式子：

)1

1)(1

1(12

1

12λλθθ-

-

-=+

)1

1)(1

1(12

1

12λλθθ+

+

-=-

由于21θθ、是实数，21λλ与必同为实数或共轭复数。又因为1>i λ，因此

01

1>i

λ

故

=±12θθ1)1

1)(1

1(12

1

<-λλ

18

反之，如果12<θ，且112<±θθ。那么从11

2

12<=

λλθ可以推出至少有一个1>i λ，

例如，假设

11>λ，则根据1)1

1)(1

1(12

1

<-λλ

可推出0)1

1)(1

1(2

1

>λλ

，由

01

11

>λ

可以推出01

12

>λ

，从而12>λ。因此，01)(221=--=B B B θθθ的根在单

位圆之外。

从而可知，ARMA(p , q )过程的平稳性完全取决于回归参数1(,,)p φφ而与移动平均参

数无关，即平稳性的充要条件为对应AR(p )部分的特征方程：

110p p p λφλφ---

-=

的根在单位圆内。

3.4.2 模型的传递形式和格林（Green ）函数

当()0B Φ=的根在单位圆外时，ARMA(p,q )模型()()t t B X B εΦ=Θ可表示为：

1()()t t X B B ε-=ΦΘ:()t G B ε= (3.33)

由部分分式展开，)(B G 可表为

1

()()()j j j G B B B G B ∞

-==ΦΘ=∑

比较两边B 的同次幂系数，得到：

1

1

(1)()(1)p q

j

j

j j j j j j j B G B B φθ∞===-=-∑∑∑

0111211211,,,

G G G G φθφφθ==-=+

-

写成通式为：

**0

,1,2,

l

j l j

l j G

l φθ-===

∑ (3.34)

19 其中

*

*0,11,0,j j

j p j p φφφ≤≤?=-=?>?，???>≤≤=q j q j j j ,01,*θθ (3.35) 可以得到}{j G 的递推公式：

*1*1

,1,l l j l j j l l j l j j G l q

G G j q θφφ-=-=?-≤≤??=??->??∑∑ 定义3.7 当}{t X 表示为

00

j

t j t j t j j j X G B G εε∞∞

-====∑∑ (3.36) 即称为ARMA(p,q)模型的传递形式，或}{t X 的Wold 分解，称}{j G 为格林函数，或Wold 系数。

从格林函数的展开式可以看出，j G 是j 个单位时间以前加入系统的冲击或扰动t ε对现在影响的权重。另一方面，格林函数表示了系统对冲击t j ε-有多大的记忆，也即如果有单个t ε加入系统，格林函数决定了系统将用多久能够恢复到它的平衡位置。

例3.6 求AR(1)模型的格林函数。

解：由于

1(1)t t B X φε-=

221110

(1) t t j t j

j j t j

j X B B G φφεφεε∞-=∞-==+++

==∑∑

所以，

,2,1,0,1==j G j j ?

例3.7 求ARMA(2,1)模型的格林函数。

20 解：将ARMA(2,1)模型的自回归部分因式分解为：

21212(1)(1)(1)B B B B φφλλ--=--

即，

121λλφ+=，122λλφ=-

其中，1λ和2λ为二阶线性差分方程的特征根，由特征方程：

2120λφλφ--=

给出。

故，

1211,(2

λλφ=

所以，t X 可用部分分式来展开（设21λλ≠） 1212112112112121211211201221(1)1(1) (1)(1)

11 (1)(1) t t t t j j t j j B X B B B B B B B θεφφθελλλθλθελλλλλλλθλθλλελλλλ∞-=-=

---=--??--=?+? ?----??

??????--=+?? ? ?--??????∑

于是，格林函数为

j j j j j g g G 22112121212111λλλλλθλλλλθλ+=???

? ??--+???? ??--= 其中，1

212221111,λλθλλλθλ--=--=g g 。 对于MA(q)模型，因为()1B Φ=，故()()G B B =Θ，模型本身就是一种传递形式，格林函数为：

,10,

j

j j q G j q θ-≤≤?=?>? (3.37)

21 对于AR(p)或ARMA(p,q)模型，由(3.34)知，当)1,max(+≥q p l 格林函数满足如下形式的齐次差分方程：

()0j B G Φ= (3.38) 设p λλ,,1 为相应特征方程110p p p λφλφ----=的不同的实根，(3.38)的解为：

)1,max(,11+≥++=q p l c c G l p p l l λλ (3.39)

因为1)1,max (,,2,1,-+=q p j G j 为有限个，所以可适当选择常数p c c c ,,,21 ，使对一切1≥l ，(3.39)成立。因为AR(p)和ARMA(p,q)具有平稳性，所以相应特征方程的根都在单位圆内，即p j j ,,2,1,1 =<λ，故由(3.39)得

l g l e g G 21-≤ (3.40) 其中，j p j c g ≤≤=11max ,)ln (m in 12j p

j g λ-=≤≤。 对于MA(q)模型，格林函数满足(3.37)，有0≠-=q q G θ，q j G j >=,0。这时称格林函数为q 步截尾的。对于AR(p)或ARMA(p,q)模型，格林函数}{j G 按负指数规律衰减，这时称格林函数为拖尾的。

3.4.3 模型的逆转形式和逆函数

对于ARMA(p,q)模型，还可以由平稳序列}{t X 的加权和形式来表示白噪声序列，即

1()()t t B B X ε-=ΘΦt X B I )(:=

其中，

1,)(00-=∑-=∞

=I B I B I j j j

定义3.8 ARMA(p,q)模型可表示为

t t j t j j X I X ε∞-==-∑ (3.41)

称(3.41)为ARMA(p,q)模型的逆转形式，称}{j I 为模型的逆函数。

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