数值分析资料报告课程第五版课后习题问题详解(李庆扬等)1

第一章 绪论（12）

1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε==

'=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****

ln ln )(ln )(ln x x x x r δεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *?=='

=-=εε， 相对误差为%2)()(ln )(ln ***

n x x x n r ==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5

?=x 。 [解]1021.1*1

=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4

=x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给

的数。

（1）*4*2*1x x x ++；

[解]3

334*4*2*11**

*4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=???? ????=++∑x x x x x f x x x e n

k k k εεεε；

（2）*3*2*1x x x ；

[解]5

2130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.0102

1)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(33

33334*3*2*1*2*3*1*1*3*21**

*3*2*1*=?=?+?+?=??+??+??=++=???? ????=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k k εεεε；

（3）*4*2/x x 。

[解]53232323*42*4*2*2*41**

*4*2*1088654.0102

1)430.56(461.561021)

430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=?≈??=??=??+??=+=???? ????=∑x x x x x x x f x x e n k k k εεε。 5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 允许的相对误差是多少？

[解]由3

*3**3**)(3

4))(34())(34(%1R R R r ππεπε==可知， )()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε?='??

????=?=， 从而**

*31%1)(R R ?=ε，故300131%1)()(*****=?==R R R r εε。 6、设280=Y ，按递推公式),2,1(783100

11 =-=-n Y Y n n 计算到100Y ，若取982.27783≈（五位有效数字，）试问计算100Y 将有多大误差？

[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，并且由

982.2710011?-

=-n n Y Y ，783100

11?-=-n n Y Y 可知， )783982.27(100

111-?--=---n n n n Y Y Y Y ，即 =-?-=-?-=--)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，从而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，

而31021982.27783-?≤-，所以3100*102

1)(-?=Y ε。 7、求方程01562=+-x x 的两个根，使它至少具有四位有效数字（982.27783≈）

[解]由78328±=x 与982.27783≈（五位有效数字）可知， 982.55982.2728783281=+=+=x （五位有效数字）。 而018.0982.2728783282=-=-=x ，只有两位有效数字，不符合题意。 但是22107863.1982.551783

281

78328-?==+=-=x 。 8、当N 充分大时，怎样求?

++1

211N N dx x ？ [解]因为N N dx x

N N arctan )1arctan(111

2-+=+?+，当N 充分大时为两个相近数相减，设)1arctan(+=N α，N arctan =β，则αtan 1=+N ，βtan =N ，从而 1

1)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=-N N N N N N βαβαβα， 因此1

1arctan 1121

2++=-=+?+N N dx x N N βα。 9、正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ?

[解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知，若要求1))((2**=l ε，则2001100212)

)(()(*2****=?==l l l εε，即边长应满足200

1100±=l 。 10、设22

1gt S =

，假定g 是准确的，而对t 的测量有1.0±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 [证明]因为******1.0)()()()(gt t gt t dt

dS S ===εεε， ***2******

51)(2)(2

1)()()(t t t t g t gt S S S r ====εεεε，所以得证。 11、序列{}n y 满足递推关系),2,1(1101 =-=-n y y n n ，若41.120≈=y （三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

[解]设n y 为n y 的近似值，n n n y y y -=)(*ε，则由?????-==-1

10210n n y y y 与 ???-==-1

1041.110n n y y y 可知，20*1021)(-?=y ε，)(1011---=-n n n n y y y y ，即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-， 从而82100*1010*102

1102110)(10)(?=??==-y y εε，因此计算过程不稳定。 12、计算6)12(-=f ，取4.12≈，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？6)12(1

+，3)223(-，3)223(1+，27099-。

[解]因为1*1021)(-?=f ε，所以对于6

1)12(1+=f ， 2417*11*10211054.61021)

14.1(6)4.1()(---?

1112*22*102

11012.01021)4.123(6)4.1()(---?

+=f ，

2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(---?

'=e f f e ，有一位有效数字； 对于270994-=f ，111*44*102

11035102170)4.1()(?

13、)1ln()(2--=x x x f ，求)30(f 的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算，求对数时误差有多大？

[解]因为9833.298991302==-（六位有效数字），4*1021)(-?=x ε，所以

2

442**11*102994.0102

19833.293011021)13030(1)()()(---?=??-=??---

='=x e f f e ， 6

44

2**22*108336.0102

19833.29301102111)()()(---?=??+=??-+-

='=x x x e f f e 。 14、试用消元法解方程组???=+=+2

10102110

2101x x x x ，假定只有三位数计算，问结果是否

可靠？

[解]精确解为1

10210,110101*********--=-=x x 。当使用三位数运算时，得到1,121==x x ，结果可靠。

15、已知三角形面积c ab s sin 21=，其中c 为弧度，2

0π<

c c b b a a s s ?+?+?≤?。 [解]因为c c ab b c a a c b x x f s n

k k k ?+?+?=???=?∑=cos 2

1sin 21sin 21)()(1， 所以c

c b b c c c c b b c c c ab c c ab b c a a c b s s ?+?+?≤?+?+?=?+?+?=?tan sin 2

1cos 21sin 21sin 21。

第二章 插值法（40-42）

1、根据（2.2）定义的德蒙行列式，令

??????

????????=----n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x V 2121

1

020*******),,,,(，证明)(x V n 是n 次多项式，它的根是121,,,-n x x x ，且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V 。

[证明]由∏∏∏∏-=---=-=-=--?=-?-=1011011

1010110)

(),,,()()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得求证。

2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)

12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)

)(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-?+------?-+-+-+?=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

[解]若取5.00=x ，6.01=x ，

则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则 604752

.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--?---?-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ， 从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-?=L 。 若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ， 693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tmdl.html