高三上学期第二次月考数学理试卷-通用版-有答案

第二次月考数学理试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求）

1．下列四个函数中,与y?x表示同一函数的是（ ）

x2A．y?(x) B．y? C．y?x2 D． y?3x3

x2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（ ） ．．

2A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数 3．1,m?，则m的取值范围是（ ) 已知集合A??0,1,m?，B?{x|0?x?2}，若A?B??A．(0,1) B．(1,2) C．(0,1)?(1,2) D．(0,2) 4．设a?log36,b?log510,c?log714,则（ ）

A．c>b>a

B．b>c>a

C．a>c>b

D．a>b>c

x5．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?3)?f(x)，当0?x?1时，f(x)?2，则f (2015)=

（ ）

A．2 B．?2 C．?6．函数y＝ln

1

的图像为( ) |2x－3|

11 D． 22

7．方程log2x? A．?0,1的实根所在区间为( ) x??1?? B. 2??1??,1? C.?1,2? D. ?2,3? ?2?8． “a?2” 是“函数f(x)?x?a在区间[2,??)上为增函数”的 ( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

9．给出下列命题：

①在区间(0,??)上，函数y?x,y?x,y?(x?1)2, y?x3中有三个是增函数； ②若logm3?logn3?0，则0?n?m?1；

③若函数f(x)是奇函数，则f(x?1)的图象关于点A(1,0)对称； ④若函数f(x)?3?2x?3，则方程f(x)?0有2个实数根。 其中假命题的个数为 （ ） ．．．

A．1 B．2 C．3 D．4

10. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(?x)??f(x?4)，当x?2时，f(x)单调递增，如果x1?x2?4且(x1?2)(x2?2)?0，则f(x1)?f(x2)的值 （ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．可正可负也可能为0

二、填空题：(本大题5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置). 11．函数y?ax?1x?112?1 (a?0且a?1)的图象必经过定点____________.

1m12．f(x)?(m?1)x是幂函数，则m? ； 13．已知函数f(x)??14．已知f(x)?log1?log2x,x?0,x?2,x?0. 若f(a)?1，则a?_________． 2(x2?mx?m).若函数f(x)在区间（-∞，1－3）上是增函数，则实数m的

2取值范围为 .

15．对于函数f(x)与g(x)和区间D，如果存在唯一x0?D，使f(x0)?g(x0)?2，则称

函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好函数”．现给出两个函数： ①f(x)?x，g(x)?2x?4； ③f(x)?e?x2 ②f(x)?2x，g(x)?x?3； ④f(x)?lnx，g(x)?x?1，

，g(x)??1； x则函数f(x)与g(x)在区间?0,???上为“友好函数”的是 。（填正确的序号）

三、解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分13分）已知命题p：f(x)=1-a·3x 在x∈(-∞,0］上有意义，命题q：存在x0?R，

2使得x0?(a?1)x0?1?0，

若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围。

17．（本小题满分13分）已知函数f(x)?log3(ax2?2x?3),a?R.

(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.

18．（本小题共13分）设函数f?x??ax??k?1?a?x?a?0且a?1?是定义域为R的奇函数.

(1)求k值; (2)若f?1??

19．（本小题共13分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间??1,1?上，

3,且g?x??a2x?a?2x?2mf?x?在?1,???上的最小值为?2,求m的值. 2?1?x?0?2x?1，?f(x)??ax?2,其中常数a?R, 且

，0?x?1??x?1(1) 求a的值；

?1?f????2??3?f??. ?2?（2）设函数g(x)?f(x)?f(?x),x?[?2，?1]?[1，2].

①求证：g(x)是偶函数； ②求函数g(x)的值域.

20．（本小题满分1４分）已知函数f(x)?x?(a?2)x?alnx,其中常数a?0.

（1）当a?2时，求函数f(x)的单调递增区间；

（2）当a?4时，若函数y?f(x)?m有三个不同的零点，求m的取值范围； （3）设定义在D上的函数y?h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y?g(x),当

2

x?x0时，若

h(x)?g(x)?0在D内恒成立，则称P为函数y?h(x)的“类对称点”，

x?x0请你探究当a?4时，函数y?f(x)是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分1４分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

?2已知矩阵M???0?0???，记绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为N

42??（Ⅰ）求矩阵N；

（Ⅱ）若曲线C：xy?1在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C?，求曲线C'的方程． （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为?sin2??4cos?，直线l的参数方程为

?x?tcos?,． (t为参数，0????）?y?1?tsin??（Ⅰ）化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l经过点(1,0)，求直线l被曲线C截得的线段AB的长． （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

设不等式|x?2|?1的解集与关于x的不等式x2?ax?b?0的解集相同． （Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求函数f(x)?ax?3?b5?x的最大值，以及取得最大值时x的值.

参考答案

一、选择题

1 题号 D 选项 2 D 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 8 A 9 A 10 B

二、填空题

11. (1,2); 12. 2 ; 13. a??1或2; 14. [2?23,2] ; 15、②④ 三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤) 16．解：对于命题p，由1?a?3 a?()x对x?x?0对x????,0?恒成立知，

13???,0?恒成立 ， ∴ a?1 ……………（3分）

对于命题q，由△=（a-1）2-4＞0,得a＞3或a＜-1 …………（6分） ∵“p或q”为真,∴p,q中至少有一个为真 ……………（ 8分） 记A?(??,1],B?(??,?1)?(3,??),则a取值范围为A?B ∵A?B?(??,1]?(3,??)

∴a的取值范围为(??,1]?(3,??)……………（13分） （注：本题可以分三种情况讨论，也可以求p,q都为假）

17．解:(1)由f(x)的定义域为R,则ax2?2x?3?0恒成立, ……………（1分） 若a=0时,2x?3?0,x??所以a?0; 由?3,不合题意; ……………（3分） 21. ……………（6分） 32?a?02???2?4?a?3?0得:a?(2)由f(x)的值域为R,所以yy?ax?2x?3,x?R??0，+??, …………（7分）

（也可以说y?ax?2x?3取遍一切正数）

①若a?0时,y?2x?3可以取遍一切正数,符合题意, ……………（9分）

2???a?01②若a?0时,需?,即; ……………（12分） 0?a?23???2?4?a?3?0综上,实数a的取值范围为?0，?.……………（13分）

18．解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,

∴1-(k-1)=0,∴k=2,

经检验知:k=2满足题意 ……………（3分）

1332 (2)∵f(1)=,?a??,即2a?3a?2?0,

2a2?1??3?1?a?2或a??（舍去）。 ……………（5分）

2

∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. 令t=f(x)=2x-2-x,

3

由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=,

23

令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥) ……………（8分）

23

若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 ……………（10分）

2

3317253

若m<,当t=时,h(t)min=--3m=-2,解得m=>,舍去 ……………（12分）

224122综上可知m=2. ……………（13分）

a?2a?4?1?219．(1)解： f???， …………………………………………………1分 ?13?2??12由函数f(x)的周期为2，得f()?f(?2)?f(?)?2(?)?1?0……3分

32321212?1??f????2??3?f??， ?2??a?4?0,a??4. ……………………………………………………………4分 3 (2) ①证明：?对?x?[?2，?1]?[1，2]，有?x?[?2，?1]?[1，2]

且g(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)?g(x)，

?g(x)是偶函数. …………………………………………………6分

②解：由①知g(x)是偶函数，所以g(x)的值域与g(x)在[1，2]上的值域相等

…………………………………………7分

g(1)?f(1)?f(?1)?f(1)?f(?1?2)?2f(1)??2,

g(2)?f(2)?f(?2)?2f(0)?4…………………………………………………8分

当1?x?2时, ?2??x??1,g(x)?f(x)?f(?x)?f(x?2)?f(?x?2)

g(x)?2(x?2)?1??4(2?x)?26?2x??7,………………………10分

(2?x)?1x?3g?(x)?2?得2?6?0,g(x)在?1,2?内是增函数, …………………………11分 2(x?3)66?7?g(x)?2?2??7,即?2?g(x)?3.…………………12分 1?32?3

综上知,函数g(x)的值域为??2,3???4?.…………13分

20．解：（1）由f(x)?x?(a?2)x?alnx可知，函数的定义域为{x|x?0}，

2a2x2?(a?2)x?a(2x?a)(x?1)且f?(x)?2x?(a?2)?? .…………………1分 ?xxxa?1. 2aa 当0?x?1或x?时，f?(x)?0；当1?x?时，f?(x)?0，

22a 所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(,??)..………………………………4分

22(x?1)(x?2) （2）当a?4时，f?(x)?.

x 因为a?2，所以

所以，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：

/x f/(x)

（0,1） 1 （1,2） 2

（2，??)

+ 0 — 0 +

f(x) 单调递增

2f(x)取极大值 单调递减 f(x)取极小值 单调递增

1）?1?6?1?4ln1??5， 所以f(x)极大值?f（

f(x)极小值?f（2）?22?6?2?4ln2?4ln2?8

. …………………7分

结合函数f(x)的图象， 所以若函数

y?f(x)?m有三个不同的零点，则m??4ln2?8,?5?.………………………9分

（3）由题意,当a?4时，f?(x)?2x?4?6， x 则在点P处切线的斜率k切?f/(x0)?2x0?4?6. x0 所以切线方程为y?g(x)??2x0????42?6??x?x0??x0?6x0?4lnx0 x0?

??2x0????4?6?x?x02?4lnx0?4..……………10分 x0??42?6??x?x0???x0?6x0?4lnx0?， x0?

??x??f?x??g?x??x2?6x?4lnx??2x0??则?(x0)?0，???x??2x?????442?22???6??2x0??6??2?x?x0??1????x?x0??x0??. xx0x?????x0x?x0 当x0???2?2?2时，??x?在?x0,?上单调递减，所以当x??x0,?时，

?x0??x0??2??(x)x?x,?(x)??(x0)?0. 从而有?0?0； ?时，

xx?x00?? 当x0??2??2?2时，??x?在?,x0?上单调递减，所以当x??,x0?时，

?x0??x0??2???x??0； ?(x)??(x0)?0. 从而有x??,x0?时，

xx?x0?0?所以在(0,2)?(2,??)上不存在“类对称点”. …………………………12分

2 当x0?2时，??(x)?x?2x??2，所以??x?在(0,??)上是增函数，故

?(x)x?x0?0.………13分

所以x?2是一个类对称点的横坐标. ………………………………14分

21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

??cos?4解：（Ⅰ）由已知得，矩阵N?????sin4??sin?4???2??2cos???4??2???2??2??2?．… 3分 2??2?x??y??x?,??1?1??x??x?y,?2（Ⅱ）矩阵MN?? ?11??，它所对应的变换为?y??x?y,解得???y?x????y?.?2?把它代人方程xy?1整理，得(y?)?(x?)?4 ，

22

即经过矩阵MN变换后的曲线C?方程为y?x?4…………………7分 （注：先计算(MN)，再求曲线C?方程，可相应酌情给分）

?122（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 解：（Ⅰ）不等式|x?2|?1的解集为{x|x?1或x?3}，

所以，不等式x2?ax?b?0的解集为{x|x?1或x?3}，?a?4,b?3．……3分

（Ⅱ）函数的定义域为[3,5]，显然有y?0，由柯西不等式可得：

y?4x?3?35?x?42?32?(x?3)2?(5?x)2?52，……5分

当且仅当45?x?3x?3时等号成立,即x?

107时,函数取得最大值52.…7分 25

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