高一系统复习(必修1、2、4、5)1-20讲全部（江苏）

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第1讲：高中数学中的3个“一元二次”问题

一、 必备基本知识

1、 一元二次方程

形如ax2?bx?c?0（a?0）的方程称为一元二次方程。

???0有两个不等的实数根?2（1） 这种方程是否有根由??b?4ac的正负决定???0有两个相等的实数根

???0没有根??b?b2?4ac（2） 求根公式：x?

2ab?x?x????12a（3） 根与方程系数的关系：?

?x?x?c12?a?2、 一元二次函数（抛物线）

形如y?ax2?bx?c(a?0)的函数称为一元二次函数。凡是关于一元二次函数的问题必然要涉及到以下4个方面的问题：

（1） 开口方向：由a的正负决定，a?0时开口向上，a?0时开口向下 （2） 对称轴：直线x??b，以决定直线两侧图像的上升与下降的情况 2ab4ac?b2，) （3） 顶点：(?2a4a（4） 与x轴的交点个数：从本质上讲，函数与x的交点的横坐标就是函数对应的方程

（ax?by?c?0）的根，也就是高中数学中提到的零点。所以说，与x轴的交

点个数就是方程的根的个数

3、 一元二次不等式

2形如ax?bx?c?0（a?0）的不等式称为一元二次不等式。

22常规解题的步骤是：（1）令ax?bx?c?0，分析是否有根，如果有根就求出根

（2）根据求出的根作函数y?ax?bx?c的草图（不要画y轴） （3）根据作出的草图，写出解集（原则是“大上小下”） 4、一元二次函数在定区间上的最值问题的分析 （验值法）详参例题

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2涟水银杏教师联盟精品教案系列

二、 典型例题解析

1、解下列一元二次不等式：

（1）x?4x?3?0 （2）x?4x?6?0 （3）x?13ax?42a?0

2、如果不等式ax?bx?c?0的解集是?2，3?，求不等式cx?bx?a?0的解集

222222

3、如果不等式x?mx?2n?0的解集是（4，6），求m?n的值

4、求函数y?x?4x?3在下列区间上的最值：（1）[1，4] （2）[3，6]

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22涟水银杏教师联盟精品教案系列

三、 必要习题巩固

1、方程x?mx?m?3?0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围 2、方程4x2?4(m?2)x?1?0无实根，求实数m的取值范围

2x2?4ax?4a?3?03、如果下列3个方程：x2?(a?1)x?a2=0中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值

x2?2ax?2a?0范围

4、已知函数f(x)?x2?2ax?1在区间[－１，2]上的最大值是4，求a的值

5、已知函数f(x)?x2?2x?3在区间[0，a]（a>0）上的最大值为3，最小值为2，求实数a的取值范围

6、 若不等式ax?bx?c?0的解集是（－4,1），求不等式b(x2?1)?a(x?3)?c?0的解集

7、若函数f(x)?(a2?4a?5)x2?4(a?1)x?3的图像恒在x轴的上方，求实数a的取值范围

8、已知f(x)??3x2?a(6?a)x?b，（1）若f(1)?0，求a的取值范围；（2）若不等式

2f(x)?0的解集是（－1,3），求实数a、b的值。

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第2讲：集合

一、必备基本知识

1、集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性 2、集合间的关系：子集和真子集 3、集合的运算：交集、并集、补集 4、数轴的使用

二、典型例题解析

1、设集合A=xax?2x?1?0，a?R?，若集合A是单元素集，求实数a的取值范围。

2?

3，x3?3x2?2x，A=1，2x?1，若CsA??0?，则这样的实数是否存2、设全集S=1，在？如果存在，求出x；如果不存在，请说明理由。

2223、设集合A=xx?4x?0，B=xx?2(a?1)x?a?1?0，x?R，若A?B?B，

????????求实数a的取值范围。

4、已知A=A?xx??1或x?2值范围，并用集合表示。

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??，B??x4x?p?0?，当B?A时，求实数p的取

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三、 必要习题巩固

1、已知集合A=xax?3x?2?0，（1）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围； （2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围

2、设集合A=xx?ax?a?19?0，B=xx?5x?6?0，C=xx?2x?8?0，且A?B??，A?C??，求实数a的取值范围

3、已知集合A=xx?2x?3?0，B=xx?ax?b?0，若A?B?RA，B?求a?b的值

24、已知集合A=xx?2x?3?0，B=xax?1?0，且B?A，求实数a的值。

?2??22??2??2??2??2??3(4]，，

????5、设集合A=??3，4?，B=xx?2ax?b?0，B??，且A?B?B，求实数a和b

2??6、若非空集合A=x2a?1?x?3a?5，B=x13?x?22，且A?(A?B)，求满足上述条件的所有实数a的值组成的集合M

27、已知集合A=xx?mx?1?0，B=xx?0，A?B??，求实数m的取值范围

????????8、设集合A=x3x?px?7?0，B=x3x?7x?q?0，若A?B????，求A?B 9、设A=xx?ax?a?19?0，B=xx?2x?3?0，C=xx?2x?8?0， 若A?B?B?C，求实数a的值

10、设集合A=xx?px?q?0，B=yy?(p?1)y?q?3?0，且A=?3?，求B

22?2??2??1??3??22??2??2?????

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第3讲：函数的单调性

一、 必备基本知识

1、函数的单调性的定义单调区间：在某区间M上，如果任意的x1和x2在x1?x2的情况下，都能保证f(x1)?f(x2)，那么我们就说在区间M上，函数y?f(x)是增函数，这个区间M称为函数y?f(x)的增区间。类似的，可以定义减函数和减区间

2、增函数与减函数在图像上的区别：增函数上升，减函数下降

3、单调性与最值的关系：函数的单调性是利用数形结合思想求最值的理论依据。函数图像的最高点对应着函数的最大值，函数图像的最低点对应着函数的最小值

?一次函数??二次函数4、特殊函数的单调性?

?指数函数?对数函数?二、 典型例题解析

??)上是增函数，并求出函数在该区间上的最值 1、求证函数f(x)?x2?2x?3在区间[3，

??)是增函数，求实数m的取值范围 2、如果函数f(x)?x?3mx?4在区间[3，

3、已知函数y?f(x)在定义域R上是增函数，且f(a?2)?f(2a)，求实数a的取值范围

4、求证：函数f(x)?x?

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24??)上是增函数 在区间[3，x涟水银杏教师联盟精品教案系列

三、 必要习题巩固

1、函数f(x)?x2?1在区间[1，??)上是 函数。

??)上是 函数。 2、函数f(x)?2x?1在区间[1，3、函数f(x)?x?1的增区间是 ，减区间是 。 x4、函数f(x)??x2?2x在区间[010]，上的最值是 。

5、已知函数f(x)?2x2?mx?5，m?R，它在区间(??，?2]上单调递减，在区间

[?2，??)上单调递增，那么f(1)= 。

??)上的减函数，则f(a2?a?2) f() 。 6、若f(x)是区间(0，，上的函数f(x)是减函数，且满足f(1?a)?f(2a?1)，求实数a的取值7、定义在(?11)范围。

8、如果在二次函数f(x)?ax2?bx?c中，f(0)??5，且b?2ac，求f(x)的最值。 9、设函数f(x)对于任意x?R，y?R，都有f(x?y)?f(x)?f(y)，且x?0时，

243f(x)?0，f(1)??2 ，（1）求证f(x)在R上是减函数；

（2）若f(2x?5)?f(6?7x)?4，求x的取值范围。

??)上的增函数，满足：f(xy)?f(x)?f(y)，且f(3)?1 10、设f(x)是(0，（1）求f(1)；（2）当f(x)?f(x?8)?2时，求x的取值范围

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第4讲：函数的奇偶性

一、 必备基本知识

1、 奇偶性定义：对于定义域内任意的x都有f(?x)?f(x)，那么函数f(x)是偶函数；

如果f(?x)??f(x)，那么函数f(x)就是奇函数。

2、 奇偶函数在图像上的区别：奇函数的图像一定关于坐标原点对称，偶函数的图像一定关

于y轴对称。 3、 奇偶函数的判读依据及判断步骤：判断依据是奇偶性的定义，也就是f(x)和f(?x)的关

系，到底是相等还是相反数的关系。判断步骤是：（1）看定义域是否关于原点对称 （2）看f(x)和f(?x)的关系。 4、 两种绝对值函数的作图要点

（1）f(x)的作图方法：右留右翻左 （2）f(x)的作图方法：下去下翻上 5、两个重要结论：

（1）无论函数f(x)是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于原点对称，也就是说区间端点值一定互为相反数；

（2）对于奇函数，如果定义域内有0，那么一定有f(0)?0

二、 典型例题解析

1、已知函数f(x)?a?2是奇函数，求实数a的值 x2?1532、已知函数f(x)?x?ax?bx?8，且f(?2)?10，求f(2)

2，2a]，求a与b的值 3、已知函数f(x)?ax?bx?3a?b是偶函数，且定义域是[a?14、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x?0时f(x)?x?2x，求f(x)在定义域R上的解析式并画出其图像

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三、 必要习题巩固

x4?11、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)? （2）f(x)?x2?1 2x4?x2 （2）f(x)?x?1?x?1 （4）f(x)?

x?3?36]上是增函数其最大值是29，最小值是15，那么在2、已知函数f(x)是偶函数，在区间[3，?3]上是增函数还是减函数？最值呢？ 区间[?6，3、已知函数f(x)?x?1?a1?x2是奇函数，求实数a的值

4、已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于原点对称，x?0时f(x)?x2?2x?2，求

f(x)在定义域R上的解析式并画出其图像

5、已知定义在R上的函数f(x)对x?R，y?R，都有f(x?y)?f(x)?f(y)，且x?0时f(x)?0，又f(1)??2 。（1）求证：函数f(x)是奇函数 3 （2）求证：函数f(x)是R上的减函数

6]上的最值 （3）求函数f(x)在区间[?3，6、若函数f(x)?(m?2)x?(m?1)x?3是偶函数，求实数m的值 7、当m、n为何值时，函数f(x)?(m?1)x?(m?1)x?n?2是奇函数？ 8、已知函数f(x)对于一切实数x、y都有f(x?y)?f(x)?f(y)， （1）求f(0)，并证明f(x)为奇函数； （2）若f(1)?3，求f(?3)的值 9、已知函数f(x)?222ax?b12f()?是定义在（－1,1）上的奇函数，且 21?x25 （1）求函数f(x)的解析式；（2）用定义证明f(x)在定义域上是增函数

111x2f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()的值 10、已知函数f(x)?，求22341?x

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第5讲：指数函数

一、必备基本知识

1、 指数公式：（1）a?a?amnm?nmamnmm?nmnmn，n?a，(a)?a，a?an a?m am?bm?(ab)m，a?1 am0 （2）a?1，其中a?0

2、 指数函数定义：形如y?ax的函数称为指数函数，其中a?0且a?1 3、 指数函数的性质：（1）定义域： （2）值域： （3）单调性： （4）奇偶性： （5）定点： 4、 两个重要结论：

（1） 函数y?ax?m?n必过定点(m，n?1)。分析方法是令x?m?0，求出x?m，

在带入函数式，求出y值，从而得到定点坐标。

（2） 形如y?af(x)的函数的单调性的确定方法：由a的取值决定

a?1时，函数y?af(x)的单调性与函数f(x)的单调性一致 0?a?1时，函数y?af(x)的单调性与函数f(x)的单调性正好相反

5、 备用公式：a?b?(a?b)(a?b)（平方差） a?b?(a?b)(a?b?ab)（立方和） a?b?(a?b)(a?b?ab)（立方差） 6、函数图像：

3322332222二、典型例题解析

2431、化简：（1）aaa；（2）(x?1)?4(x?1)?3(1?x) 2、若x?11?3，求x2?2 xxx3、函数y?(2?a)为R上的减函数，求实数a的取值范围 4、设f(x)?4?2xx?1?3，且x?[13]，，求函数值域

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三、必要习题巩固

1、设f(x)?ax?3?4，则该函数的图像一定过点 2、若x?121x1211?3，求x?和x?

xx3、设f(x)?4x?2x?1?3且x?[?13]，，求函数值域。

(1?2x)24、设f(x)?，试确定其奇偶性。

2x5、如果函数y?ax（a?0且a?1）在区间[－１，１]上的最大值和最小值的差是1，求实数a的值。

6、如果函数y?a（a?0且a?1）在区间[－１，１]上的最大值和最小值的和是实数a的值。 7、分析y?2x2?2x?3x5，求2的单调区间，并求出该函数在区间[－３，３]上的最值。

xx8、设函数y?2?1，作出函数的图像，并分析方程2?1?m的根的个数。

9、若函数f(x)的图像先后沿x轴方向向左、y轴方向向下分别平移3个单位，得到y?2x的图像，求函数f(x)的解析式 10、已知函数f(x)=1?2 3x?1 （1）求f(x)的定义域和值域；（2）判断f(x)的奇偶性；（3）讨论f(x)的单调性

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第6讲：对数函数

一、必备基本知识

N1、 指数与对数的关系：ab?N?b?loga，其中a?0且a?1

logaM?logaN?loga(MN)2、 对数运算公式：logaM?logaN?loga(M)及alogab?b NlogaMN?N?logaM3、 换底公式：logab?lgblogcb= lgalogca4、 两个常用数据：loga1?0及logaa?1

5、 对数函数定义：形如y?logax的函数称为对数函数，其中a?0且a?1 6、 对数函数的性质和图像：（1）定义域： （2）值域：

（3）单调性： （4）奇偶性： （5）定点 7、 两个重要结论：

（1） 函数y?loga(x?m)?n一定过点(1?m，n)。分析方法是：令x?m?1，求

出x的值再带入函数式求出y值，从而得到定点坐标。

（2） 形如y?logaf(x)的单调性的确定方法：由a的取值决定

a?1时，函数y?logaf(x)的单调性与函数f(x)的单调性一致 0?a?1时，函数y?logaf(x)的单调性与函数f(x)的单调性正好相反

二、 典型例题解析

1、解下列方程或不等式：（1）log2x?3 （2）log2(3x)?log2(x?4) （3）1?log2x?4

22]，求函数值域 2、设f(x)?log3x，且x?[，12，4]，求函数值域 3、设f(x)?log2(x?2x?3)，如果x?[?14、设f(x)?log2(x?4x?8)，求函数的单调增区间，并求函数在区间[3，5]上的最值

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三、 必要习题巩固

1、解不等式：log0.5(3x?1)?log0.5(x?1)?1

2、若函数y?loga(x?b)的图像过点（－１，０）和（０，１），求实数a和b的值。 3、若函数y?(log2x)2?log2x2?3，且x?[,32]，求函数值域。

4、求函数f(x)?log2(x2?4x?3)的单调减区间，并求在区间[－４，０]上的最值。

18，，令F(x)?[f(x)]５、已知f(x)?2?log3x，x?[13]及对应的x值。

6、若lg(x?y)?lg(2x?2y)?lg2?lgx?lgy，求7、当x为何值时，函数y?lg8、已知函数f(x)?1?2?f(3x)，求函数F(x)的最大值

y1?的值。 x2xx?lg有最小值？最小值是？ 3122 x4?2 （1）求证：对一切实数x，f(x)?f(1?x)=定值 （2）求值：f(?4)?f(?3)?f(?2)?????f(4)?f(5)

9、（1）若函数f(x)?lg(ax?ax?1)的定义域为R，求实数a的取值范围 （2）若函数f(x)?lg(ax?ax?1)的值域为R，求实数a的取值范围 10、已知函数f(x)?log1(x2?ax?4)

222 （1）若a=5，求函数f(x)的定义域和值域；

（2）函数f(x)的定义域和值域能否同时为R，为什么？

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第7讲：函数的零点

一、 必备基本知识

1、 零点定义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0的根。

2、 零点的本质：（1）函数的零点并不是点，而是对应方程的根，是具体的数值，因而函数

是否有零点有方程是否有根决定。（2）函数y?f(x)的零点也是其图像与x轴的交点的横坐标。

3、 零点定理：对于开区间(a，b)，如果f(a)?f(b)?0，则区间(a，b)上必有零点

但由此不能说明有几个零点！

二、 典型例题解析

1、求证：函数y?2x2?3x?7有两个不同的零点 2、判断函数y?x2?2x?1在区间（2，3）上是否有零点

3、设函数y?x2?2x?m，试分析m为何值时，函数只有一个零点？两个？没有？ 4、已知方程x?2x?2m?6?0的两个根，一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围

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三、 必要习题巩固

1、若抛物线y?x2?2x?k与x轴的一个交点坐标为（－１，０），求实数k的值及抛物线与x轴的另一个交点的坐标

2、当k为何值时，关于x的方程kx?2kx?k?3?0的两根都是负数？

3、设x1和x2是方程2kx?4x?3k?0的两个根，且x1?1 ，x2?1，求实数k的取值范围。4、已知方程x?2x?2m?6?0的两根为x1和x2，且?3?x1??2，0?x2?2，求实数m的取值范围

5、如果方程x?ax?2?0在区间（0，3）内有且只有一个实数根，求实数a的取值范围 6、若函数y?x2?(2k?1)x?k2有两个零点，求实数k的取值范围 7、若k?2，请判断函数f(x)?x3?kx?1在区间（0,1）内是否有零点

8、若方程x2?(a2?1)x?(a?2)?0的一个根比1大，另一根比－1小，求实数a的取值范围

9、设一元二次方程mx?(m?2)x?9m?0的两根满足x1?1?x2，求实数m的取值范围 10、已知函数f(x)?(a?1)x?(2a?6)x?4a?1的两个零点分别是m、n， 且?1?m?1?n，求实数a的取值范围

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222222

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第8讲：三角和差公式

一、 必备基本知识

【知识准备】

（1）sin??cos??1及tan??22sin? cos?（2）正弦一二正，余弦一四正，正切一三正，关系同组角，符号看象限，绝对值相同 （3）特殊角的函数值的记忆与解法特破及常见的三角不等式的求解技巧 1、和差正弦：sin(???)?sin?cos??cos?sin? 2、和差余弦：cos(???)?cos?cos??sin?sin? 3、和差正切：tan(???)?tan??tan?

1?tan?tan?4、关于正切和差的重要变形：??tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?)

?tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?)5、一个重要的化简方法：bsinx+acosx?a2?b2sin(x??)，且tan??a，b?0 b二、 典型例题解析

cos??例1、已知?和?是锐角，且cos??，例2、已知cos?=355，求sin(???)和cos(???)的值。 133?（??）和cos?+3sin?的值。 ，?是锐角，求cos53例3、化简：（1）

1313cos??sin? （2）cos??sin? 22223131cos??sin? （4）cos??sin? 22222222cos??sin? （6）cos??sin? 2222131，求cos(???)的值。 2 （3）

（5）

cos??cos??例4、若sin??sin???，2例5、若tan?和tan?是方程3x?5x?1?0的两根，求tan(???)的值。 例6、在?ABC中，tanB?tanC?3tanBtanC?3

3tanA?3tanB?1?tanAtanB，试确定?ABC的形状

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三、 必要习题巩固

1、（1）若函数y?3cosx?4sinx，求函数值域。 （2）若函数y?3cosx?4sinx，求函数值域。 （3）若函数y?5cosx?12sinx，求函数值域。

35?3?in2? ，cos(???)??，且???????????，求s51322412cos??，sin(???)?,求sin?的值 3、若?是锐角，?是钝角，5132、已知：sin(???)?4、若tan?和tan?是方程x2?6x?7?0的两根， 求（1）tan(???)； （2）

sin(???) ； （3）cos2(???)

cos(???)5、（1）若A?B=?4，求证：(1+tanA)(1+tanB)=2

（2）求值：(1?tan1?)?(1?tan2?)?(1?tan3?)????(1?tan45?) （3）计算：tan20?tan40?3tan20tan40

6、在?ABC中，tanA和tanB是方程3x?7x?2?0的两根，求tanC

7、?ABC，tanA?tanB?3?3tanAtanB且cosA?cosB，试确定?ABC的形状。 8、已知锐角?、?、?满足sin??sin??sin?，cos??cos??cos?，求???的值

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2????涟水银杏教师联盟精品教案系列

第9讲：倍角公式

一、必备基本知识

??sin2??2sin?cos??22221、 倍角公式：?cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?

?2tan??tan2??1?tan2??1?cos2??2sin????22、 公式变形：?

1?cos2??cos2????2【注】倍角公式不仅可以处理2?和?间的三角函数值关系，还可以任何含有2倍关系的角之间函数值关系，如：?和?2，

??和等等 24二、 典型例题解析

1、求函数y?cos2x?8cosx的值域

sin?)、B(cos?，sin?)，且AB=2、已知点A(cos?，（2）若0???2413，（1）求cos(???)； 13?2，-?4???0，sin???，求sin?的值 2523、求证：cos(A?B)?sin(A?B)?cos2Acos2B 4、已知sin(

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?12???)?，求cos(?2?) 633涟水银杏教师联盟精品教案系列

三、 必要习题巩固

1、已知tan??211，tan??，且?和?是锐角，求?+2? 73)?sin2(??)?sin2?

66?12??2?) 3、已知sin(??)?，求cos(633?1?1tan(??)??，求tan(???) 4、已知tan(??)?，22234?1tan(???)?，求tan(??2?)的值 5、已知cos???，??(，?)，5222、化简：sin(????sin2??cos2?6、已知tan?2，求（1）tan(??)；（2）

241?cos2???7、已知sin(?3?x)?，求sin2x 451?cos2x?8sin2x8、当0?x?时，求函数f(x)?的最小值

2sin2x?9、已知sin??cos??1?3?，且???，求cos2?的值 52410、已知sin??

510，?、?均为锐角，求?的值 ，sin(???)??510第 19 页 共 48 页

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第10讲：三角函数的图像与性质

一、 必备基本知识

1、 正弦函数y?sinx的性质

图形：

21.510.55π34π3π2π3π30.5π32π3π4π35π32π11.52 定义域：R

， 值域：[?11]单调性：增区间是[????3??2k?，?2k?]，减区间是[?2k?，?2k?] 2222奇偶性：奇函数

周期性：是周期函数，且最小正周期是2? 对称轴：直线x??2?k?

0) 对称中心：(k?，2、 余弦函数y?cosx的性质

图形：

21.510.55π34π3π2π3π30.5π32π3π4π35π32π11.52 定义域：R

， 值域：[?11]2k?]，减区间是[2k?，??2k?] 单调性：增区间是[???2k?，奇偶性：偶函数

周期性：是周期函数，且最小正周期是2? 对称轴：直线x?k? 对称中心：(?2?k?，0)

第 20 页 共 48 页

涟水银杏教师联盟精品教案系列 3、 正切函数y?tanx的性质 图形： 42π5π22π3π2ππ2π2π3π22π5π224 定义域：?xx?k??????? 2?6值域：R 单调性：增区间是(?8??k?，?k?) 22?奇偶性：奇函数 周期性：是周期函数，且最小正周期是? 对称轴：无对称轴 对称中心：(k?，0) 2?4、 关于函数y?Asin(?x??) （A?0，（1）A称为增幅，反映函数的最值

?2????2）

（2）?确定函数的周期，且计算公式是T?2??

（3）?称为函数的初相

5、 三角函数中的重要思想：整体分析思想和换元思想，以及数形结合思想

6、 三角函数中的平移变换和伸缩变换

（1） 上加下减，左加右减，有系数要先提取；

上下平移可能会引起最值的变化，左右平移可能会引起单调区间的变化。

（2） 上下伸缩A变化，伸长A变大，缩短A变小；

左右伸缩?变化，伸长?变小，缩短?变大；

上下伸缩一定会引起最值变化，左右伸缩一定会引起周期变化，具体伸缩的倍数可以通过最值或周期的变化来确定。

关于函数变换问题的处理思路：一般先伸缩，后平移，可以自己先写出变换的大概计划，然后加以准确的描述。

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二、 典型例题解析

1、求下列函数的周期：（1）y?cos2x （2）y?2sin(x?（3）y??2sin(??12?6)

5438??x) （4）y?tan(3x?) 2562、函数f(x)?2sin(?x??)，f()?1，k?Z，求函数f(x)的最小正周期， 并求f(6k?)的值。 3、若函数f(x)?2cos(231212k?x?)?1的最小正周期不大于2，求正整数k的最小值。 434、若函数f(x)?3sin(2x?（3）求函数在区间[??4)，（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的对称轴；

??，]上的最值及对应的x值。 435、若函数f(x)?sin(2x??)?m，（1）求最小正周期及单调区间；（2）若x?[?，]时，

663??f(x)的最小值为2，求函数f(x)的的最大值，并指明x取何值f(x)取得极大值。

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三、 必要习题巩固

1、若fx()?n3(is)x?oc(s???)?x??（0????，??0）为偶函数，且函数y?f(x)的图像的两条相邻的对称轴间的距离是像向右平移

??，（1）求f()的值；（2）将函数y?f(x)的图

82?个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，6得到函数y?g(x)的图像，求函数y?g(x)的递减区间。

0???2、已知函数f(x)?Asin2(?x??)（A?0，??0，?2），且y?f(x)的最大值为

2，其图像相邻的两条对称轴间的距离也为2，并过点（1，2），（1）求?； （2）计算f(1)?f(2)?f(3)?????f(2011)。 3、设函数f(x)?3cos2?x?sin?x?cos?x?a，其中??0，a?R，且y?f(x)的

图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是区间[??，（1）求?的值；（2）如果函数y?f(x)在6?5?，]上的最小值是3，求a的值。 364、求函数f(x)?53cos2x?3sin2x?4sinx?cosx的最小值，其中x?[，]的最

?7?424小值，并求其单调区间。

5、已知函数y?Asin(?x??)（A?0，??0，???）的最小正周期是

2?，最小值是2，30)，求这个函数的表达式。 图像经过点(?，

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59涟水银杏教师联盟精品教案系列

第11讲：正弦定理

一、 必备基本知识

1、 定理内容：

abc???2R，其中R表示?ABC的外接圆半径 sinAsinBsinC2、 定理变形：

（1）a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC

abc，sinB?，sinC? 2R2R2R（3）a?b?c?sinA?sinB?sinC

（2）sinA?1absinC213、 三角形面积公式：S??bcsinA

21S??acsinB2S??4、 可能应用：

（1） 求未知的边和角（基本应用） （2） 判断三角形的形状

三角形的解的个数的问题的分析（关键在于找直角边，参例题）

二、 典型例题解析

例1、?ABC中，a?（1）如果B?2，b?2，

???4，求A；（2）如果已知A??6，求B。

例2、?ABC中，A?135，B=15，c=1，求?ABC的最大边的长度。 例3、?ABC中，如果

abc??，则?ABC是什么三角形？ cosAcosBcosC??例4、?ABC中，c?10，A?45，C?30，求?ABC的面积。

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三、 必要习题巩固

（A组）1、?ABC中，若a?b?c?3且sinA?sinB?sinC?4?5?6，求a，b，c 2、?ABC中，a?23，b?22，A?60，求B

?3，求B 4a?b?c?4、?ABC中，a?3，A?60，求

sinA?sinB?sinCsinA?3、?ABC中，a?3，b?2，5、?ABC中，A?105，B?30，a?6，求角平分线BD的长 6、?ABC中，若acosA?bcosB，则?ABC是什么三角形？

??c的范围？（可以拓展为锐角三角形再分析一次） b8、若半径为1的圆的内接三角形面积也为1，求abc的值

7、?ABC中，C=2B，求

9、在平面四边形ABCD中， A?60，AB?23，BD?4，且AD⊥CD，BD⊥BC，求CD

?（B组）1、在?ABC中，a?5，b?15，A?30，则

?c=

（第9题） 2、在?ABC中，A?60，AB?2，S??3、在?ABC中，c?10，A?45，C?30，则a=

???3，则BC= 2sinC?4、在?ABC中，b?3，c?2，2，则B= 35、在?ABC中，sin2A?sin2B，则?ABC是什么三角形 6、在?ABC中，b?2a，B?A?60，则A=

7、在?ABC中，a?7，b?8，c?9，D为AC的中点，则BD=

?c3，（1）求的值；（2）求b

a43354cosC?，9、在?ABC中，cosB??，（1）求sinA的值；（2）若S??，求BC

2135cosBb??10、在?ABC中，已知，（1）求B；（2）若b?13，a?c?4，求S?ABC cosC2a?ccosA?8、在?ABC中，a?c?10，C?2A，

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第12讲：余弦定理

一、 必备基本知识

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2，cosC?1、 定理内容：cosA?，cosB?

2bc2ac2ab2、 在决定三角形形状方面的作用：

?ABC是锐角三角形?a2?b2?c2设?ABC中，c是最大边，?ABC是直角三角形?a?b?c

222?ABC是钝角三角形?a2?b2?c23、 可能的应用：

（1） 求未知的边和角 （2）判断三角形的形状

二、 典型例题解析

，A?60，求a；1、在?ABC中，（1）b?3，c?1（2）a?31，b?5，c?6，求A

2、在?ABC中，a?3，b?5，c?7，求最大角 3、在?ABC中，a?b?ab?c，求C

4、在?ABC中，a?bcosA?b?acosB，则?ABC是什么三角形？

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222?涟水银杏教师联盟精品教案系列

三、 必要习题巩固

1、 在?ABC中，如果sinA?sin??sinC=3?5?7，求角C 2、 在?ABC中，a?7，b?43，c?13，求最小角 3、 在边长为5、7、8的三角形中，求最大角和最小角的和 4、 在?ABC中，如果(a?b?c)(a?b?c)?3ab，求角C

12(a?b2?c2)，求角C 46、 在?ABC中，sinA?2sinBcosC，则?ABC是什么三角形？

5、 在?ABC中，S??7、 在?ABC中，S??123，ac?48，a?c?2，求边b 8、 已知?ABC的周长是2?1，且sinA?sinB?2sinC， （1）求边AB； （2）若S??1sinC，求角C的大小 6?，S?ABC?3，则9、在?ABC中，A?60，b?110、在?ABC中，若

a?b?c?

sinA?sinB?sinC113??，则角C? a?cb?ca?b?c11、在?ABC中，已知a2?b2?c2?bc，2b?3c，a?319，则S?ABC? 12、在?ABC中，若sinA?13，sinB?，则a?b?c? 22??13、在?ABC中，BC?12，A?60，B?45，则AC?

cosC?14、在?ABC中，a?7，b?8，13，则此三角形的最大内角的余弦值为 1415、在?ABC中，sinA?sinB?sinC?5?7?8，则B? 16、在锐角?ABC中，若C?2B，则的范围是： 17、在?ABC中，c?2，C?cb?3，（1）若S?ABC?3，求a与b；

（2）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求S?ABC的值 18、在?ABC中，cosA?42B?C?cos2A的值； ，（1）求sin52（2）若b?2，S?ABC?3，求a

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第13讲：平面向量的坐标运算

一、 必备基本知识

????1、设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由点A、B产生的向量AB?B?A?(x2?x1，y2?y1)，??????????2222且AB?(x2?x1)?(y2?y1)，称为AB的模。若a=(m，n)，则a?m?n。 ??2、向量的四则运算公式：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)

则a?b?(x1?x2，y1?y2)（加法）

???? a?b?(x1?x2，y1?y2)（减法） ? k?a?k(x1，y1)?(kx1，ky1)（数乘）

a?b?x1x2?y1y2（数量积）

????????3、向量的数量积：设a与b的夹角是?（同起点），则a?b?a?b?cos?

规定：（1）a与b同向的时候，记a与b的夹角是0；a与b反向的时候，记a与b的

??????????2?2夹角是180，所以，a?(a)；

????????（2）a与b垂直的时候，记a与b的夹角是90；所以，一般来说，0???180。

4、向量相关的零碎知识：平行向量与共线向量、零向量和单位向量、相同向量和相反向量。特别的，0和任何向量共线 5、平行与垂直的等价条件：

?????xy?kb?1?1 （1）a∥b?ax2y2???? （2）a⊥b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

6、一类特殊问题（夹角问题）的处理方法：保证条件，剔除平行，也可以考虑用数形结合．．．．．．．．．的思想来处理，参例题。

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二、 典型例题解析

??????1、已知a?(k，（1）a∥b；（2）a⊥b； 2)，b?(?3，5)，当k为何值时：

??（3）a与b的夹角是锐角

??????????2、若a?4，b?6，且a与b的夹角是60，求：（1）a?b；（2）a?(a?b)；

????（3）(2a?b)?a?3b

???????????b?4，且a与b的夹角是150，求a?b和a?b 3、已知a?3，????????4、已知a?b?1，且3a?2b?3，求a?b和3a+b

??????????5、已知a与b是非零向量，且(a?3b)?(7a?5b)，(a?4b)?(7a?2b)，

??求a与b的夹角

6、已知a?(3，?1)，b?(，)

??1322??（1）求证：a⊥b

??????????2k（2）若x?a?(t?3)b，y??ka?tb，问是否存在非零实数与t使得x⊥y，若存在的

k?t2话求出k与t的值或关系，并分析的最小值。

t

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三、 必要习题巩固

????1、已知a?(?21)，，b?(k，?1)，当k为何值时，a与b的夹角是钝角？

2、已知a?(6，2)，（1）a∥b；（2）a⊥b； b?(?3，k)，当k为何值时：

????????（3）a与b的夹角是钝角。

3、已知a?(3sin?，cos?)，b?(2sin?，5sin??4cos?)，且求：（1）tan?；（2）cos(????3????2?，若a⊥b， 2?) 23?????3A3A?AA，sin)，n?(cos，sin)，且满足m+n?3 4、在?ABC中，已知m?(cos2222（1）求角A的大小；（2）若b?c?3a，试判断?ABC的形状

??5、在?ABC中，

sinA3cosC ?ac????????a?b?6（1）求角C的大小；（2）若，CA?CB=4，求c的值

???6、已知a?(sin?，1)，b?(cos?，2)，??(0，)

4????17?（1）若a∥b，求tan?的值；（2）若a?b?，求sin(2??)的值

84

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第14讲：等差数列

一、 必备基本知识

1、 定义：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项的差都是同一个常数，那么这样的

数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，用字母d来表示。即：an?1?an?d 2、 通项公式：an?a1?(n?1)d，an?am?(n?m)d

3、 等差中项：如果有三个数a、b、c成等差数列，则a+c=2b，且b叫做a、c的等差中项 4、 前n项和公式：Sn?n(a1?an) 25、 下标和定理：m?n?p?q?am?an?ap?aq，m?n?2p?am?an?2ap 6、 前n项和的性质：（1）形如Sn、S2n?Sn、S3n?S2n、?的数列一定是等差数列，且公

差为nd；（2）如果数列?an?是等差数列，那么前n项和一定是Sn?An2?Bn的形式

27、 等差数列的形式标志：从通项公式上看，一定是一次函数的形式；从求和公式上看，一

定是无常数项的二次函数。 8、 数列的共有性质：an??

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(n?1)?S1

?Sn?Sn?1(n?2)涟水银杏教师联盟精品教案系列

二、 典型例题解析

1、已知等差数列的前两项是－１和３ （1）求此数列的通项公式及第20项；（2）100是此数列中的项吗？为什么？ 2、若某等差数列的前三项是

151,,，求此数列的第101项 m?16mm3、等差数列?an?中，a15?33，a45?153，求a61的值 4、等差数列?an?中，若a2?a3?a10?a11?48，求a6?a7的值 5等差数列?an?中，（1）a1?3,a50?101，求S50；

1，求S10； 21315 （3）d?,an?,Sn??，求首项a1及项数n

222 （2）a1?3,d?6、等差数列?an?中，第1项到第10 项的和是310，第11项到第20项的和是910，求第21项到第30项的和

7、若已知数列?an?的前n项的和是Sn?n2，求an 8、若已知数列?an?的前n项的和是Sn?n2?1，求an

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三、 必要习题巩固

1、 等差数列?an?中，a7?a9?16,a4?1，求a12

2、 等差数列?an?中，若a1?1,d?3，an?2005，求n的值

3、等差数列?an?中，若a1?a4?a7???a97?50，且公差为2，求a3?a6?a9???a99的值

4、等差数列?an?中，a3?a4?a5?a6?a7?450，求a2?a8的值 5、等差数列?an?中，已知a100?2,a101?4，求此数列的前200项的和

6、某剧场有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，问这个剧场共有多少个座位？

7、已知等差数列：，，，?，其前n项的和是

111632155，求n 28、等差数列?an?中，已知a1?50,d??6，（1）从第几项开始有an?0；（2）求此数列的前n项的和的最大值

9、等差数列?an?中，已知a1?12,S10?0,S11?0，（1）求公差d的范围；（2）指出

S1,S2,S3,?,S10中，那一个的值最大，并说明理由

10、等差数列?an?中，已知a1??20,d?3，（1）从第几项开始有an?0；（2）求此数列的前n项的和的最小值

11、等差数列?an?中，前5项的和是34，后5项的和是146，所有项的和是234，请问这个数列有多少项？它的第7项是多少？

12、有三个数成等差数列，和为9，平方和为35，求这三个数 13、数列?an?中，已知an?20?2n，求数列an的前n项的和 14、数列?an?中，已知an?2n?12，求数列an的前n项的和

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????涟水银杏教师联盟精品教案系列

第15讲：等比数列

一、 必备基本知识

1、 定义：与等差数列定义类似，从数列的第2项起，如果每一项与它的前一项的比值是同

一个常数（≠0），则这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q

表示。即

a2a3a4??=?=q a1a2a32、 通项公式：an?a1qn?1，an?amqn?m

3、 等比中项：如果有三个数a、b、c成等比数列，则b2=ac，且b成为a和c的等比中项 4、 前n项和公式：若公比q=1，则Sn?na1；

a1(1?qn)a1?anq? 若公比q?1，则Sn?

1?q1?q5、 下标和定理：m?n?p?q?am?an?ap?aq，m?n?2p?am?an=(ap) 6、 前n项和的性质：

形如Sn、S2n?Sn、S3n?S2n、?的数列一定是等比数列，且公比为q

n2二、 典型例题解析

1、在等比数列?an?中：（1）已知a1?3，q??2，求a6； （2）已知a3?20，a6?160，求an 2、有3个数成等比数列，和为7，积为8，求这三个数 3、在等比数列?an?中，a3?6，a4?18，求a1?a2 4、在等比数列?an?中，已知a5?a1?15，a4?a2?6，求a3 5、在等比数列?an?中，若Sn?3n?a，求实数a 6、求数列1?

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1111，2?，3?，… ，n?n的前n项和 2824涟水银杏教师联盟精品教案系列

三、 必要习题巩固

1、在等比数列?an?中，若a1?a2?a3?6，a2?a3?a4??3，求a3?a4?a5?a6?a7?a8的值

2、在等比数列?an?中，各项都是正数，且a2a4?2a3a5?a4a6?25，求a3?a5的值 3、在等比数列?an?中，a1?an?66，a2an?1?128，Sn?126，求公比q

4、已知数列?an?中，Sn?2n?1， （i）求a1和an （ii）求证：数列?an?是等比数列 （iii）求由此数列的奇数项所组成的新数列的前n项和 5、在等比数列?an?中，各项都是正数，且a7a8?4， 求log4a1?log4a2?log4a3?????log4an的值

6、在2和30之间插入两个数，使前3个成等比数列，后3个成等差数列，求这两个数

227、已知数列?an?满足：an?1?an?4，且a1?1，an?0，求该数列的通项公式

123n???????n 24822f(n)?49、若f(1)?1，f(n?1)?，求f(2009)

28、求和：

10、已知数列?an?满足：a1?5，Sn?1?2Sn?n?5，（i）求证：数列?an?1?是等比数列；（ii）求数列?an?的前n项和Sn

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第16讲：基本不等式及其简单应用

一、 必备基本知识

1、基本不等式：若x?0且y?0，则

x?y?xy，当且仅当x?y是取等号 2a?ba2?b2【注】完整的基本不等式： ?ab??1122?ab2（其中a?0，b?0，且a?b时取等号）

2、勾式函数的性质： （1）形如y?x?k（k?0）的函数称为勾式函数； x（2）性质：定义域 值域 单调性 奇偶性 拐点 （3）图形结构（以y?x?1为例） x3、一元二次不等式（组）与线性规划

（1）y?kx?b表示直线y?kx?b上方的区域

?b y?kx表示直线y?kx?b下方的区域

【注】直线y?kx?b是区域的边界，在作图的时候化成虚线还是实线的标准是不等式中是．．否有等号，有等号化成实线，否则化成虚线。

（2）不等式组的区域是组内不等式的区域的交集。 ．．

（3）线性规划中的最值问题：一般采用边界交点验值法。（参例题） ．．．．．．．

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二、 典型例题解析

12(a?b2)，则?ABC是什么三角形？ 4ba12、设a、b是正数，证明下列不等式：（1）??2；（2）a??2

aba1、?ABC中，若S??3、设a、b、c都是正数，求证：（1）a?b?c?ab?bc?ac

（2）

222bcacab???a?b?c abc4、设x?0，y?0，x?y?1，求证：(1?)(1?1x1)?9 y16??)，求此函数的最小值。 ，x?(?2，x?26、若a、b是正数，满足ab?a?b?3，求：（1）ab的取值范围；（2）a?b的取值范围。

5、已知函数y?x?7、若点（1，2）和（1，1）在直线3x?y?m?0的异侧，求实数m的取值范围。

?x?2y?3?0?8、已知M（t，1）在不等式组?x?4y?8?0所表示的区域内，求整数t的值。

?3x?y?4?0??4x?5y?21?0?9、已知x，y满足?x?3y?7?0，求目标函数z?x?2y的最值。

?2x?y?7?0?

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三、 必要习题巩固

1、 已知a、b、c、d都是正数，求证：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 2、 已知a、b、c都是正数，且a?b?c?1，求证：3、求函数y?4x?21?a1?b1?c???6 abc9的最小值，并求函数取最小值时的x的值 x24、已知正数x，y满足x?2y?1，求

11?的最小值 xy5、已知正数x，y满足2x?8y?xy?0，求x?y的最小值 6、已知正数x，y满足

19??1，求x?y的最小值 xyxy7、已知2x?3y?4，求4?8的最小值

8、要建造一个容积为8m，深为2m的无盖长方体水池，如果池底和池壁的造价分别是120元每平方米和80元每平方米，那么水池的最低造价是？

3

?x?1?9、已知x，y满足?x?3y??4，求目标函数z?2x?y的最大值和最小值。

?3x?5y?30?

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第17讲：立体几何中的平行问题

一、 必备基本知识

【知识准备】正方体、长方体、空间四边形、三棱锥、正四面体等模型 1、空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面； 空间线面的位置关系：平行、相交、线在面内； 空间两平面的位置关系：平行、相交、重合

2、直线平行问题的传递性：若a∥b，b∥c，则a∥c 3、线面平行的判定定理：

如果平面?外一条直线a与平面?内一条直线b平行，则a∥? 4、线面平行的性质定理：

如果a∥?，那么过直线a如果作一个平面?与平面?交于直线c，那么一定有a∥c 5、面面平行的判定定理：

如果平面?内有两条相交的直线a和b都与平面?平行，则?∥? 6、面面平行的性质定理：如果?∥?，则?内任意一条直线都与?平行 7、几个零碎的知识：

（1）异面直线所成角及其范围、直线和平面所成角及其范围、二面角及其范围 （2）点到直线距离、点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离 （3）正视图、左试图、俯视图及其作用

二、 典型例题解析

1、在如图空间四边形ABCD中，点E、F、G、H是中点， 求证：（1）EH∥平面BCD （2）BD∥平面EFGH （3）四边形EFGH是平行四边形

（4）要添加什么条件才能使四边形EFGH是菱形、矩形、正方形？

AHEDGBFC

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2、在如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E是中点，求证：（1）AC1∥面EB1D1 （2）面AB1D1∥面C1BD

ADBECA1D1

3、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交与AB，M?AC、N?FB，

B1C1且AM?FN，求证：MN∥面BCE

ADFMBNCE

4、在三棱锥S-ABC中，点M、N是三角形SAB和SBC的重心，求证：MN∥面ABC

SMABNC

【注】三角形中的“四心”问题：三条中线的交点是重心（1：2），三条角平分线的交点是内心，三条中垂线的交点是外心，三条高的交点是垂心，在等边三角形中，四心重合，称为“中心”。

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