2008年全国中考数学压轴题精选1含答案（修）

学习改变命运，思考成就未来

2008年全国中考数学压轴题精选（一）

1（08福建莆田26题）（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为x??b） 2a

（08福建莆田26题解析）（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为y??(x?3)(x?4)??13121x?x?4 33解法二：设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)，

1?a????9a?3b?4?0?3依题意得：c=4且? 解得?

?16a?4b?4?0?b?1?3? 所以 所求的抛物线的解析式为y??

（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB?121x?x?4 33AO2?BO2?32?42?5

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2

因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB

1

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DQCDDQ210??,DQ? 即ABCA57710252525?1?所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，t?

777725所以t的值是

7（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x??b1? 2a21对称 2所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线x?连接AQ交直线x?1于点M，则MQ+MC的值最小 2过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO

10QEDQDEQEDE?? 即 ?7?BOABAO45386620208所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）

777777设直线AQ的解析式为y?kx?m(k?0)

8?20?k?m?则?77 由此得 ???3k?m?08?k???41 ?24?m???411?x??824?2x?所以直线AQ的解析式为y? 联立?

8244141?y?x???41411?x??128?2) 由此得? 所以M(,824241?y?x???4141则：在对称轴上存在点M(

2

128,)，使MQ+MC的值最小。 241 学习改变命运，思考成就未来

2（08甘肃白银等9市28题）（12分）如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）． ．．(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=

1AC； 2(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

图20

（08甘肃白银等9市28题解析）本小题满分12分

解：(1)（4，0），（0，3）； ······················ 2分 (2) 2，6； ···························· 4分 (3) 当0＜t≤4时，OM=t． 由△OMN∽△OAC，得∴ ON=

OMON?， OAOC33t，S=t2． ········· 6分 48当4＜t＜8时，

如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4． 方法一：

33(t?4)，∴ BM=6-t． ········· 7分 444由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8-t，∴ CN=t-4． ········· 8分

3由△DAM∽△AOC，可得AM=

S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积

3133(t?4)-（8-t）（6-t）-(t?4) 222432=?t?3t． ························· 10分

8=12-方法二：

易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t． ·········· 7分

3

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由△BMN∽△BAC，可得BM=以下同方法一． (4) 有最大值． 方法一： 当0＜t≤4时，

333BN=6-t，∴ AM=(t?4)． ······ 8分 44432t的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大， 832∴ 当t=4时，S可取到最大值?4=6； ··············· 11分

8∵ 抛物线S=当4＜t＜8时， ∵ 抛物线S=?32t?3t的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S＜6． 8综上，当t=4时，S有最大值6． ··················· 12分 方法二：

?32t，0?t≤4??8∵ S=?

??3t2?3t，4?t?8??8∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示． ······· 11分 显然，当t=4时，S有最大值6． ·················· 12分

说明：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1分；否则，

不给分．

4

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3（08广东广州25题）（14分）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米 （1）当t=4时，求S的值

（2）当4?t???，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值

图11

（08广东广州25题解析）（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合， 重合部分是?BDC＝

1?2?23?23 2 5

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4（08广东深圳22题）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），

OB＝OC ，tan∠ACO＝

1． 3（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

yy

AOBxAOBE x GCC

DD

图 96

图 10 学习改变命运，思考成就未来

（08广东深圳22题解析）（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ?1分

?a?b?c?0?将A、B、C三点的坐标代入得?9a?3b?c?0 ??????????2分

?c??3??a?1?解得：?b??2 ??????????3分

?c??3?所以这个二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 ??????????3分 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ??????????1分 设该表达式为：y?a(x?1)(x?3) ??????????2分 将C点的坐标代入得：a?1 ??????????3分 所以这个二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 ??????????3分 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） ??????????4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3

∴E点的坐标为（－3，0） ??????????4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3） ??????????5分 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3

∴E点的坐标为（－3，0） ??????????4分 ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3） ??????????5分 （3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R?1?17 ????6分 2My1RRN②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r）， 代入抛物线的表达式，解得r??1?17 ???7分 2AMO1rrNBx∴圆的半径为

1?17?1?17或． ?????7分 227

D

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（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为y??x?1．?????8分 设P（x，x?2x?3），则Q（x，－x－1），PQ??x?x?2．

22S?APG?S?APQ?S?GPQ?当x?

1(?x2?x?2)?3 ??????????9分 21

时，△APG的面积最大 2

此时P点的坐标为?,??1?22715?． ??????????10分 ?，S?APG的最大值为84?

5（08湖北恩施24题）(本大题满分12分) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和

AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如

图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE. （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明

理由.

A y A 222222B D E G C B D O E G C x F F 图11 图12 8

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（08湖北恩施24题解析） (本大题满分12分)

解:(1)?ABE∽?DAE, ?ABE∽?DCA 1分 ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45°

∴?ABE∽?DCA 3分 (2)∵?ABE∽?DCA

∴

BEBA? CACD 由依题意可知CA=BA=2

∴

m2?2 n ∴m=

2 5分 n 自变量n的取值范围为1

2 n∴m=n=2 ∵OB=OC=

1BC=1 2∴OE=OD=2－1

∴D(1－2, 0) 7分 ∴BD=OB－OD=1-(2－1)=2－2=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－2)=22－2 ∵BD＋CE=2 BD=2(2－2)=12－82, DE=(22－2)= 12－82 ∴BD＋CE=DE 8分 (4)成立 9分 证明:如图,将?ACE绕点A顺时针旋转90°至?ABH的位置,则CE=HB,AE=AH, ∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.

A

H

C B D E

G

F 9 222222222

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连接HD,在?EAD和?HAD中

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD. ∴?EAD≌?HAD ∴DH=DE

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ∴BD+HB=DH

即BD＋CE=DE 12分

6（08湖北荆门28题）（本小题满分12分）

2

已知抛物线y=ax+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=－4ac． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，

求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；

(3) 根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?

y y C P B P B A x O D x O P2 A P1

第28题图 第28题图

（08湖北荆门28题解析）解：(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1． 又b=-4ac, 顶点A(-222222b,0), 2a10

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∴-

b=2a4ac=2c=2．∴A(2,0)． ???????????????2分 2a 将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0 ，

1?b??4a, ∴ ? 解得a =,b =-1.

4?4a?2b?1?0. 故抛物线的解析式为y=

12

x-x+1． ???????????????4分 42

另解: 由抛物线过B(0,1) 得c=1．又b-4ac=0, b=-4ac，∴b=-1． ???2分 ∴a=

112,故y=x-x+1． ?????????????????4分 44 (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y), 作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC．

∵A在以BC为直径的圆上,∴∠BAC=90°． ∴ △AOB∽△CDA． ∴OB·CD=OA·AD．

即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4． ????????6分

?y?2x?4, 由? 解得x1=10,x2=2． ?12y?x?x?1.?4?

∴符合题意的点C存在，且坐标为 (10,16)，或(2,0)． ??????????8分

∵P为圆心，∴P为BC中点．

当点C坐标为 (10,16)时，取OD中点P1 ，连PP1 , 则PP1为梯形OBCD中位线．

11717∴PP1=(OB+CD)=．∵D (10,0), ∴P1 (5,0), ∴P (5, )． 222 当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P2 ，连PP2 , 则PP2为△OAB的中位线．

1∴PP2=OB=1．∵A (2,0), ∴P2(1,0), ∴P (1,1)．

22217故点P坐标为(5, ),或(1,1)． ???????????????10分

22(3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1), P(x2,y2), C(x3,y3)，由(2)可知：

x?x3y?y3 x2?1,y2?1. ???????????????12分

22

7（08湖北咸宁24题）（本题(1)～(3)小题满分12分，(4)小题为附加题另外附加2分） 如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

(1) 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，

请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2) 求正方形边长及顶点C的坐标；

(3) 在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标． (1) 附加题：（如果有时间，还可以继续 yD

A11 PBC11x

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解答下面问题，祝你成功！） 如果点P、Q保持原速度速度不 变，当点P沿A→B→C→D匀 速运动时，OP与PQ能否相等， 若能，写出所有符合条件的t的 值；若不能，请说明理由．

（08湖北咸宁24题解析）解：（1）Q(1,0) -----------------------------1分 点P运动速度每秒钟1个单位长度．-------------------------------3分 (2) 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF?BE?4. ∴AF?10?4?6.

在Rt△AFB中，AB?82?62?10.----------------------------5分 过点C作CG⊥x轴于点G,与FB的延长线交于点H.

∵?ABC?90?,AB?BC ∴△ABF≌△BCH. ∴BH?AF?6,CH?BF?8. ∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12.

∴所求C点的坐标为（14，12）.------------7分

(3) 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，

则△APM∽△ABF.

AMFONQPHGxyDCBE ∴

APAMMPtAMMP. ??. ???ABAFBF10683434 ∴AM?t,PM?t. ∴PN?OM?10?t,ON?PM?t.

5555设△OPQ的面积为S(平方单位)

13473∴S??(10?t)(1?t)?5?t?t2(0≤t≤10) --------------------10分

251010 说明:未注明自变量的取值范围不扣分.

473<0 ∴当t??时, △OPQ的面积最大.--------------11分 ?36102?(?)104710 ∵a?? 此时P的坐标为(

9453，) . ----------------------------------12分 15105295 (4) 当 t?或t?时, OP与PQ相等.-----------------------------14分

313 对一个加1分,不需写求解过程.

8（08湖南长沙26题）如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA.

（1）当∠BAD=75?时，求⌒BC的长； （2）求证：BC∥AD∥FE；

（3）设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并指出x为何值时，L取得最大值.

B C 12 A · O F D

E 学习改变命运，思考成就未来

（08湖南长沙26题解析）(1)连结OB、OC，由∠BAD=75?，OA=OB知∠AOB=30?， （1分） ∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30?，∴∠BOC=120?， ·············· （2分） ⌒的长为2?r． ··························· （3分） 故BC

3(2)连结BD，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD， ············· （5分）

同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE． ··················· （6分） (3)过点B作BM⊥AD于M，由(2)知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC=AD-2AM=2r-2AM．（7分）

∵AD为直径，∴∠ABD=90?，易得△BAM∽△DAB

2222∴AM=AB=x，∴BC=2r-x，同理EF=2r-x ············ （8分）

AD2rrr22∴L=4x+2(2r-x)=?2x2?4x?4r=?2?x?r??6r，其中0＜x＜2r ·· （9分）

rrr∴当x=r时，L取得最大值6r． ···················· （10分）

9（08湖南益阳24题）(本题12分)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.

(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

y (3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.

C A B x M O

D

13

图12 学习改变命运，思考成就未来

（08湖南益阳24题解析）(本题12分)解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；

则设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?3)(a≠0)

又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1

2

∴y=x-2x-3 ·············································································································· 3分 自变量范围：-1≤x≤3 ··························································································· 4分

解法2：设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a≠0)

根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上

?a?b?c?0?a?1?? ∴?9a?3b?c?0，解之得：?b??2

?c??3?c??3??∴y=x-2x-3 ····················································································· 3分

自变量范围：-1≤x≤3 ··································································· 4分

(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM， 在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=3 在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4

∴点C、E的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ······················································ 6分

2

∴切线CE的解析式为y?3································································ 8分 x?3

3y

A B x M O E

D

解图12

(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) ······························ 9分

??y?kx?3 由题意可知方程组?只有一组解 2?y?x?2x?3?C 14

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即kx?3?x2?2x?3有两个相等实根，∴k=-2 ················································· 11分 ∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3 ························································· 12分

10（08江苏南京28题）（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系． ．．．．．．．根据图象进行以下探究： 信息读取

（1）甲、乙两地之间的距离为 km； （2）请解释图中点B的实际意义； 图象理解

（3）求慢车和快车的速度；

y/km A 900 C O B 4 D 12 x/h （第28题）

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

（08江苏南京28题解析）28．（本题10分） 解：（1）900； ······························· 1分 （2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． ······· 2分 （3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km， 所以慢车的速度为

900?75(km/h)； ···················· 3分 12当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为

900?225(km/h)，所以快车的速度为150km/h． ··············· 4分 4900?6(h)到达乙地，此时两车之间的距离为（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶1506?75?450(km)，所以点C的坐标为(6，450)．

0)，(6，450)代入得 设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y?kx?b，把(4，?0?4k?b， ?450?6k?b.?解得??k?225，

?b??900.所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y?225x?900． ······ 6分 自变量x的取值范围是4≤x≤6． ····················· 7分 （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h． 把x?4.5代入y?225x?900，得y?112.5．

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学习改变命运，思考成就未来

此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是112.5?150?0.75(h)，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h． ······ 10分

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