《高数（上）》单元训练题（2016版）

第一章 函数与极限

一、单项选择题

1、下列极限中正确的是（ ）．

1sinx1sin2x?1（B）limxsin?1（C）lim?2（D）lim2x?? （A）limx?0x??x?0x?0xxx2、当x?0时，与x等价的无穷小量是（ ）． (A)1?ex? (B)ln1?x (C)1?x?1 (D)1?cosx

1?x3cosx3、极限lim(1?cosx)x?03?（ ）． (A)e (B)8 (C)1 (D)?

x3?x4、设函数f(x)?，讨论函数的间断点，则结论为（ ）．

sin?x(A)有无穷多个第一类间断点 (B)只有一个可去间断点 (C)有两个跳跃间断点 (D)有三个可去间断点

ex?15、设f(x)?，则x=0是f(x)的（ ）．

x(A)可去间断点(B)无穷间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点 6、函数f(x)在x0连续是f(x)具有极限（x→x0）的（ ）．

(A)必要条件(B)充分必要条件(C)既不是充分条件也不是必要条件(D)充分条件 7、极限limx?01?cos2x?（ ）． (A)2 (B)1 (C)?2 (D)不存在

x8、函数f(x)?x?2的间断点是（ ）．

(x?1)(x?3)(A)x=3 (B)x=2 (C)x=1 (D)x=1和x=3

9、设f(x)?2?3?2，则当x?0时，有（ ）．

(A)f(x)与x是等价无穷小 (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小 (C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小

xx?ex,x?010、若函数f(x)??在(??,??)上连续，则a=（ ）．

?a?x,x?0(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 2

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11、设函数y?x，则下列说法中正确的是（ ）．(A)函数只有第一类间断点 tanx(B)有跳跃间断点和无穷间断点 (C)只有可去间断点和无穷间断点 (D)没有间断点

?x?1,0?x?1在x?1处间断是因为（ ）．（A）f(x)在x?1处无定义

2?x,1?x?3?f(x)不存在（C）limf(x)不存在（D）limf(x)不存在 （B）lim??12、函数f(x)??x?1x?1x?11x的结果为（ ）13、lim．(A)不存在 (B)0 (C)1 (D)?

x?0cosxxsin14、当x→0时，下列四个无穷小量中，比其他三个更高阶的无穷小量是（ ）． (A)x (B)1?cosx (C)1?x2?1 (D)x?tanx 15、下列无穷小中，在x→0时是同阶无穷小的是（ ）．

2(A)3x2?x4与x (B)3x2?x4与x2 (C)3x2?x4与x3 (D)3x2?x4与x4

1sin2mx2m16、lim（其中是非0常数）等于（ ）．(A) (B)1 (C)(D) mm22x?0mx11?k?17、lim?1???e2，则k=（ ）．(A)2 (B)-2 (C) (D)?

x??22?x?18、下列极限正确的是（ ）． (A) limxsinxsinx1?1 (B) lim?1 (C) limxsin?1 (D) limx??x?02xx??x?0xx1xsin1x?1

19、函数y?f(x)在点x0处有定义，是limf(x)存在的（ ）．

x?x0(A)必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 20、下列各式中正确的是（ ）．

?1?(A)lim?1???e(B)lim(1?x)x?e(C)lim(1?x)?x?e(D)lim(1?x)x?e

x??x?0x?0x???x?二、填空题 21、极限limx111sin(??x)?________.

x??x??22、极限lim?xsin24、函数y??x???1?x?32sin3x?lim? ． ?? ． 23、极限?2x??2xx?x?x?21的间断点是_____________，它们是第_______类间断点． sin?x数统学院陈强编 第 1 页

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3x2?52sin?________． 25、极限limx??5x?2x26、数列{xn}有界是数列{xn}收敛的_____________条件；limf(x)存在是f(x)在x0的某去心

x?x0邻域内有界的_____________条件．

27、lim1?cos2x?1?2???nn??________． 28、lim????_______．

x?0n??xsinxn?22??1x?_____．30、极限lim(n?3n?n?n)?_______． 29、limx?0(1?cosx)ln(1?x)n??3sinx?x2cos三、计算题 31、limx?????1?x2?3x?x2?1.． 32、lim?1??．

x????x?x?xln(1?x)?x?3?33、lim． 34、lim??． x?01?x?1x??x?2??x(ex?1)7x?5?x?735、lim． 36、lim． 2x?0x?2cosx?1x?3x?2x2sin(1x)1?cosx37、lim． 38、lim．

x?0x?0?x(1?cosx)sinx39、lim??1??x?01?x??1?12x． 40、lim(1?3tanx)x?02cot2x．

四、综合题

?ax2?bx,x?141、求a、b的值使函数f(x)??在(??,??)内连续． ?3,x?1?2a?bx,x?1??tanax,x?042、设f(x)??在点x?0处连续，求a． ?x??x?2,x?043、设f(x)在x?2处连续，且f(2)?3，求limf(x)?x?24??1． ?2?x?2x?4???21x?144、设f(x)??21x?1,x?0，问f(x)在点x?0处是否连续．

??1,x?0?数统学院陈强编 第 2 页

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?sinxx?0?x,?45、k为何值时，函数f(x)??x?0在其定义域内连续？ ?k,??xsin1?1,x?0x??五、证明题

46、证明方程x?asinx?b(a?0,b?0)至少有一个正根． 47、证明方程x?x?3?0在(0,2)至少有一个实根．

3(1?x)248、证明：函数f(x)?在(??,??)上有界．

1?x249、证明方程x?3x?1至少有一个根介于1和2之间． 50、证明方程sinx?x?1?0在??5????,?内至少有一个根． 22??六、考研题

1、若x?0时，下列变量中为无穷小量的是（ ）.

1111(A) (D) (1?x)x?1 sin2 (B) ln(x?1) (C) 2lnxxx?2、设x?0时，ex?(ax2?bx?1)是比x高阶的无穷小，则（ ）． (A)a?211,b?1 (B) a?1,b?1 (C) a??,b?1 (D) a??1,b?1 2223、当x→0时，f(x)?x?sinax与g(x)?xln(1?bx)为等价无穷小，则（ ）．

(A)a?1,b??1111 (B)a?1,b? (C)a??1,b?? (D)a??1,b? 66662nn4、设当x→0时，(1?cosx)ln(1?x)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比（e?1）高阶的无穷小，则正整数n等于（ ）． (A)1 (B)2 (C)3 (D) 4

x25、函数f(x)?(e?e)tanxx(e?e)1x1x在区间???,??上的第一类间断点是x?（ ）.

(A)0 (B)1 (C) ??2 (D)

? （提示：关注分子分母的零点） 2ex?e?xex） 6、极限lim的值为（ ）.（提示：分子分母同乘

x?0x(1?x2)(A)0 (B)1 (C) 2 (D) 3

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x3?x2?17、极限lim(sinx?cosx)?_____.(提示：第一部分极限为0，第二部分有界)

x??2x?x318、极限lim(cosx)ln(1?x)?___________.（提示：先用对数恒等式，再用罗必达法则）

x?029、极限lim(n??n?1(?1)n)?____________.（提示：用对数恒等式） n10、极限lime?ecosx1?x?12x?03?___________.

12411、若x?0时，(1?ax)?1与xsinx是等价无穷小，则a?__.（提示：等价无穷小代换）

212、当x?0时，?(x)?kx与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k?__.

13、已知函数f(x)连续，且limx?01?cos?xf(x)?(e?1)f(x)x2?1，则f(0)?___.（提示：等价无穷小代换）

14、设f(x)?lim15、若要limx?0(n?1)x，则f(x)的间断点为x?_______.（提示：先求f(x)的表达式）

n??nx2?1tanx?sinx1?，则P=________. px2xln(1?x)?_________.

1?cosx16、极限limx?0117、求极限lim3x?0x18、求极限limx?0??2?cosx?x?????1?.（提示：括号内用对数恒等式后用等价无穷小代换）

3??????1sinxln.（提示：罗必达法则） 2xx?(cosx)x.（提示：用第二个极限公式求） 19、求lim?x?020、求极限limx?01?tanx?1?sinx.

xln(1?x)?x2

第二章 导数与微分

一、单项选择题

1、设函数f(x)在x=1处可导，且limh?0f(1?h)?f(1?h)1?,则f?(1)?（ ）．

h2(A)

1111 (B) (C) ? (D) ? 2424数统学院陈强编 第 4 页

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2、设函数f(x)???x,x?0在x=0处（ ）．

tanx,x?0?(A)导数为0 (B)导数为1 (C) 导数为2 (D)导数不存在 3、曲线y?(A)y?4x?11在点(2,)处的切线方程是（ ）． x215xx (B)y???1 (C)y?4x?8 (D)y???4 2444、设f?(x)?lncosx,则f??(x)?（ ）．

(A)cotx (B) tanx (C) -tanx (D) -cotx 5、设y?xlnx,则y(A)?(10)． ?（ ）

118!8!? (B) (C) (D) 9999xxxx6、直线m与x轴平行，且与曲线y?x?ex相切，则切点坐标是（ ）． (A)（1，1） (B)（-1，1） (C)（0，-1）(D)（0，1） 7、设函数y?f(x)满足limx?0f(0)?f(2x)?1,则f?(0)=（ ）．

x(A)

1111 (B) (C) ? (D) ? 24428、下列命题正确的是（ ）．

（A）f(x)在x0处可导则limf(x)存在；（B）f(x)在x0处连续则f(x)在x0处可微；

x?x0（C）limf(x)存在则f(x)在x0处连续；（D）f(x)在x0处不可导则f(x)在x0处不连续．

x?x09、设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100)，则f?(0)?（ ）． (A) -100 (B) 0 (C) 100 (D) 100！ 10、设函数f(x)?e?1

2x?1，则f(x)在x?0处的二阶导数f??(0)?（ ）．

?1(A)0 (B) e (C) 4e (D) e 二、填空题

11、曲线y?xlnx上的平行于直线2x?y?1的切线方程为________________．

??arctanx??______________________． 12、?2??1?x?13、sinx?e?cosx???_________________． 14、设y?ex2,则y???__________．

15、设y?ln31?x4,则dy?_______________________．

16、f(x)在点x0可导是在f(x)点x0连续的_______________________条件．

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17、设函数y?1，则y??_________________．

1?cosx18、设函数y?(1?x2)arctanx，则f?(0)?_________________． 19、设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定，则

dy?_____________． dx20、设y(n?2)?ax?xa?aa(a?0,a?1)，则y(n)?_________________． 三、计算题

21、y?e?x(sinx?cosx)，求y?． 22、y?ln(x?xx2?1),求y?．

23、y?arctan(sinx?x2),求dy． 24、y?(lnx),求y?． 25、求由方程xy2?siny?ex所确定的函数y(x)的导数

32xdy． dx?x?a(t?sint)d2y26、设y?xe，求y??． 27、若?，求2．

dx?y?a(1?cost)28、y?xe，求yx(n)． 29、设y?lncose． ??，求dydxx30、设y?lnlnlnx，求y?． 31、设y?arcsin(sinx)，求y?． 32、设y?cosx?lnx，求y??． 35、设y?x2x，求y?．

xy33、设函数y?y(x)由方程2?x?y所确定，求dyx?0．

34、设y?(1?x)，求y?． 37、设y?cosx，求y?． 36、求由方程y?x?arccos(xy)所确定的函数y(x)的导数

31x32dy． dxdy． dx38、求由参数方程x?a(t?sint),y?b(1?cost)所确定的函数y?y(x)的导数39、设y?1(n)2x，求． 40、设yy?ecos3x，求dy． 2x?5x?632四、综合题

41、求曲线y?x?3x?5的一条切线，使此切线与直线2x-6y+1=0垂直．

?sinx2,x?042、设f(x)??，讨论函数在x=0处的可导性．

ln(1?x),x?0?43、设y?f(e)exf(x)，其中f?(x)存在，求y?．

??ln(1?x),?1?x?044、设f(x)??，讨论函数在x=0处的可导性．

??1?x?1?x,0?x?1数统学院陈强编 第 6 页

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(x?1)2(x?2)345、设y?，求y?．

x?3(x?4)46、求曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程．

47、设函数y?f(x)由方程e2x?y?cos(xy)?e?1所确定，求曲线y?f(x)在点（0，1）处的法线方程．

五、证明题

48、设f(x)在(??,??)内可导，求证当f(x)为奇函数时，则f?(x)为偶函数． 49、验证函数y?exsinx满足关系式y???2y??2y?0．

50、证明：双曲线xy?a上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a．

22六、考研题

f(h2)?1，则（ ）1、设函数f(x)在x?0处连续，且lim．（提示：用左右导数的定义）

h?0h2(A) f(0)?0且f??(0)存在 (B)f(0)?1且f??(0)存在 (C) f(0)?0且f??(0)存在 (D)f(0)?1且f??(0)存在 2、设函数g(x)可微，h(x)?e1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于（ ）． (A) ln3?1 (B) ?ln3?1 (C) ?ln2?1 (D) ln2?1

?x?t2?2t3、设函数y?y(x)由参数方程?所确定，则曲线y?y(x)在x=3处的法线与x轴交

?y?ln(1?t)点的横坐标是（ ）．

(A) ln2?3 (B) ?ln2?3 (C) ?8ln2?3 (D) 8ln2?3 4、设f?(x)?g(x)，则

1818df(sin2x)等于（ ）． dx22(A) 2g(x)sinx (B) g(x)sin2x (C) g(sinx) (D) g(sinx)sin2x 5、设函数y?1(n)，则y(0)?___________. 2x?36、曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________________.

47、设函数y?f(x)由方程xy?2lnx?y所确定，则曲线y?f(x)在点（1,1）处的切线方程

为______________.

y8、设函数y?y(x)由方程y?1?xe所确定，则

dydxx?0?___________.

9、曲线sin(xy)?ln(y?x)?x在点（0,1）处的切线方程为__________________.

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?x?cost?cos2t?10、曲线?上对应于t?的点处的法线斜率为___________.

4?y?1?sint11、设y?(1?sinx)x，则dyx???___________.（提示：用对数求导法）

12、设函数f(x)在x?2的某邻域内可导，且f?(x)?ef(x),f(2)?1，则f???(2)?____.

?113、函数y?f(x)具有连续的一阶导数，已知f(0)?1,f?(0)?2，则?f?(x)???x?0?___.

14、设x(t)?ln(2t)，则dx?________. t15、设y(x)?ln(sinx?1?sin2x)，求dy. 16、设f(x)在x=1处可导且f?(1)?2，求极限limx?0f(1?x)?f(1?x).

x?1,x?0?17、讨论函数f(x)??1?x2在x?0处是否可微.（用导数定义求左右导数）

?1?x2,x?0?18、设f(x),g(x)都为可导函数，且f?(x)?g(x),g?(x)??f(x),f(0)?1,g(0)?0，证明：

f2(x)?g2(x)?1.

2t2?dy?x?ecost19、设?，求. 2t2dx??y?esint2??x,x?x020、设f(x)??，若要使函数f(x)在点x?x0处连续可导，应如何选取系数a,b？

??ax?b,x?x0（提示：用左右连续和左右导数的定义）

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、单项选择题

1、设f?x?在?a,b?上连续,在?a,b?内可导，f?a??f?b?，则在?a,b?内，曲线y?f?x?上平行于x轴的切线（ ）．?A?至少有一条?B?仅有一条?C?不一定存在?D?不存在 2、函数f(x)=sinx在[0，?]上满足罗尔定理结论的ξ=（ ）． （A） 0 （B）

?3? （C）? （D） 223、如果x0?(a,b),f?(x0)?0,f??(x0)?0，则x0一定是f(x)的（ ）． （A）极小值点 （B）极大值点 （C）最小值点 （D）最大值点 4、函数f(x)=2x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日定理的ξ等于（ ）．

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(A) ?33 (B)0 (C) (D) 1

445、函数y?x?4的单调减区间为（ ）． x(A)(??,?2),(2,??) (B) (?2,2) (C) (??,0),(0,??) (D) (?2,0),(0,2) 6、若x0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是（ ）．

(A)f?(x0)?0(B)f?(x0)?0(C)f?(x0)不存在(D)f?(x0)?0或f?(x0)不存在

7、若在（a，b）内，f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在（a，b）内为（ ）．(A)单调上升而且 是凸的(B)单调上升而且是凹的(C)单调下降而且是凸的(D)单调下降而且是凹的

8、曲线y?x?6x?9x?2的拐点是（ ）．

（A）（1，6）（B）（2，3） （C） （2，4） （D）（3，2）

9、y?f(x)在(a,b)内可导，且a?x1?x2?b，则下列式子正确的是（ ）． （A）在(x1,x2)内只有一点?，使

32f(x2)?f(x1)（B）在(x1,x2)内任一点?处均有?f?(?)成立；

x2?x1f(x2)?f(x1)f(x1)?f(a)（C）在(a,x1)内至少有一点?，使（D）在?f?(?)成立；?f?(?)成立；

x2?x1x1?a(x1,x2)内至少有一点?，使

f(x2)?f(x1)?f?(?)成立．

x2?x110、求下列极限时，（ ）可用罗必达法则得出结果．

x?sinx?sin2xx2?1limx(?arctanx)． （A）lim；（B）lim；（C）；（D）lim2x??x?sinxx???x??x???2xx11、下列命题中正确的是（ ）． （A）若x0为f(x)的极值点，则必有f?(x0)?0 （B）若f?(x0)?0，则x0必为f(x)的极值点（C）若f(x)在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值（D）若x0为函数y?f(x)的极值点，则f?(x0)?0或f?(x0)不存在．

12、设x?x0为y?f(x)的驻点，则y?f(x)在x0处必定（ ）．

（A）不可导 （B）不连续（C）有极值（D）曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线平行x轴．

13、曲线y?lnx?1，则（ ）． （A）有一条水平渐近线（B）有一条铅直渐近线x3（C）有一条水平渐近线，又有一条铅直渐近线（D）没有水平与铅直渐近线

14、y?x?2x在其定义域内（ ）．

（A）有两个极值点 （B）有一个极值点 （C）有三个极值点 （D）无极值点 15、曲线y?41?1的渐近线是（ ）． （A）只有一条水平渐近线 x?1数统学院陈强编 第 9 页

长江师范学院《高等数学（上）》单元训练题 2016年

（B）只有一条铅直渐近线（C）有一条水平渐近线和一条铅直渐近线（D）无渐近线

16、设函数f(x)在[0,1]上可导,f?(x)?0,并且f(0)?0,f(1)?0.则f(x)在(0,1)内( ).（A）至少有两个零点（B）有且仅有一个零点（C）没有零点（D）零点个数不能确定

17、曲线y?6x?24x2?x4的凸区间是（ ）.

（A）(?2,2) （B）(??,0) （C）(0,??) （D）(??,??) 18、函数y?e?x在定义域内是严格单调（ ）.

（A）递增且是凹的（B）递增且是凸的（C）递减且是凹的（D）递减且是凸的 19、设f(x)?13x?x，则x?1为f(x)在[-2,2]上的（ ）. 3（A）极小值点，但不是最小值点 （B）极小值点，也是最小值点 （C）极大值点，但不是最大值点 （D）极大值点，也是最大值点 20、函数y?x?arctanx在(??,??)内是（ ）.

（A）单调递增 （B）单调递减 （C）不单调 （D）不连续 二、填空题

ex?e?xex?e?x?2x?_______． ?_________． 22、lim21、limx?0sinxx?0x?sinx1ln(1?ex)x23、lim?_______． ?_______． 24、lim2x???x?0sinx1?xx2sin25、lim?x?03x2lnx?_______． 26、曲线y?ln(1?x2)的拐点是_______．

1327、若f(x)?asinx?sin3x在x?

?x?3

处有极值，则a=_____________．

28、曲线y?xe的凹区间是_____________．

29、设函数f(x)在x0处可导，则x0为f(x)的极值点是x0为f(x)的驻点的____条件． 30、若函数y?f(x)在点x0处的二阶导数f??(x0)存在，且点(x0,y0)为拐点，则f??(x0)?__． 三、计算题

x?sinxex?cosx31、lim． 32、lim．

x?0x?0x3sinx33、limln(x?1)?xtanx?1??2x． 34、lim?sin2x?cosx?．

x?01x35、lim[sinx?sin(sinx)]sinxarctanx?xlim. 36、.

x?0x?0ln(1?2x3)x4数统学院陈强编 第 10 页

长江师范学院《高等数学（上）》单元训练题 2016年

37、lim?1?x?1?x?21??1. 38、. lim??2x?0x?0x2xxtanx??2sinx39、lim(1?3x)x?0. 40、limcotx?x?01??1??.

?sinxx?1ln(1?sin2x)41、lim. 42、lim(1?x)x. 2x??x?0arcsin(x?x)四、综合题 43、讨论函数f(x)?44、求函数y?x的单调区间和极值． 21?xlnx的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点. x45、设曲线y?ax3?bx2?cx在点（1，2）处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求此曲线方程．

五、证明题

46、用拉格朗日中值定理证明：a?b?0,a?baa?b?ln?． abbx?ln(1?x)． 1?x47、利用函数的单调性证明：?x?0，有不等式248、设e?a?b?e，证明lnb?lna?224(b?a). e2六、应用题

49、设有一长8cm、宽5cm的矩形铁片，在每个角上剪去同样大小的正方形．问剪去正方形的边长多大，才能使剩下的铁片折起来做成开口盒子的容积为最大．

50、一房地产公司有50套公寓要出租．当月租金定为4000元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费400元的维修费．试问房租定为多少时可获得最大收入？最大收入是多少？

七、考研题

21、设f(x)?x(x?1)(x?2)，则f?(x)的零点个数为（ ）．（提示：用罗尔定理）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

2、设函数y?f(x)在点x?x0处连续且取得极大值，则f(x)在点x0处必有（ ）． (A)f?(x0)?0(B)f??(x0)?0(C)f?(x0)?0且f??(x0)?0(D)f?(x0)?0或不存在 3、设常数k>0，则函数f(x)?lnx?x?k在(0,??)内零点个数为（ ）． e(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

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长江师范学院《高等数学（上）》单元训练题 2016年

4、设limx?af(x)?f(a)??1，则在点x?a处（ ）． 2(x?a)(A)f(x)的导数存在且f?(x)取极大值 (B)f(x)取极大值 (C)f(x)取极小值 (D)f(x)的导数不存在 5、曲线y?e?2x的拐点坐标为_________.

236、曲线y?(x?5)x的拐点坐标为_________.

1ex

7、极限lim100的值等于_________.（提示：令?t）

x?0xx?

1

2(1?2x)3x?18、极限lim=_________.

x?0x29、曲线y?x?4sinx的水平渐近线方程为_________.（提示：求极限limy）

x??5x?2cosxyx210、曲线y?的斜渐近线方程为_________.（提示：a?lim,b?lim(y?ax)）

x??xx??2x?111、求lim??12?（提示：先通分） ?cotx?．

x?0x2??x2?lnx12、求极限lim．

x???xlnx21??13、求极限lim?sin?cos?．（提示：用对数恒等式和罗必达法则）

x??xx??14、求极限limxarctanx?sinx．（提示：直接用罗必达法则求）

x?0x3ex?1?x． 15、证明当x?0时，lnx16、设x?0,0?a?1，试证：x?ax?1?a.

17、已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?0,f(1)?1．证明：存在??(0,1)，使f(?)?1??．

18、设函数g(x),f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微且f(a)?f(b)?0，则存在??(a,b)，使得f?(?)?f(?)g?(?)?0．

19、设函数f(x)在[?1,1]上可微，且f(0)?0,f?(x)?M.证明：在[?1,1]上f(x)?M，其中M是大于零的常数.

20、求函数y?xe?e?1的单调区间，并指明单调性．

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xxa长江师范学院《高等数学（上）》单元训练题 2016年

第四章 不定积分

一、单项选择题

1、若f?(x)?g(x)，则（ ）． （A）（B）g(x)dx?f(x)?C（C）g?(x)dx?2、d(arcsin???f(x)dx?g(x)?C

f(x)?C（D）?f?(x)dx?g(x)?C

?x)?（ ）．

(A)arccosx (B)arccosx?C (C)arcsinx (D)arcsinx?C 3、设f(x)的原函数是(A)?1，则f?(x)?（ ）． x121 (B) (C) (D) lnx23xxx4、导数?f?(x)dx??（ ）．

????(A) f?(x) (B) f?(x)?C (C) f??(x)?C (D) f??(x) 5、若df(x)?dg(x)，则下列各式中不正确的是（ ）．

(A)df(x)?dg(x)(B)f?(x)?g?(x)(C)f(x)?g(x)(D)d?f?(x)dx??d?g?(x)dx?

????????6、设f(x)?ktan2x的一个原函数是

2lncos2x，则k=（ ）． 3(A)

3334 (B) (C) ? (D) ? 24237、设

?f(x)dx?xexx?C,则f(x)?（ ）．

xxx(A)(x?1)e (B) (x?2)e (C) (x?1)e (D) xe 8、

f?(x)． ?1?[f(x)]2dx?（ ）

11ln1?[f(x)]2?C(D)arctan[f(x)]?C 22(A)ln1?f(x)?C(B)arctan[f(x)]?C(C)

229、设f?(sinx)?cosx，且f(0)?0，则f(x)?（ ）．

(A)cosx?10、若

1111cos2x(B)cos2x?cos4x(C)x?x2 (D)x?x2 2222?f(x)dx?1?x2?C,则?f(sinx)cosxdx?（ ）．

(A)cosx?C (B) cosx?C (C) ?sinx?C (D) sinx?C 11、下列不定积分正确的是（ ）．

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长江师范学院《高等数学（上）》单元训练题 2016年

2(A)xdx?x?C(B)

?11dx??C(C)?sinxdx?cosx?C(D)?cosxdx?sinx?C ?x2x?x?x12、设F(x)是f(x)的一个原函数，则ef(e)dx等于（ ）．

?(A)F(e?x)?C (B)?F(e?x)?C (C)e?xF(e?x)?C (D)?e?xF(e?x)?C 13、不定积分?(A)??1?． ?1dcosx等于（ ）??cos2x??11?cosx?C(B)?cosx?C(C)?cotx?sinx?C(D)cotx?sinx?C cosxcosx． ?f(x)dx?F(x)?C,则?cosxf(sinx)dx?（ ）

14、若

(A)F(sinx)?C (B)?F(sinx)?C (C)F(cosx)?C (D)?F(cosx)?C 15、如果等式(A)

?f(x)e?1x． dx??e?C成立，则函数f(x)=（ ）

?1x1111 (B)2 (C)? (D)?2 xxxx16、设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则下列结论正确的是（ ）． (A)当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数(B)当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数

(C)当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数(D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数

17、设I?arctanxdx，则I=（ ）． (A)

?1?C 1?x212222(B)xarctanx?lnx?1?C(C)xarctanx?lnx?1?C(D)xarctanx?lnx?1?C

bx18、设I?adx，则I=（ ）．

?11bx1abxabxbx?C (B) ?lna?a?C (C) ?a?C (D) ?C (A) ?bbblnalna19、设I??1dx，则I=（ ）． 2ax112x1?12ax?C ?x?C (C) ?C (B) (A) x2?C (D) 2aa2a2a20、原函数族f(x)?C可写成（ ）形式． （A）

???（C）d?f(x)dx?（D）F?(x)dx f(x)dxf?(x)dx （B）????????二、填空题

10x3?3dx?__________． 21、?xxdx?__________． 22、?4x数统学院陈强编 第 14 页

长江师范学院《高等数学（上）》单元训练题 2016年

23、25、

sinx?cos2xdx?__________． 24、?7?5xdx?__________． dxdx?__________． 26、?9?4x2?(x?1)(x?2)?__________．

27、

??lnxdx?__________． 28、?xe?xdx?__________． xf(x)dx?3x2?C,则?xf(1?x2)dx?__________．

29、若

30、已知

?f(x)dx?xex?ex?C,则?f?(x)dx?__________．

三、计算题

1?x?x22xsindx． 31、求?． 32、求dx?22x(1?x)33、求

dx2xx． 34、求?edx． ?x(1?2lnx)235、求xarctanxdx． 36、求xln(1?x)dx．

??37、求

?lnsinxdxdx． ． 38、求?2sinxx(4?x)39、求

dxarctanx． 40、求?1?sinx?x2(1?x2)dx．

3x2x2?1dx． 41、求?xedx． 42、求?4x?11?cos2xxexdx． 43、求?dx． 44、求?21?cos2x(1?x)5245、求x(2x?5)dx． 46、求xtanxdx．

??四、综合题

47、已知f(x)的一个原函数为

lnx，求?f(x)?f?(x)dx． xx?x48、已知f?(e)?xe且f(1)=0，求f(x)．

49、若f(x)的一个原函数为xlnx，求xf(x)dx．

50、一曲线通过点(e,3)，且在任一点处的切线斜率都等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程． 五、考研题 1、求

2?122xxdx．（提示：分子加再减然后拆分） 42?x(1?x)数统学院陈强编 第 15 页

长江师范学院《高等数学（上）》单元训练题 2016年

2、求

?xtan1?x21?x2（提示：凑微分法） dx．

3、求

122dx1?sinx?cosx） ．（提示：分子4?sinxcosx4、求

?x31?x2dx．

5、求

dxxxee． （提示：分子加再减然后拆分） ?1?exex(1?xlnx)dx． 6、求?x7、已知f(x)的一个原函数是ln(x?1?x2)，求xf?(x)dx．

?228、设y?y(x)是由y(x?y)?x所确定的隐函数，求

dx（提示：令y?tx） ?y2．

9、求

?1(1?x)23（提示：令x?tant） dx．

10、设I?dx． ?1?x，则I?（ ）

(A) ?2x?2ln(1?x)?C (B) 2x?2ln(1?x)?C (C) 2x?2ln(1?x)?C (D) ?2x?2ln(1?x)?C

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