九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法

类型一：an?1?pan?q（p?1）

思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2?q?qn?1。 )??a1??p??p?1?1?p?思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??qp?1，数列

?an???是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??q?n?1qan??a1?p?。 ?p?11?p???q?n?1??a1??p，即p?1?p?1?q例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。 解：方法1（递推法）：

an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?……?2n?1?3(1?2?2?…?22n?23?n?13?n?1)??1??2??2?3。 ?2?1?1?2?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4n?1n?1n?1为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2，即an?2?3。

类型二：an?1?an?思路1（递推法）：

f(n)

an?an?1?f(n?1)?an?2?f(n?2)?f(n?1)?an?3?f(n?3)?f(n?2)?f(n?1)?…?a1??f(n)。

i?1n?1思路2（叠加法）：an?an?1?f(n?1)，依次类推有：an?1?an?2?f(n?2)、

1

n?1an?2?an?3?f(n?3)、…、a2?a1?f(1)，将各式叠加并整理得an?a1??i?1f(n)，即

n?1an?a1??i?1f(n)。

例2 已知a1?1，an?an?1?n，求an。

解：方法1（递推法）：an?an?1?n?an?2?(n?1)?n?an?3?(n?2)?(n?1)?n?

n……?a1?[2?3?…?(n?2)?(n?1)?n]??i?1n?n(n?1)2。

方法2（叠加法）：an?an?1?n，依次类推有：an?1?an?2?n?1、an?2?an?3?n?2、…、

nnna2?a1?2，将各式叠加并整理得an?a1??i?2n，an?a1??i?2n??i?1n?n(n?1)2。

类型三：an?1?f(n)?an

思路1（递推法）：

an?f(n?1)?an?1?f(n?1)?f(n?2)?an?2?f(n?1)?f(n?2)?f(n?3)?an?3?…

?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)?a1。

anan?1a2a1an?1an?2ana1思路2（叠乘法）：?f(n?1)，依次类推有：?f(n?2)、

an?2an?3?f(n?3)、…、?f(1)，将各式叠乘并整理得?f(1)?f(2)?f(3)?…

?f(n?2)?f(n?1)，即an?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)?a1。

例3 已知a1?1，an?n?1n?1an?1，求an。 an?1?n?1n?2n?1n?2n?3?an?2???an?3?… n?1nn?1nn?1解：方法1（递推法）：an??

n?1n?12n(n?1)。

2

方法2（叠乘法）：an?n?1n?1ana1an?1，依次类推有：an?1an?2?n?2n、an?2an?3?n?3n?1、…、a3a2?24、

a2a1?13，将各式叠乘并整理得?21n?1n?2n?3???…??，即

43n?1nn?1an?n?1n?2n?3212。 ???…???n?1nn?143n(n?1)类型四：an?1?pan?qan?1

思路（特征根法）：为了方便，我们先假定a1?m、a2?n。递推式对应的特征方程?p?为x2?px?q，当特征方程有两个相等实根时， an??cn?d?????2?n?1(c、d为待定系

数，可利用a1?m、a2?n求得)；当特征方程有两个不等实根时x1、x2时，

an?ex1n?1?fx2n?1(e、f为待定系数，可利用a1?m、a2?n求得)；当特征方程的根

为虚根时数列?an?的通项与上同理，此处暂不作讨论。

例4 已知a1?2、a2?3,an?1?6an?1?an,求an。

22解：递推式对应的特征方程为x??x?6即x?x?6?0，解得x1?2、x2??3。

n?1n?1设an?ex1?fx2，而a1?2、a2?3，即

9?e???e?f?29n?11?5n?1，解得?，即an??2??(?3)。 ?55?2e?3f?3?f?1?5?类型五：an?1?pan?rqn （p?q?0）

?an?1????????n?1?，则nqq??ann?1思路（构造法）：an?pan?1?rq，设

3

???q?p?nn?1???1q?rq????p????q?ar?a1r?，从而解得?。那么?n是以为首项，???nqp?qrqp?q??????p?q?pq为公比的等比数列。

例5 已知a1?1，an??an?1?2n?1，求an。

1?????1???a2，解得?，??n??n123???????3?n?1解：设

??2???1?an?1?，则?????n?1????nn?1n???12?222??????an1?1?是以??为首项，为公比的等比数列，即n?????2362236?2?1111an1，?an?2?13n。

类型六：an?1?pan?f(n) （p?0且p?1）

，递推式两边同时除以pn得

)1思路（转化法）：an?pan?1?f(n?anpn?an?1pn?1?f(n?1)pn，我们令

anpn?bn，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。

n?1例6 已知a1?2，an?1?4an?2，求an。

解：an?4an?1?2，式子两边同时除以4得

nn?1nnan4n?an?14n?1an?1??bn，则，令???n4?2?nbn?bn?1?1??1????，依此类推有bn?1?bn?2????2??2?2nn、bn?2?bn?3?1?????2?n?2、…、

?1?b2?b1???，各式叠加得bn?b1??2?n?i?2?1???，即?2?nnbn?b1??i?21?1?????2?2?nn?i?2?1?????2?nn?i?1?1??1??1????? ?2??2?4

n??1??nnnn?an?4?bn?4??1?????4?2。

?2?????类型七：an?1?panr （an?0）

思路（转化法）：对递推式两边取对数得logman?1?rlogman?logmp，我们令

bn?logman，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。

例7 已知a1?10，an?1?an2，求an。

解：对递推式an?1?an2左右两边分别取对数得lgan?1?2lgan，令lgan?bn，则

bn?1?2bn，即数列?bn?是以b1?lg10?1为首项，2为公比的等比数列，即bn?2n?1，

因而得an?10bn?102n?1。

c?anpan?d类型八：an?1?（c?0） 1an?1pan?dc?an1an?1d1pc思路（转化法）：对递推式两边取倒数得?，那么?can??，

令bn?1an，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。

例8 已知a1?4，an?1?2?an2an?1，求an。

2an?12an解：对递推式左右两边取倒数得

1212121an?1?即

1an?1?12an?1?1，令

1an14?bn则

74bn?1?bn?1。设bn?1????bn???，即???2，?数列?bn?2?是以

72n?1?2??为

首项、

为公比的等比数列，则bn?2??，即bn?2n?2?72n?1，?an?22n?1n?2?7。

5

类型九： an?1?a?an?bc?an?d（c?0、ad?bc?0） ax?bcx?d思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为x?即cx2?(d?a)x?b?0。当

???为等差数列，我?????1?1特征方程有两个相等实根x1?x2??时，数列?即??a?da???n??an?2c?们可设

1an?1?a?d2c?an?1a?d2c；当特征方程??（?为待定系数，可利用a1、a2求得）

?a?x1?a1?x1有两个不等实根x1、x2时，数列?n为首项的等比数列，我们可设?是以

a1?x2?an?x2??a?x1??1an?x2?a1?x2an?x1?n?1；当特征方程???（?为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）

?的根为虚根时数列?an?通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。

例9 已知a1?12， an?4an?1?3an?1?2（n?2），求an。

4x?3x?22解：当n?2时，递推式对应的特征方程为x?即x?2x?3?0，解得

?an?1?a1?x12x1??1、x2?3。数列????1为首项的等比数列，设?是以

a?3a?x?212?n?an?1an?3???1???n?1，由a1?12得a2?2则?3???，???3，即

an?1an?3???1??3n?1，

?1,n?1n?3?1?2从而an?n?1，?an??n。

3?1?3?1,n?2n?1??3?1 6

类型九： an?1?a?an?bc?an?d（c?0、ad?bc?0） ax?bcx?d思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为x?即cx2?(d?a)x?b?0。当

???为等差数列，我?????1?1特征方程有两个相等实根x1?x2??时，数列?即??a?da???n??an?2c?们可设

1an?1?a?d2c?an?1a?d2c；当特征方程??（?为待定系数，可利用a1、a2求得）

?a?x1?a1?x1有两个不等实根x1、x2时，数列?n为首项的等比数列，我们可设?是以

a1?x2?an?x2??a?x1??1an?x2?a1?x2an?x1?n?1；当特征方程???（?为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）

?的根为虚根时数列?an?通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。

例9 已知a1?12， an?4an?1?3an?1?2（n?2），求an。

4x?3x?22解：当n?2时，递推式对应的特征方程为x?即x?2x?3?0，解得

?an?1?a1?x12x1??1、x2?3。数列????1为首项的等比数列，设?是以

a?3a?x?212?n?an?1an?3???1???n?1，由a1?12得a2?2则?3???，???3，即

an?1an?3???1??3n?1，

?1,n?1n?3?1?2从而an?n?1，?an??n。

3?1?3?1,n?2n?1??3?1 6

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