七年级数学期末试卷检测题(WORD版含答案)

七年级数学期末试卷检测题（WORD版含答案）

一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）

1．如图 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．

（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，若∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，当直角顶点E 移动时，写出∠BAE 与∠ECD 的数量关系，并说明理由；

（3）如图 3，P 为线段 AC 上一定点，点 Q 为直线 CD 上一动点，且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当点 Q 在射线 CD 上运动时(不与点 C 重合)，∠PQD，∠APQ 与∠

BAC 有何数量关系？写出结论，并说明理由．

【答案】（1），理由如下：

CE 平分，AE 平分，

；

（

2），理由如下：

如图，延长AE交CD于点F，则

由三角形的外角性质得：

；

（3），理由如下：

，即

由三角形的外角性质得：

又，即

即．

【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的判定即可得；（2）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得．

2．已知 (本题中的角均大于且小于 )

（1）如图1，在内部作，若，求

的度数；

，，，求的度数；

（3）射线从的位置出发绕点顺时针以每秒的速度旋转，时间为秒( 且 ).射线平分，射线平分，射线平分 .若，则 ________秒.

【答案】（1）解：∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD

又∵

∠AOD+∠

BOC=160°且∠AOB=120°

∴

（2）解：，

设，则

，

则

，

（3） s或15s或30s或45s

【解析】【解答】(2）解：当OI在直线OA的上方时，

有∠MON=∠MOI+∠NOI= （∠AOI+∠BOI））= ∠AOB= ×120°=60°，

∠PON= ×60°=30°，

∵∠MOI=3∠POI，

∴3t=3（30-3t）或3t=3（3t-30），

解得t= 或15；

当OI在直线AO的下方时，

∠MON ═（360°-∠AOB）═ ×240°=120°，

∵∠MOI=3∠POI，

∴180°-3t=3（60°- ）或180°-3t=3（ -60°），

解得t=30或45，

综上所述，满足条件的t的值为 s或15s或30s或45s

【分析】（1）利用角的和差进行计算便可；（2）设，则，，通过角的和差列出方程解答便可；（3）分情况讨论，确定∠MON在不同情况下的定值，再根据角的和差确定t的不同方程进行解答便可.

3．

如图

如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；

（2）模型构建

如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；

（3）拓展应用

8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？

请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．

【答案】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段

（2）解：，

理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，

则x=（m-1）+（m-2）+（m-3）+…+3+2+1，

∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m-3）+（m-2）+（m-1），

∴2x= =m（m-1），

∴x=

（3）解：把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，

因此一共要进行场比赛

【解析】【分析】（1）线段AB上共有4个点A、B、C、D，得到线段共有4×（4-1）÷2

条；（2）根据规律得到该线段上共有m（

m-1）÷2条线段；（3）由每两位同学之间进行

一场比赛，得到要进行8×（8-1）÷2场比赛.

4．如图，点B 、C在线段AD上，CD＝2AB＋3．

（1）若点C是线段AD的中点，求BC－AB的值；

（2）若BC＝AD，求BC－AB的值；

（3）若线段AC上有一点P（不与点B重合），AP＋AC＝DP，求BP的长．

【答案】（1）解：设AB长为x，BC长为y，则CD=2x+3．若C是AB的中点，则AC=CD，即x+y=2x+3，得：y-x=3，即BC-AB=3

（2）解：设AB长为x，BC长为y，若BC= CD，即AB+CD=3BC，∴x+2x+3=3y，∴y=x+1，即y-x=1，∴BC-AB=1

（3）解：以A为原点，AD方向为正方向，1为单位长度建立数轴，则A：0，B：x，C：x+y，D：x+y+2x+3=3x+y+3．设P：p，由已知得：0≤p≤x+y，则AP =p，AC=x+y，DP=3x+y+3-p，∵AP+AC=DP，BP= ，∴p+x+y=3x+y+3-p，解得：2p-2x=3，∴p-x=1.5，∴BP=1.5

【解析】【分析】（1）此题可以设未知数表示题中线段的长度关系，设AB长为x，BC长为y，则AC=AB+BC=x+y,CD=2x+3 ，根据中点的定义得出 AC=CD ，从而列出方程，变形即可得出答案；

（2）设AB长为x，BC长为y ，则CD=2x+3 ，由BC= CD，得出AB+CD=3BC，从而列出方程变形即可得出答案；

（3）设AB长为x，BC长为y ，则CD=2x+3 ，以A为原点，AD方向为正方向，1为单位长度建立数轴，则A点表示的数为0，B点表示的数为x，C点表示的数为x+y，D点表示

的数为x+y+2x+3=3x+y+3．设P点表示的数为p，由已知得：0≤p≤x+y，则AP=p，AC=x+y，DP=3x+y+3-p，由AP+AC=DP，列出方程，并行得出P-X的值，再根据BP= 即可得出答案。

5．如图，∠AOB＝α，∠COD＝β（α＞

β），OC与OB重合，OD在∠AOB外，射线OM、

ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线.

（1）①若α＝100°，β＝60°，则∠MON等于多少；

②在①的条件下∠COD绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜100（且n≠60）时，求∠MON的度数；

（2）直接写出∠COD绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜360）时∠MON的值（用含α、β的式子表示）.

【答案】（1）解：①∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，

∴∠BOM ＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，

∴∠MON＝（∠AOB+∠BOD），

又∵∠AOB＝100°，∠COD＝60°，

∴∠MON＝（∠AOB+∠BOD）＝

×（100°+60°）＝80°.

②如图1，∵∠COD绕点O逆时针旋转n°，

∴∠BOC＝n°，

∴∠BOD＝60°﹣n°，∠AOC＝100°﹣n°，

∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，

∴∠COM＝∠AOC＝50°﹣ n°，∠BON＝∠BOD＝30°﹣ n°，∴∠MON＝∠COM+∠COB+∠BON＝80°；

如图2，∵∠COD绕点O逆时针旋转n°，

∴∠BOC＝n°，

∴∠BOD＝n°﹣60°，∠AOC＝100°﹣n°，

∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，

∴∠COM ＝∠AOC＝50°﹣ n°，∠DON＝∠BOD ＝ n°﹣30°，

∴∠MON＝∠COM+∠COD+∠DON＝80°

（2）解：∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β，

∴∠MON ＝（α+β）或180°﹣（α+β）；

【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠BOM和∠CON的度数，然后相加即可得出答案；②根据旋转的性质可知∠BOC=n°，分两种情况进行讨论：如图1，∠BOD＝60°﹣n°，∠AOC＝100°﹣n°，根据角平分线的定义得出∠COM和∠BON的度数，然后根据∠MON＝∠COM+∠COB+∠BON进行计算即可得出结论；如图2，∠BOD＝n°﹣60°，∠AOC＝100°﹣n°，根据角平分线的定义得出∠COM和∠BON的度数，然后根据∠MON＝∠COM+∠COD+∠BON进行计算即可得出结论；（2）根据①、②的解题思路即可得到结论.

.

6．已知∠AOB和∠AOC是同一个平面内的两个角,OD是∠BOC的平分线

（2）若∠AOB= 度,∠AOC= 度,其中且

求∠AOD的度数(结果用含的代数式表示)，请画出图形，直接写出答案。

【答案】（1）解：图1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=70°﹣50°=20°，

∵OD是∠BOC的平分线，

∴∠BOD= ∠BOC=10°，

∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°；

图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，

∵OD是∠BOC的平分线，

∴∠BOD= ∠BOC=60°，

∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=60°﹣50°=10°；

（2）解：根据题意可知∠AOB= 度，∠AOC= 度，其中

且，

如图1中，

∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=n﹣m，

∵OD是∠BOC的平分线，

∴∠BOD= ∠BOC= ，

∴∠AOD=∠AOB+∠BOD= ；

如图2中，

∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n，

∵OD是∠BOC的平分线，

∴∠BOD= ∠BOC= ，

∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB= .

【解析】【分析】（1）图1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=20°，则∠BOD=10°，根据

∠AOD=∠AOB+∠BOD即得解；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，则∠BOD=60°，根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB即可得解；（2）图1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=n﹣m，则∠BOD=

，故∠AOD=∠AOB+∠BOD= ；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n，则∠BOD= ，故∠AOD=∠BOD﹣∠AOB= .

7．学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题：

（1）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在

内部作射线．

①如图1，三角板的一边

与射线重合，且，若以点为观察中心，

射线表示正北方向，求射线表示的方向；

②如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求

的度数.

（2）已知点不在同一条直线上，，平分，

平分，用含的式子表示的大小.

【答案】（1）解：①∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，

∴射线OC表示的方向为北偏东60°

②∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，

∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，

∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，

∴3∠NOC+∠NOC＝90°，

∴4∠NOC＝90°，

∴∠BON＝2∠NOC＝45°，

∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON

＝180°﹣90°﹣45°

＝45°

（2）解：①如图1：

∵∠AOB＝α，∠BOC＝β

∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB ＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB ＝β，

∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝；

，

②如图2

∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝；

，

③如图3

∴∠MON为或或．

【解析】【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB 内部和外部两种情况讨论即可．

8．如图①，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角

在直线的上方.

板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边

（2）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图②，若

，求的度数；

（3）将图①中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是________秒.（直接写出结果）

【答案】（1）30

（2）解：设∠BON=α，

∵∠BOC=60°，

∴∠NOC=60°-α，

∵∠MON=90°，

∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，

∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，

∵∠NOC= ∠MOA，

∴60°-α= （90°-α），

解得：α=54°，

即∠BON=54°；

（3）3或21

【解析】【解答】（1）∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB

上，另一边OM在直线AB的上方，

∴∠MON=90°，

∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°，（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC=60°，

∴∠BON=30°或∠BON=210°，

∵三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，

∴直线ON平分∠BOC时，旋转的时间是3或21秒，

故答案为：3或21.

【分析】（1）由题意得出∠MON=90°，得出∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；（2）设∠BON=α，则∠NOC=60°-α，∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，∠MOA=180°-

∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，由题意得出60°-α= （90°-α），解得α=54°即可；（3）求出∠BON=30°或∠BON=210°，即可得出答案．

9．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠

AOC＝65°，将一个直角三角形的直

角顶点放在点O处.（注：∠DOE＝90°）

（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，则∠COE＝________；（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O顺时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠AOE，求∠COD的度数；

（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠AOC的内部，试猜想∠AOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由.

【答案】（1）25°

（2）解：如图②，∵OC平分∠EOA，∠AOC=65°，∴∠EOA=2∠AOC=130°，∵∠DOE=90°，∴∠AOD=∠AOE-∠DOE=40°，∵∠BOC=65°，∴∠COD=∠AOC-∠AOD=25°（3）解：根据图形得出∠AOD+∠COD=∠AOC=65°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°

∴

∴

【解析】【解答】（1）如图①，∠COE=∠DOE-∠AOC=90°-65°=25°；

【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠AOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠EOA=2∠AOC=130°，代入∠EOC=∠BOA-∠AOC，求出∠EOC，代入∠COD=∠DOE-∠EOC求出即可；（3）根据图形得出∠AOD+∠COD=∠AOC=65°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案.

10．如图，∠AOB=90°

，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．

（1）求∠MON的度数；

（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；

（3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；

（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？

【答案】（1）解：∠AOB=90°，∠BOC=30°，

∴∠AOC=90°+30=120°．

由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC=60°，∠CON= ∠BOC=15°．

∵∠MON=∠MOC ﹣∠CON，

∴∠MON=60°﹣15°=45°

（2）解：∠AOB=α，∠BOC=30°，

∴∠AOC=α+30°．

由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC= α+15°，∠CON= ∠BOC=15°．

∵∠MON=∠MOC﹣∠CON ，

∴∠MON= α+15°﹣15°= α

（3）解：∠AOB=90°，∠BOC=β，

∴∠AOC=β+90°．

由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC= β+45°，∠CON= ∠BOC= β．

∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，

∴∠MON= β+45°﹣β=45°

（4）解：根据（1）、（2）、（3）可知∠MON= ∠BOC ，与∠BOC的大小无关

【解析】【分析】（1）先求得∠AOC的度数，然后由角平分线的定义可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC ﹣∠CON求解即可；（2）先求得∠AOC=α+30°，由

角平分线的定义可知∠MOC= α+15°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解

即可；（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分线的定义可知∠MOC= β+15°，∠CON= β，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（4）根据计算结果找出其中的规律即可．

11．如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG.

（1）说明：DC∥AB；

（2）求∠PFH的度数.

【答案】（1）证明:∵DC∥FP，

∴∠3=∠2，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1，

∴DC∥AB

（2）解:∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF=30°，

∴∠DEF=∠EFP=30°，AB∥FP，

又∵∠AGF=80°，

∴∠AGF=∠GFP=80°，

∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+30°=110°，

又∵FH平分∠EFG，

∴∠GFH= ∠GFE=55°，

∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣55°=25°

【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出，又∠1=∠2，故∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行得出DC∥AB；

（2）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥FP，根据二直线平行，内错角相等得出，，根据角的和差，由

算出∠GFE的度数，根据角平分线的定义得出∠GFH的度数，最后根据即可算出答案。

12．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点(与点A不重合)，CE、CF分

．

别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F

（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；

（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．

【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°－40°=140°

∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP=2∠ECP，∠DCP=2∠PCF

∴∠ECF= ∠ACD=70°

（2）解：不变.数量关系为：∠APC=2∠AFC．

∵AB∥CD，∴∠AFC=∠DCF，∠APC=∠DCP

∵CF平分∠DCP，∴∠DCP=2∠DCF，∴∠APC=2∠AFC

（3）解：∵AB∥CD ，∴∠AEC=∠ECD

当∠AEC=∠ACF时，则有∠ECD=∠ACF，∴∠ACE=∠DCF

∴∠PCD=∠ACD=70°

∴∠APC=∠PCD=70°

【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ACD=120°，再根据CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP，即可得出∠ECF的度数；（2）根据平行线的性质得出∠APC=∠PCD，∠AFC=∠FCD，再根据CF平分∠PCD，即可得到∠PCD=2∠FCD进而得出∠APC=2∠AFC；（3）根据∠AEC=∠ECD，∠AEC=∠ACF，得出∠ECD=∠ACF，进而得到∠ACE=∠FCD ，根据

∠ECF=70°，∠ACD=140°，可求得∠

APC的度数．

13

．课题学习：平行线的“等角转化功能.

（1）问题情景：如图1，已知点是外一点，连接、，求

的度数.

天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.解：（1）如图1，过点作，∴ ________， ________.

又∵，∴ .

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

（2）问题迁移：如图2，，求的度数.

（3）方法运用：如图3，，点在的右侧，，点在的左侧，，平分，平分，、所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数.

【答案】（1）∠EAB；∠DAC

（2）解：过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，

∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，

∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，

∴∠B+∠BCD+∠D=360°，

（3）解：如图3，过点E作EF ∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥

EF，

∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，

∴∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35°

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．

【解析】【解答】解：（1）根据平行线性质可得：因为，所以∠EAB，∠DAC；

【分析】（1）根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）过C作CF∥AB，根据平行线性质可得；（3）

如图3，过点E作EF∥AB，根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.

14．如图，AD∥BC，∠B＝∠D＝50°，点E、F在BC上，且满足∠CAD＝∠CAE，AF平分∠BAE.

（1）∠CAF＝________°；

（2）若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动CD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFB＝∠ACD？若存在，求出∠ACD度数；若不存在，说明理由.

【答案】（1）65

（2）解：若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值不发生变化.

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB

∵∠CAD＝∠CAE

∴∠ACB=∠CAE

∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=2∠ACB

即∠ACB：∠AEB=1:2

所以，∠ACB与∠AEB度数的比值是：1:2

（3）解：存在

∵AD∥BC，

∴∠B+∠BAD=180°,

∵∠B=∠D

∴∠D+∠BAD=180°

∴AB∥CD

∴∠AFB=∠DAF=∠DAC+∠CAF

∠ACD=∠CAB=∠BAF+∠CAF

∵∠AFB＝∠ACD

∴∠DAC+∠CAF=∠BAF+∠CAF

∴∠DAC=∠BAF

∴∠DAC=∠BAF=∠CAE=∠EAF= ∠BAD= ×130°=32.5°

∴∠ACD= ∠CAB=∠BAF+∠CAF =3∠DAC=3×32.5°=97.5°

【解析】【解答】解：（1）∵AF平分∠BAE，

∴∠BAF=∠EAF= ∠BAE，

∵∠CAD＝∠CAE

∴∠CAD ＝∠CAE= ∠DAE

∴∠CAF＝∠EAF+∠CAE= ∠BAE+ ∠DAE= ∠BAD

∵AD∥BC，∠B＝∠D＝50°，

∴∠BAD=180-∠B=130°,

∴∠CAF＝65°

【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠CAF＝∠EAF+∠CAE= ∠BAE+ ∠DAE= ∠BAD，再根据平行线的性质得∠BAD =180-∠B，从而得出答案；（2）根据平行线的性质得∠DAC=∠ACB，再由∠CAD＝∠CAE，可知∠ACB=∠CAE，从而可得∠AEB =2∠ACB，即可得出答案；（3）根据平行线的性质得∠AFB=∠DAF=∠DAC+∠CAF，∠ACD=∠CAB=∠BAF+∠CAF，再由平行线的性质可得∠BAD=130°，即可求出答案

15．学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题：

（1）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在

内部作射线．

①如图1，三角板的一边与射线重合，且，若以点为观察中心，射线表示正北方向，求射线表示的方向；

②如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且

，求的度数.

（2）已知点不在同一条直线上，，平分，平分，用含的式子表示的大小.

【答案】（1）解：①∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，

∴射线OC表示的方向为北偏东60°

②∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，

∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，

∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，

∴3∠NOC+∠NOC＝90°，

∴4∠NOC＝90°，

∴∠BON＝2∠NOC＝45°，

∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON

＝180°﹣90°﹣45°

＝45°

（2）解：①如图1：

∵∠AOB＝α，∠BOC＝β

∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB＝

β，

∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝；

②如图2

，

∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝；

③如图3，

∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝．…

∴∠MON 为或或．

【解析】【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB 内部和外部两种情况讨论即可．

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