第五章 多元函数微分学

第五章 多元函数微分学

我们已经讨论了一元函数微积分学，运用一元函数微积分学已能解决不少实际问题。但是在大量的实际问题中，遇到的却是多个变量的问题，仅有一元函数微积分的方法，还不足以解决问题。本章在一元函数微积分的基础上，讨论多元函数的微分法及应用。多元函数微分学是一元函数微分学的推广和发展，但两者之间又有一些本质上的差异，如一元函数有单调性的概念，而多元函数就没有简单的相仿概念，这种差异主要是由多元函数的特殊性产生的。

本章主要叙述二元函数的微分学。这是因为由一元函数到二元函数，单与多的差异已充分显露出来，而二元、三元以至n元函数之间，仅有形式上的差异，而本质上是相同的。

§5-1 二元函数的极限与连续

一、基本内容提要

1. 二元函数的概念

设D是平面上的一个点集,若对任意点P(x,y)?D,变量z按照一定法则都f有唯一确定的值和它对应,即P(x,y)?z,其中f为某一定法则,则称z是变量x,y的二元函数(或称z为点P的函数),记作z?f(x,y)(或z?f(P)),D称为f(x,y)的定义域. 2. 二

元函数的极限

(1)分析定义：设P0(x0,y0)是函数f(x,y)的定义域D内的聚点,若???0,????0,使?P(x,y)?D?U(P0,?),都有|f(P)?A|??成立,则称常数A为函数f(x,y)在(x,y)?(x0,y0)时的极限,记作(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或f(x,y)?A((x,y)?(x0,y0)).(2)描述性定义：设P0(x0,y0)是函数f(x,y)的定义域D内的聚点,若动点P(x,y)?D以任何方式趋近于P0时,f(x,y)总无限接近于一个确定的常数A,则称常数A为函数f(x,y)在(x,y)?(x0,y0)时的极限. 3. 二

元函数的连续性

(1)定义：若f(x,y)有U(P0(x0,y0,z0))内有定义,且(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0),则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0,z0)处连续.(2)多元初等函数在其定义区域内是连续的.(3)最值定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则?P1,P2?D,使?P?D,都有f(P1)?f(P)?f(P2),其中f(P1)?minf(P),f(P2)?maxf(P).P?DP?D(4)介值定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续,M,m分别是f(x,y)在D上的最大值和最小值,则?c?(m,M),?P0?D,使f(P0)?c.注：上述最值定理、介值定理对三元及三元以上的函数同样成立.

二、示例

题型一 多元函数的概念

例1解求z?x?4x?y?ln(y?x)的定义域.22??(x?2)?y?4即?(如右图)2??y?x

22222??x?4x?y?0,?2??y?x?0例2y??22设f?x?y,??x?y,求f(x,y),f(x?y,xy).x??

解u?x?y?u?x???1?v设?y,则?,所以uv?v???y??x1?vu(1?v)u(1?v)?u??uv?f(u,v)?????,???2(1?v)1?v?1?v??1?v?22222从而f(x,y)?x(1?y)1?y22,f(x?y,xy)?(x?y)(1?xy)1?xy.例3解设f(x,y)?x?2y,求f(xy,f(x,y)).f(xy,f(x,y))?xy?2(x?2y)?xy?2x?4y.

例42??y2?y?22设f?xy,,xy?.??x?y,求f?x???x?解??xy?u?2?x?设?y,则??v???x?y?u33uv,所以uv2?u?f(u,v)????3?uv?再令u?y2?3uv?2,x,v?xy,得?y2?y2??xf?,xy????x??3y3???????2?3y3?2??22?1?y?y?2?1?.2x?x?y2

题型二 二元函数的极限

例5求下列极限：x?yx?y22(1)limx???y???.x2(2)lim?x?0y?asin(2xy)yx(a为常数).

1xcos1y.1??(3)lim?1??x???x?y?ax?y(a为常数).(4)lim(3x?y)sinx?0y?0解(1)因x???,y???,故不妨设x?0,y?0,从而0?所以limx?yx?y22x?yx?y22?1x?1y?0(x???,y???),x???y????0.(2)lim?x?0y?asin(2xy)yxx2?lim?x?0y?a2xyyx?lim?2x?0.x?0xx1??(3)lim?1??x???x?y?a(4)因sin1xx?y??1???lim??1???x???x???y?ax?y?e.cos1y为有界函数,而lim(3x?y)?0,所以x?0y?0lim(3x?y)sinx?0y?01xcos1y?0.

例6解说明limxy224x?0y?0x?y不存在.x,则xy224选用路径y?klim?x?0y?kxx?y?lim?x?0kx2224x(1?k)?k241?k,显然其值随k取值不同而不同,所以极限lim不存在.xy224x?0y?0x?y

讨论下列函数在点(0,0)处的连续性.(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)2例72?xy,?(1)f(x,y)??x2?y4?0,?2

?xy(x?y),?22(2)f(x,y)??x?y?0,?解(1)由例6知极限(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)limf(x,y)?limx?0y?0xy224x?0y?0x?y不存在,所以f(x,y)在点(0,0)处不连续.?x?rcos?(2)令?,则y?rsin??0?|f(x,y)|?rcos?sin?(cos??sin?)r22422?|rsin4?|2?r?0(x?0,y?0),故limf(x,y)?0?f(0,0),x?0y?0所以f(x,y)在点(0,0)处连续.例8设f(x,y)在D??(x,y)|x?y?r222

?内连续,且x?y?r2lim22f(x,y)?a,证明f(x,y)在D上至少可取得最大值和最小值之一.证因x?y?r2lim22f(x,y)?a,补充定义f(x,y)?a,当x?y?r,222则f(x,y)在有界闭区域D??(x,y)|x?y?r222?上连续,故?P1(x1,y1),P2(x2,y2)?D,使?P(x,y)?D有f(P1)?f(P)?f(P2).若P1,P2??D,则f(P1)?f(P2)?a,即f(x,y)是常数,那么D内任一点处函数取得最大值也是最小值,结论成立.若P1,P2至少有一不属于?D,则结论也成立.

§5-2 偏导数和全微分

一、基本内容提要

1. 偏导数和高阶偏导数

(1)偏导数的定义：设z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,则?z?x??limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)(xx?00,y0)?x,亦记作?f?x,zx(x0,y0),fx(x0,y0)；(x0,y0)?z??y)?f(x0,y0)?y??limf(x0,y0x?0(x?y,0,y0)亦记作?f?y,zy(x0,y0),fy(x0,y0).(x0,y0)(2)二阶偏导数：设z?f(x,y)在区域D内具有偏导数fx(x,y),fy(x,y),如果这两个偏导数的偏导数仍然存在,则称这个偏导数的偏导数为z?f(x,y)的二阶偏导数,记为zxx(x,y),zxy(x,y),zyx(x,y),zyy(x,y).如果zxy(x,y),zyx(x,y)在D内连续,则在D内有zxy(x,y)?zyx(x,y).微分

(1)定义：如果z?f(x,y)在(x,y)处的全增量?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)可以表示为?z?A?x?B?y?o(?),其中,A,B不信赖于?x,?y而仅与点(x,y)有关,??(?x)2?(?y)2,则称函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微,称A?x?B?y为z?f(x,y)在点(x,y)处的全微分,记作dz,即dz?A?x?B?y?Adx?Bdy.(2)可微的必要条件：(i)若z?f(x,y)在点(x,y)处可微,则在点(x,y)处f(x,y)连续.(ii)若z?f(x,y)在点(x,y)处可微,则在点(x,y)处fx(x,y),fy(x,y)存在,且z?f(x,y)有点(x,y)处的全微分dz?fx(x,y)dx?fy(x,y)dy.(3)可微的充分条件：若z?f(x,y)在点(x,y)处fx(x,y),fy(x,y)连续,则z?f(x,y)在点(x,y)处可微. 3. 复合函数求导法

2. 全

(1)设u??(x),v??(x)在点x处可导,z?f(u,v)在对应于x的点(u,v)处可微,则复合函数z?f[?(x),?(x)]在点x处可导,且dz?u?dudx??z?v?dvdx??zdx?fu????fv???.(2)设u??(x,y),v??(x,y)在点(x,y)处偏导数存在,z?f(u,v)在对应于点(x,y)的点(u,v)处可微,则复合函数z?f[?(x,y),?(x,y)]在点(x,y)处可导,且?z?x??z?u?u??x??z?v??v?x,?z?z?u?z?v?y??u??y??v??y.函数求导法

(1)一个方程确定的隐函数(i)二元方程F(x,y)?0确定的一元隐函数y?y(x)的导数为dydx??FxF.y(ii)三元方程F(x,y,z)?0确定的二元函数z?z(x,y)的偏导数为?z?x??Fx?zFyF,z?y??F.z(2)方程组确定的隐函数(i)由两个方程构成的四元方程组?F(x,y,u,v)?0??G(x,y,u,v)?0确定的两个二元隐函数u?u(x,y),v?v(x,y)的偏导数ux,vx；uy,vy的求法是：分别对方程组关于x,y求导(此时注意u,v是x,y的函数),然后以ux,vx；uy,vy为未知数解二元一次方程组即可.(ii)由两个方程构成的三元方程组?F(x,y,z)?0?确定的两个一元隐函?G(x,y,z)?0数y?y(x),z?z(x)的导数dy的求法是：对方程组关于dx,dzdxx求导,然后以dydzdx,dx为未知数解二元一次方程组即可.一般地,在一定条件下,对于有m个方程、n个变量(n?m)的方程组来说,有m个因变量就有n?m个自变量.关键是事先要明确哪些变量是因变量,哪些变量是自变量,这应根据具体问题确定.例如题目所求的是?z?z?x,?y,即可知z是因变量,x,y是自变量. 二、示例

题型一 偏导数、连续、可微的关系

4. 隐

例1讨论函数?22?(x?y)sinz?f(x,y)???0,?1x?y22,x?y?0x?y?02222在点(0,0)处：(1)是否连续？(2)是否存在偏导数？(3)是否可微？(4)fx(x,y)和fy(x,y)在点(0,0)是否连续？解(1)由有界函数与无穷小的乘积为无穷小得limf(x,y)?lim(x?y)sinx?0y?0x?0y?0221x?y22?0?f(0,0),故f(x,y)在点(0,0)处连续.(2)因?f?x同理(0,0)?limf(x,0)?f(0,0)xxsin?limx?021|x|?limxsinx?01|x|x?0x?0,?f?y(0,0)?0(因f(x,y)?f(y,x)),故f(x,y)在点(0,0)处的偏导数存在.(3)由(2)知fx(0,0)?0,fy(0,0)?0,故?z?(fx(0,0)dx?fy(0,0)dy)??z?((?x)?(?y))sin其中??(?x)?(?y),于是lim即?z?fx(0,0)dx?fy(0,0)dy?o(?),所以f(x,y)在点(0,0)处可微,且dz(4)当(x,y)?(0,0)时,fx(x,y)?2xsinfy(x,y)?2ysin而lim2xsinx?0y?0x?0y?022221(?x)?(?y)22??sin21?,?z?(fx(0,0)dx?fy(0,0)dy)??0??lim?sin??01??0,?0.1x?y1x?y2222?xx?y22cos1x?y22,?yx?y22cos1x?y22,1x?y22?0,又limxx?y22x?0y?xcos1x?y22?limx|x|x?0cos12|x|不存在,故limfx(x,y)不存在,所以fx(x,y)在点(0,0)处不连续.同理fy(x,y)x?0y?0在点(0,0)处不连续.注：由本例可知,fx(x,y),fy(x,y)在点(x,y)处连续是f(x,y)处可微的充分条件而不是必要条件.

例2讨论函数xy?,?22z?f(x,y)??x?y?0,?(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点(0,0)处是否连续？fx(0,0),fy(0,0)是否存在？解选择路径y?kx,则limf(x,y)?limx?0y?kxxyx?y22x?0y?kx?limkx2222x?0x?ky?k1?k2,该极限值随k取值不同而不同,故limf(x,y)x?0y?0不存在,从而f(x,y)在点(0,0)处不连续.又因0?f?x同理?f?y所以fx(0,0),fy(0,0)存在.注：由本例可知,对多元函数而言,可偏导??连续,这与一元函数可导必定连续绝然不同.二元函数z?f(x,y)在点P(x,y)处可微、连续及可偏导之间有如下关系：(0,0)(0,0)?limf(x,0)?f(0,0)xx?0?limxx?02?0x?0,?0,

题型二 显函数的偏导数运算

例3设z?(x?y)e?z?x?arctanyx22?arctanyx,求dz与2?z?x?y2.yy解?2xe?arctan?y??arctanxx?(x?y)????e?(2x?y)e,?22?x???y?1????x?2221?z?y所以?2ye?arctanyx?(x?y)?1?y?1????x?2?1x?e?arctanyx?(2y?x)e?arctanyx,dz?e?z?x?y2?arctanyx?(2x?12y)dx?(2y?x)dy?.?1x?e?arctanyx?e?arctanyx?(2x?y)??y?xy?xx?y2222e?arctanyx.?y?1????x?

12a例4设?,?具有二阶连续偏导数,z?12??(y?ax)??(y?ax)???y?axy?ax?(t)dt,试求?z?x解22?a?z?x2?z?y12a2a2a22.12a?????(y?ax)?a???(y?ax)?a??12??(y?ax)?a??(y?ax)?a????(y?ax)???(y?ax)????(y?ax)??(y?ax)?,????(y?ax)?a????(y?ax)?a?????(y?ax)?a???(y?ax)?a?22?z?x22??121212????(y?ax)????(y?ax)?????(y?ax)???(y?ax)?212a12a2a同理?z?y?z?y所以22????(y?ax)???(y?ax)??????(y?ax)????(y?ax)??2??(y?ax)??(y?ax)?,???(y?ax)???(y?ax)?,

??z?x2?a2?z?y2?0.

例5设u?f(x,y,z),x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?,且x?u?x?y?u?y?z?u?z?0,证明：u与r无关.证因为?u?r??u?x?u?y?u?z??????x?r?y?r?z?r?u?x?sin?sin??u?y?cos??u?z?sin?cos??1??u?u?u?x?y?z???0,r??x?y?z? 所以u与r无关.例6要条件是u证?u?x?y2

?u?u?.?x?y设u(x,y)的二阶偏导数存在且u?0,证明：u(x,y)?f(x)?g(y)的充?必要性.若u(x,y)?f(x)?g(y),则?u?x?u?y?u?x?y2?f?(x)g(y),?f(x)g?(y),?f?(x)g?(y),从而u?u?x?y2?f(x)g(y)?f?(x)g?(y)?f?(x)g(y)?f(x)g?(y)??u?x?y2?u?u?.?x?y充分性.若u??u?u?,即?x?yu???u??u?u?,????y??x??x?y亦即

u???u??u?u?????y??x??x?yu2?0,或??u????x????0,?y?u?从而有???lnu????0,?y??x?所以?lnu?x与y无关,即?lnu?x故lnu???(x)dx??(y),所以?(x)dx?(y)u?e??e?f(x)?g(y).x?y?z??(x),

?例7解设u?xyze注意到,求?pp?q?rqzr?x?y?z,其中p,q,r?Z.u?xe?ye?ze,有?pp?q?rqxyzzr?x?y?z由Leibniz公式,d同理ppp?dppdx(xe)?xdqqdy(ye)?ydrrdz(ze).zdx(xe)?x?Ck?0kp(x)(k)(e)x(p?k)?xe?pe?(x?p)e,xxxddyqq(ye)?(y?q)e,yy

(ze)?(z?r)e,zzd所以?pp?q?rqrrdzzr?x?y?z?(x?p)e?(y?q)e?(z?r)e?(x?p)(y?q)(z?r)exyzx?y?z.

例8??(x,y)?fyy??(x,y),f(x,2x)?x2,设f(x,y)具有二阶连续偏导数,且fxxfx?(x,2x)?x,求fxx??(x,2x),fxy??(x,2x).解因f(x,2x)?x2,两边对x求导,得fx?(x,2x)?2fy?(x,2x)?2x,两边再对x求导,得fxx??(x,2x)?2fxy??(x,2x)?2fyx??(x,2x)?4fyy??(x,2x)?2.从而由fxx??(x,y)?fyy??(x,y)以及f(x,y)有二阶连续偏导数得5fxx??(x,2x)?4fxy??(x,2x)?2又因fx?(x,2x)?x,两边对x求导,得fxx??(x,2x)?2fxy??(x,2x)?1(1)(2)解得f1xx??(x,2x)?0,fxy??(x,2x)?2.3例9已知f2xx(x,y)?xy?x,fy(x,y)?3?y,求f(x,y).解因fx(x,y)?x2y?x,故f(x,y)??(x2y?x)dx?13x3y?12x2??(y),两边对y求导得fx3y(x,y)?3???(y),3与已知条件fy(x,y)?x3?y比较得??(y)?y,积分得?(y)?12y2?C.

所以f(x,y)?13x3y?12x2?12y2?C.

题型三 隐函数的偏导数运算

(1)(2)由

例10解设z?z(x,y)是由方程yze2x?y2x?y?sin(xyz)?0确定的函数,求dz.记F(x,y,z)?yze?sin(xyz),则2x?yFx?(x,y,z)?ye?yzcos(xyz),?yze2x?yFy?(x,y,z)?2yzeFz?(x,y,z)?ye故?z?x?z?y所以dz??z?xdx??z?ydy2x?y2x?y?xzcos(xyz),x?y?xycos(xyz),??Fx?Fz?Fy?Fz??yzcos(xyz)?yeye2x?y2x?y?xycos(xyz)2x?y,?yze2x?y???xzcos(xyz)?2yzeyex?y?xycos(xyz),?[yzcos(xyz)?ye]dx?[xzcos(xyz)?2yzeye2x?yx?y?yze2x?y]dy?xycos(xyz).

2例11设z?z(x,y)由方程F(x?z,y?z)?12(x?y?z)?222确定,且F(u,v)可微,求解?z?x?y,?z和dz.方程两边对x求导?z??z1??z??F1???1???2x?2z??F2????0,?x??x2??x??解得?z?x?x?F1?F1??F2??z.

再方程两边对y求导F1??解得?z?y所以dz??z?xdx??z?ydy?(x?F1?)dx?(y?F2?)dyF1??F2??z.?y?F2?F1??F2??z.?z?1??z???F2???1??2y?2z?2???0,?y?y?y?????z

xyxx?zsint例12设u?f(x,y,z)具有一阶连续偏导数,且e?xy?2,e??0求dudx.解：由题意可知,y?y(x),z?z(x),故dudx??ff?x???y?dydx??fdz?z?dx.对exy?xy?2两边关于x求导,得exy???y?xdy??dy?dx?????y?xdx???0,故dyd??yxx.对ex??x?zsint0tdt两边关于x求导,得ex?sin(x?z)?dzx?z???1??dx??,故dzxdx?1?e(x?z)sin(x?z).将(2)(3)代入(1)得du?fy?f?ex(dx??x?x?y?x?z)??f?1??sin(x?z)?.??ztdt,(1)(2)(3)

例13解设z?uv,x?ecosv,y?esinv,求uu?z?x?y,?z.由题意可知,u?u(x,y),v?v(x,y),故?z?x?v?u?x?u?v?x,?z?y?v?u?y?u?v?y.u??x?ecosv对?两边关于x求导,得u??y?esinv?u?v?uu1?ecosv??esinv????x?x??0?eusinv??u?eucosv??v??x?x?解得?u?x?cosveu,?v?x??sinveu.u??x?ecosv对?两边关于y求导,得uy?esinv???u?v?uu0?ecosv??esinv???y?y???1?eusinv??u?eucosv??v??y?y?解得?u?x所以?z?x?z?y??vcosv?usinveeu?sinveu,?v?x??cosveu.,.vsinv?ucosvu

.t?0例14解2?x?t(1?t)?0dy已知y?y(x)由方程组?y确定,求2dxte?y?1?0?方程组两边对t求导,得

??x?t?1?2t?0?yy??e?te?yt??yt??0解得?x?t?2t?1?yy?ee??yt???y1?tey?所以dydx又yy?eyt?(2t?1)?e[2y?(2t?1)yt?]?dy?.???22(2t?1)y?dx?t?yt?x?t?ey(2t?1)y.当t?0时,x?0,y??1,故x?t所以??dy????dx?tx?tt?0t?0??1,yt?t?0??e,?1??dy????dx?t?2e(1?e),t?0?1?1dydx例152t?02?t?0?2e(e?1?1?1).

.已知u?u(x,y)由方程u?f(x,y,z,t)和g(y,z,t)?0,h(z,t)?0确?u?x,?u?y定,其中f,g,h均为可微函数,求解?g(y,z,t)?0由题意可知z?z(y),t?t(y)由?确定,对y求导,得h(z,t)?0?dzdt????g?g?g?0yzt?dydy???h?dz?h?dt?0zt?dydy?解得

???????dzdydtdy??g?h?ytg?h??gt?h?zztg?h?yzg?h??gt?h?zzt?所以?u?x?u?y?fx?,?fy??fz?dzdy?ft?dtdy?fy??g?h?f??g?h?f?yztytzg?h??gt?h?zzt.

§5-3 多元函数微分学的应用

一、基本内容提要

1. 微分学在几何上的应用

(1)空间曲线的切线与法平面(i)设曲线?以参数方程给出x?x(t),y?y(t),z?z(t),P0(x0,y0,z0)为?上一点?对应参数t?t0,则点P0处的切线方程为x?x0x?(t0)点P0处的法平面方程为x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0,T??(x?(t0),y?(t0),z?(t0))称为?在点P0处的切向量.取正号时,T的指向与参数t增大时P0的移动走向一致.(ii)设曲线?以一般方程给出?F(x,y,z)?0??G(x,y,z)?0则?在点P0处的切向量为T??(Fx,Fy,Fx)?(Gx,Gy,Gz).(2)曲面的切平面与法线设曲面?的方程为F(x,y,z)?0,P0(x0,y0,z0)为?上一点?则曲面?在点P0处的切平面方程为Fx(P0)(x?x0)?Fy(P0)(y?y0)?Fz(P0)(z?z0)?0,点P0处的法线方程为x?x0Fx(P0)?y?y0Fy(P0)?z?z0Fz(P0),?y?y0y?(t0)?z?z0z?(t0),

n??(Fx,Fy,Fx)称为曲面?在点P0处的法向量.

2. 多元函数的极值与Lagrange乘数法

(1)二元函数的极值(i)函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的必要条件若f(x0,y0)是f(x,y)的极值,且f(x,y)在点(x0,y0)处可偏导,则有fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0,即(x0,y0)是f(x,y)的驻点.(ii)函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的充分条件若f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且具有二阶连续偏导数,如果(x0,y0)是f(x,y)的驻点,记A?fxx(x0,y0),B?fxy(x0,y0),C?fyy(x0,y0),则(a)当AC?B?0时,f(x0,y0)是极值,且当A?0时是极大值,当A?0时是极小值；(b)当AC?B?0时,f(x0,y0)不是极值；(c)当AC?B?0时,需作进一步讨论.注：若f(x,y)在(x0,y0)处有定义,但fx(x0,y0),fy(x0,y0)不存在,f(x0,y0)仍有可能是极值.(2)条件极值与Lagrange乘数法设z?f(x,y)是目标函数,在条件?(x,y)?0下,求函数z?f(x,y)的极值的步骤：(i)作Lagrange函数L(x,y,?)?f(x,y)???(x,y),其中?称为Lagrange乘数.(ii)令Lx?0,Ly?0,L??0得方程组?fx(x,y)???x(x,y)?0??fy(x,y)???y(x,y)?0.???(x,y)?0(iii)解上述方程组得(x0,y0,?0),则(x0,y0)是该问题的可能极值点,至于是否确为极值点,可由具体问题讨论确定,在实际问题中,常常可根据问题本身的意义确定.上述Lagrange乘数法可以推广到目标函数是三元及三元以上的多元函数,或附加条件多于一个的情形.222

二、示例

题型一 空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线

例1设曲线?：x?t,y?2t,z??t23x?1和直线l：?2?2y?1?3z,求?3的与l垂直的切线.解直线l的方向向量?11?s??3,,?,?23?曲线?的切线的方向向量T?(1,4t,?3t).由题意,s?T,即s?T?0,亦即3?2t?t?0,解得t?1,t??3.22当t?1时,切点为(1,2,?1),T?(1,4,?3),切线方程为x?11x?31?y?24y?18?12?z?1?3.当t??3时,切点为(?3,18,27),T?(1,?12,?27),切线方程为??z?27?27.

例29?222x?y?z???4求曲线?对应于x?1的点处的切线方程.17?3x2?(y?1)2?z2???4?1??1?对应于x?1,曲线上的点为P1?1,,1?,P2?1,,?1?.由此可知,所求切?2??2?T?(x,y,z)?(3x,y?1,z).解线有两条.曲线上任一点P(x,y,z)处的切向量为点P1处的切向量1??1??TP1??1,,1???3,?,1??(1,2,?2),?2??2?对应的切线方程为x?11点P2处的切向量1?1???TP2??1,,?1???3,?,?1??(1,2,2),?2??2?对应的切线方程为x?11y??12?z?1.22y??12?z?1.2?2

例3?x?aetcost?t222已知曲线?：曲?y?aesint(a?0)在锥面上x?y?z上,证明：?t?z?ae曲线?上任一点处的切向量线?上任一点处的切线与过该点的锥面的母线的交角是定角.证??ae(cost?sint,sint?cost,1),过该点的锥面的母线的方向向量s?(x,y,z)?ae(cost,sint,1).设?与s的交角为?,则cos??tt??s|?||s|?(cost?sint,sint?cost,1)?(cost,sint,1)3?2?26,由?上点的任意性可知,命题成立.

例4设方程z??y?2223x?y?z?xf??确定函数z?z(x,y),其中f可微,证?x?明：曲面z?z(x,y)上任一点处的切平面在z轴上的截距与切点到原点(0,0,0)的距离之比为常数,并求此常数.证设P0(x0,y0,z0)是曲面上任一点,记F(x,y,z)?z?则点P0处的法向量为yz??x22n?(Fx,Fy,Fz)P0??0?3x0f(u0)?x0y0f?(u0),0?x0f?(u0),1?0?,r0r0??r0其中,r0?x0?y0?z0,u0?222?y?2223x?y?z?xf??,?x?y0x0.所以切平面方程为?x0??y0?22?(u0)(x?x0)??(u0)(y?y0)?3xf(u)?xyf?xf00000?r??r??0??0?z????1?0?(z?z0)?0.r0??令x?y?0,得切平面在z轴上的截距z0??x0??y0??22???3xf(u)?xyf(u)x??xf(u)y?1?00000?000?0??z0?r?rr0??0??0??Cz?z1?0r0?r0[z0?r0?3x0f(u0)]z0?r03?r0[z0?r0?3(z0?r0)]z0?r0??2r0.P0(x0,y0,z0)到原点(0,0,0)的距离为d?所以Czd命题得证.??2r0r0??2?常数.x0?y0?z0?r0,222

例5?x?y?b?022设直线l：在曲面z?x?y于点(1,?2,5)处的切??x?ay?z?3?0过直线l的平面束方程为x?ay?z?3??(x?y?b)?0,平面?上,求a,b之值.解即(1??)x?(a??)y?z?3??b?0,其法向量为n??(1??,a??,?1).曲面z?x?y在点(1,?2,5)处的法向量n?(2x,2y,?1)(1,?2,5)?(2,?4,1),由题设知n??n,即1??2解得?a???4??11,22??1,又点(1,?2,5)在平面?上,故a??5.(1??)?2(a??)y?8??b?0,将??1,a??5代入得b??2.例6分析已知曲面e2x?z?f(?y?2z),且f(u)可微,证明：曲面为柱面.柱面是由平行于定直线的母线沿一定曲线移动而成的曲面,故柱面上任一点处的法向量一定垂直于定直线.反之,一曲面上任一点处的法向量垂直于一定向量,则该曲面一定是柱面.证设F(x,y,z)?e2x?z?f(?y?2z),则曲面上任一点处的法向量为2x?z2x?z,?f?,?e?n?(Fx,Fy,Fz)?(2e?e记s?(2,0,?1)?(0,?,为一常向量,因2x?z2f?)(2,0,?1)?f??(0,?,2),2)?(??,?22,?2?),n?s?0,所以n?s,故曲面是母线平行于定向量s?(??,?22,?2?)的柱面.

例7已知曲面方程xyz?x(y?z)?a(a?0).证明：23(1)曲面上两点P(?a,?a,a),Q(?a,a,?a)处的法线相交；(2)曲面在P,Q处的两个切平面的交线是x?3a?2y?2z.证(1)设F(x,y,z)?xyz?x(y?z)?a,则Fx?yz?2x(y?z),故Fx(?a,?a,a)??a,Fx(?a,a,?a)??a,于是,点P处的法向量为nP?(?a,0,2a),法线方程为x?a?a点Q处的法向量为nQ?(?a,2a,0),法线方程为x?a?a因????2(nP?nQ)?PQ??a0?a22222222223Fy?xz?x,2Fz?xy?x,2Fy(?a,?a,a)?0,Fy(?a,a,?a)?2a,2Fz(?a,?a,a)?2a；Fz(?a,a,?a)?0.2?y?a0?z?a2a2.?y?a2a2?z?a02.02a22a0?4a?4a?0,552a?2a故两法线共面.又两法线不平行(因nP与nQ不行),所以两法相交.(2)点P处的切平面方程为?a(x?a)?2a(z?a)?0,即x?3a?2z.点Q处的切平面方程为?a(x?a)?2a(y?a)?0,即x?3a?2y.所以两切平面的交线为?x?3a?2z??x?3z?2y即x?3a?2y?2z.2222

题型二 函数的极值

例8的极值.解求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0所确定的二元函数z?f(x,y)222方程两边分别对x,y求偏导,得4x?2z4y?2z?z?x?z?y?8z?8x?8x?z?y??z?x?z?y??z?x?0,(1)(2)?0,可解得?z?x令?z?x?0,?z?y?0,??4x?8z8x?2z?1,?z?y??4y8x?2z?1.?16?并与原方程联立,解得驻点(?2,0),?,0?,且?7?z(?2,0)?1,8?16?z?,0???.7?7?在方程(1)两边分别对x,y求偏导,方程(2)两边对y求偏导,得?z?z?z?z??z?4?2??2z?16?8x??0,?222?x?x?x?x??x?2?z?z?x?y?2z22222

?z?x?y2?82?z?y?8x2?z?x?y22??z?x?y2?0,?z?z?z??z?4?2??2z?8x??0,222??y?y?y?y??在(?2,0)处(z?1)有A?故?4?AC?B????0,15??22222?z?x2?415,B??z?x?y?0,C??z?y2?415,A?415?0,所以z(?2,0)?1为极小值.8??16??在?,0?处?z???有7??7??A?故?4?AC?B?????0,?15?22?z?x22??415,B??z?x?y2?0,C??z?y22??415,A?415?0,8?16?所以z?,0???为极大值.7?7?

例9证已知x,y,z为实数,且e?y?|z|?3,求证：ey|z|?1.由题设,|z|?3?e?y,且e?y?3,令f(x,y)?ye(3?e?y),2xx2x2x2x2x2(x,y)?D??(x,y)|e?y?3?,x2易见D是有界区闭区域,f(x,y)在D上连续,故f(x,y)在D上必有最大值和最小值.fx?ye(3?2e?y),fy?2ye(3?e?2y),令fx?0,fy?0,得驻点(0,1),(0,?1)以及(x,0),其中x?ln3.因f(0,1)?f(0,?1)?1,且在边界e?y?3上f(x)?0.故在D上x2xx22xx2f(x,0)?0,

0?f(x,y)?1,即ey|z|?1.例10小值.解因函数在闭区域D??(x,y)|x?y?25?上连续,故由最值定理知,在2222x2

22求函数z?x?y?12x?16y在闭区域x?y?25上的最大值和最D上函数必有最大值和最小值.令??zx?2x?12?0???zy?2y?16?0解得(x,y)?(6,?8)?D,故函数在D内无驻点,从而最大值和最小值一定在D的边界x?y?25上取得.设L(x,y,?)?x?y?12x?16y??(x?y?25),令?????????由(1)(2)得x?代入(3)有?6???8???????25,?1????1???解得22222222?L?x?L?y?L???2x?12?2?x?0?2y?16?2?y?0?x?y?25?022(1)(2)(3)61??,y??81??,?1??1,所以驻点为(3,?4),(?3,4).计算函数值z(3,?4)??75,故zmin?z(3,?4)??75,?2?3,z(?3,4)?125,zmax?z(?3,4)?125.

例11相切.解确定正数a,使椭球面Sa：x?2y?3z?a与平面?：x?2y?3z?62222设切点为M(x0,y0,z0),则点M处切平面的法向量(x0,2y0,3z0)应平行x012y0?23z03于平面?的法向量(1,?2,3),故??,即y??x0,因点M在平面?上,于是x0?2y0?3z0?6.由(1)(2)解得x0?1,所以a?x0?2y0?3z0?6,即a?6.22222222z?x0.(1)(2)y0??1,z0?1.例12求函数f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz在球面x?y?z?5r(r?0)5?3?a?b?c?上的最大值,并证明：?a,b,c?R,有abc?27??.5??解考察条件极值?maxf(x,y,z)?lnx?lny?3lnz?2222x?y?z?5r,x?0,y?0,z?0.?s.t.设L(x,y,z,?)?lnx?lny?3lnz??(x?y?z?5r),令??????????????L?x?L?y?L?z?L?x???1x1y3z22222?2?x?0?2?y?0?2?z?0222(1)(2)(3)(4)?x?y?z?5r?0

由(1)(2)(3)得x??代入(4)得212?,y??212?12r2,z??232?,???于是得驻点(r,r,,3r).因在第一卦限内球面的三条边界线上,f(x,y,z)???,3r)是球面内的唯一驻点,所以3r?ln(33r).5故fmax在球面的内部取.又因(r,r,fmax?f(r,r,从而?x?0,y?0,z?0有3r)?lnr?lnr?3lnlnx?lny?3lnz?ln(33r),即xyz?33r.又r?故52222355x?y?z5,?x?y?z?2xyz?33??,5??3222亦即?x2?y2?z2?xyz?27??,5??2265令x?a,y?b,z?c,得5222?a?b?c?abc?27??.5??3例13积最小.解试求a,b之值,使得椭圆xa22?yb22?1包含圆x?y?2y,并且其面22所球椭圆必与圆x?y?2y相切,并将圆包含在其内部(如下图).故22在椭圆上任一点(x,y)处,函数f(x,y)?x2?(y?1)2?1,即函数f(x,y)?x2?(y?1)2在条件x22a2?yb2?1下的最小值是1.作L(x,y,?)?x2?(y?1)2????x2y2??a2?b2?1??,令??L??0??x?2x?2?xa2??L??2(y?1)?2?y??yb2???Lx22????a2?yb2?1?0若x?0,则由(1)得???a2,代入(2)得y?1?a2b2?a2,再将其代入(3)中得x2?a2?b2??1??(b2?a2)2?.?因fmin?f(x,y)?1,故a2?1?b2?a4??(b2?a2)2???(b2?a2)2?1,从而有a2b2?a4?b2?0.为求a,b的值,使椭圆有最小面积?ab,令M(a,b,?)?ab??(a2b2?a4?b2),令??M???b?2?ab2?4?a3?0??a??M???b?a?2?a2b?2?b?0(1)(2)(3)(4)解得b?2a,代入(4)得a?此时,椭圆面积A1??ab?若x?0,则由xa222462,b?322,332?.f(x,y)?1得?yb22?1得y?b.将x?0,y?b代入b?2,于是点(0,2)是椭圆xa22?y242a2?1与x?(y?1)?1相切的点,从而在点(0,2)处?1,即a?2,22它们的曲率相同,进而得此时,椭圆的面积A2?22??故当a?例14332??A1,62,b?3222时,椭圆面积最小.2

2若在x?y?1时,f(x,y)连续且偏导数存在,又|f(x,y)|?1,求22证：?(x0,y0)??(x,y)|x?y?1?,使解22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?16.222记D??(x,y)|x?y?1?,D??(x,y)|x?y?1?,令?(x,y)?f(x,y)?2(x?y),(x,y)?D,则??CD,且在D内存在偏导数.当x?y?1时,?(x,y)?f(x,y)?2,此时1??(x,y)?3.倘若?(x,y)仅在D的边界上取得最小值1,则?(x,y)?D,有f(x,y)?1.于是f(0,0)??(0,0)?1,这与|f(x,y)|?1矛盾.所以?(x0,y0)?D,使?(x0,y0)为最小值,从而有?(x0,y0)????x(x0,y0)?0,y即fx(x0,y0)??4x0,所以fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?16(x0?y0)?16.22222222fy(x0,y0)??4y0,

§5-4 方向导数和梯度

一、基本内容提要

1.方向导数的定义设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内有?x?x0?tcos?定义,P(x0?tcos?,y0?tsin?)是从点P0发出的射线l：?(t?0)y?y?tsin?0?上一点,且P?U(P0).若点P沿着射线l趋近于P0即|PP0|?t?0时,t?0?lim?f(x0?tcos?,y0?tsin?)?f(x0,y0)t?f?lP0存在,则称其为函数z?f(x,y)在点P0处沿着方向l的方向导数,记作?f?lP0,即?lim?t?0f(x0?tcos?,y0?tsin?)?f(x0,y0)t.2.偏导数fx(P0),fy(P0)与方向导数设射线l方向的单位向量为el,则?f?lP0的关系fx(P0)存在?当el?(1,0)及el?(?1,0)时同理,fy(P0)存在?当el?(0,1)及el?(0,?1)时由此可知,??ffx(P0),fy(P0)存在????l?f?lP0存在且相等；?f?lP0存在且相等.存在(其中l为任一射线).P0

3.函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿任一方向的方向导数存在的充分必要条件及计算公式定理若z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微,则f(x,y)在点P0处沿任一方向的方向导数存在,且有?f?l其中(cos?,cos?)?el.4.三元函数f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)处沿方向el?(cos?,cos?,cos?)的方向导数定义为?f?lP0?fx(P0)cos??fy(P0)cos?,P0?lim?t?0f(x0?tcos?,y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)t.同样,f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)可微,则f(x,y,z)在点P0处沿任一方向l的方向导数为?f?lP0?fx(P0)cos??fy(P0)cos??fz(P0)cos?,其中(cos?,cos?,cos?)?el.

5.函数梯度的定义?P(x,y)?D,向量设函数z?f(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数,则gradf(x,y)?fx(x,y)i?fy(x,y)j称为函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度.此时有?f?lP?fx(x,y)cosa?fy(x,y)cos??gradf(x,y)?el?e)?gradf(x,y)?cos(gradf,l?f可见,当(gradf?,el)?0即gradf(x,y)与el同向平行时,?l达到最大值.简言P之,函数f(x,y)在点P(x,y)处的方向导数中,以沿函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度方向的方向导数为最大,且maxl?f?lP?gradf(x,y).对三元函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处的梯度,可类似定义为gradf(x,y,z)?fx(x,y,z)i?fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k.同样有?f?lP?gradf(x,y,z)?el具有上述类似的结论.

?f?lP06.方向导数的含义定方向l的变化率的大小.是函数f(x,y)或f(x,y,z)在点P0处沿任一指

二、示例

例1求函数u?lnx??y?z22?在点A(1,0,1)沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数.解????21??2AB?(2,?2,1)?l,则el??,?,?,而33??3?u?x?u?y?u?z故1??1gradu(A)??,0,?,?22?从而?u?lAAAA?x??x??x?1y?z1y?z1y?z222222A?12,?yy?z22A?0,12?zy?z22A?,1??221?1?1?gradu(A)?el??,0,???,?,??.?22??333?2例2求u?x?xy?y在点M(?1,1)处沿方向n?22015(2,1)的方向导数,并指出u在该点沿哪个方向的方向导数最大？最大方向导数的值是多少？u沿哪个方向减少得最快？又沿哪个方向u的值不变？解因gradu(M)?(2x?y,?x?2y)M?(?3,3),故?u?n从而有：方向导数?u?l?u?lMM0M?gradu(M)?n??035.取得最大值的方向为梯度gradu(M)?(?3,3)的方向；方向导数的最大值为梯度的模gradu(M)?32；u沿?gradu(M)?(3,?3)方向减少最快；沿与gradu(M)?(?3,3)垂直的方向即l?(1,1)或?l?(?1,?1)方向u的值不变.例3函数f(x,y)?x?y在点(0,0)处沿任意方向的方向导数22?f?l(0,0)是否存在？又fx(0,0)和fy(0,0)是否存在？解设el?(cos?,sin?)为任一方向的单位向量,则?f?l(0,0)?lim?t?0f(tcos?,tsin?)?f(0,0)ttcos??tsin?tf(x,0)?f(0,0)x2222?lim?t?0?lim?t?0|t|t?1.即函数f(x,y)点(0,0)处沿任意方向的方向导数均为1.又?f?x不存在,同理?f?y(0,0)(0,0)?limx?0?lim|x|xx?0亦不存在.

例4设u?x?3yz?5,l是在点M(1,2,?1)处与三坐标轴构成等角的射?u?lM2线,求函数u在点M处的方向导数解.设el?(cos?,cos?,cos?)的l方向的单位向量,由题意有?cos??cos??cos??222?cos??cos??cos??1所以cos??cos??cos???即?333el???,,33?3又?u?x故gradu(M)?(2,3,?6),从而?u?lMM33,??.??u?zM?2xM?2,?u?yM??3zM?3,??3yM??6,?333?3?gradu(M)?el?(2,3,?6)???,?,?.???333?3?

例522设有一小山,其底面所在平面设为xOy面,且占有xOy面上区域D：22x?y?xy?75,小山的高度函数为h(x,y)?75?x?y?xy,(x,y)?D.(1)设M(x,y)为区域D上的任一点,求h(x,y)在点M处的方向导数的最大值g(x,y).(2)在山脚下找出一个上山坡度最大的点M0(x0,y0).解(1)因gradh(x,y)?(?2x?y,?2y?x),故g(x,y)?|gradh(x,y)|?2(?2x?y)?(?2y?x)?22225x?5y?8xy.22(2)令f(x,y)?g(x,y)?5x?5y?8xy.由题意,只需求条件极值问题22??maxf(x,y)?5x?5y?8xy,?22??s.t.75?x?y?xy?0作L(x,y,?)?5x?5y?8xy??(75?x?y?xy),令?????????解得四个驻点M1(5,?5),由于f(M1)?f(M2)?450,f(M3)?f(M4)?150,M2(?5,5),M3(53,53),M4(?53,?53).?L?x?L?y?L???10x??(y?2x)?0?10y??(x?2y)?0?75?x?y?xy?0222222所以上山坡度最大的点为M1(5,?5)或M2(?5,5).

自我检测题(五)

(1)设f(x,y)?|x?y|?(x,y),其中?(x,y)在点(0,0)的邻域内连续,问(i)?(x,y)在什么条件下,fx(0,0)fy(0,0)才能存在？(ii)?(x,y)在什么条件下,f(x,y)的(0,0)处可微？x???y(2)设z?f?xy,??g?y??x?2?z?(2),其中f,g?C,求.??x?y?13x?y,试求f(x,y).32(3)已知fx(x,y)?xy?x,fy(x,y)?(4)试证：可微函数z?f(x,y)只是ax?by的函数的充要条件是b?z?x?a2?z?y2(ab?0).?u?y222(5)设函数u?u(x,y)满足方程?u?x??0,且u(x,2x)?x,ux(x,2x)?x,

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