高铁梅老师的EVIEWS教学课件条件异方差模型

第 7章 条件异方差模型

第七章 条件异方差模型

计量经济学中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。

自回归条件异方差模型（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，简称ARCH）最先由恩格尔（Engle, R., 1982） 提出，并由博勒斯莱文（Bollerslev, T. 1986）用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。

①

②

发展成为GARCH (Generalized ARCH) —— 广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应

7.1 自回归条件异方差模型

通常认为自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983） 在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。

从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变化很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而有理由认为误差项的方差不是某个自变量的函数，而是随时间变化并且依赖于过去误差的大小。

③

7.1.1 ARCH模型

为了刻画预测误差的方差中可能存在的某种相关性，恩格尔（Engle）提出自回归条件 ① Engle，R.， “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K. Inflation,” Econometrica, vol. 50, pp. 987-1008, 1982。

② Bollerslev, T., “Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity”. Journal of Econometrics, 31, 1986, pp, 5-59.

③ Engle, R., and D. Kraft, “Multiperiod Forecast Error Variances of Inflation Estimated form ARCH Models.” In A. Zellner,ed., Applied Time Series Analysis OF economic Data. Washington D.C., Bureau of the Census, 1983.

1

第三部分 扩展的单方程分析

异方差。ARCH的主要思想是条件标准差依赖于ut的前期值。ARCH（1）就是时刻t的ut的方差（=

?t2）依赖于时刻（t ─ 1）的平方误差的大小，即依赖于ut2?1。

yt??0??1x1t?????kxkt?ut （7.1.1）

为了说得更具体，考虑k - 变量回归模型：

并假设在时刻（t ─ 1）所有信息的条件下，干扰项的平方服从AR(1)过程：

ut2??0??1ut2?1??t （7.1.2）

其中，?t是白噪声过程，满足：

E(?t)?0

??2E(?t??)???0这样，扰动项ut的分布是：

t?? t??ut~N0,(?0??1ut2?1) （7.1.3）

也就是，ut服从以0为均值，(?0??1ut2?1)为方差的正态分布。

方差方程（7.1.2）表示ut的方差?t2由两部分组成：一个常数项和前一时刻关于变化量的信息，用前一时刻的残差平方表示（ARCH项）。

由于（7.1.2）中的ut的方差只依赖于前一期的平方干扰，我们称它为ARCH (1) 过程。通常用极大似然估计得到参数?0,?1,?2,?,?k,?0,?1的有效估计。

一个自然的延伸是ARCH (p)过程，可以写为：

??var(ut)??t2??0??1ut2?1??2ut2?2?????put2?p （7.1.4）

这时方差方程中的(p?1)个参数?0,?1,?2,??p也要和回归模型中的参数

?0,?1,?2??k一样，用极大似然估计法进行估计。

在ARCH（p）中，由于ut是随机的，并且ut2不可能为负，所以对于{ut}的所有实现值，只有var(ut)??t??0??1ut?1??2ut?2?????put?p是正的，才是合理的。为使

2222ut2协方差平稳，我们进一步要求方程

1??1z??2z2????pzp?0 （7.1.5）

的根位于单位圆外。如果?j都非负，这等价于要求?1??2????p?1。

如果误差方差中没有自相关，就有：?1??2????p?0。这时

2

第 7章 条件异方差模型

var(ut)??2??0

从而得到误差方差的同方差性情形。

7.1.2 GARCH模型

我们常常有理由认为ut的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。ARCH模型的一个实践难点就是：对于大多数的p，无限制的估计常常会违背?i都非负的限定条件，我们恰恰需要这个限定以保证条件方差?t2永远是正数。因此在这个模型的许多早期应用中，研究者会对?i强加一个相当任意的递减时滞结构，以保证模型满足这些限定条件。但是如果我们能够意识到方程（7.1.4）不过是?t2的分布滞后模型，就能够用一个或两个?t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型（generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为GARCH模型）。 在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。

在标准化的GARCH (1,1) 模型中：

①

yt?xt???ut （7.1.6）

?t2????ut2?1???t2?1 （7.1.7）

（7.1.6）式给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量的函数。由于?t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被叫做条件方差。

（7.1.7）中给出的条件方差方程由三个组成部分： ① 一个常数项：?；

② 用均值方程的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：； ut2?（1ARCH项）③ 上一期的预测方差：?t2?1（GARCH项）。

GARCH (1, 1) 中的（1, 1）是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差的说明，GARCH(0,1)。GARCH (1, 1)模型是在误差是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的，t时刻的似然函数为：

111lt??log(2?)?log?t2?(yt?xt??)2/?t2 （7.1.8）

222其中：

?t2????(yt?1?xt??1?)2???t2?1 （7.1.9）

① GARCH模型的引入归功于Tim Bollerslev。参见Tim Bollerslev, “Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity。” Journal of Econometics, vol. 31, pp. 307-327, 1986。

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第三部分 扩展的单方程分析

这个设定通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。

有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型：

1．如果我们用滞后方差递归地替代（7.1.7）式的右端，就可以将条件方差表示为滞后残差平方的加权平均：

????????j?1ut2?j. （7.1.10）

?1???j?12t我们看到GARCH(1, 1)方差说明与样本方差类似，但是，它向更远的滞后加权了平方误差。

2．收益平方中的误差通过?t?ut2??t2给出。用其替代方差方程（7.1.7）中的方差并整理，得到关于误差的模型：

ut2????????ut2?1??t???t?1 （7.1.11）

因此，平方误差服从一个异方差ARMA（1, 1）过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是?加?的和。在很多情况下，这个根非常接近1，所以冲击会逐渐缓慢消失。

方程（7.1.7）可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的方差方程：

?t2????ut2?1???t2?1??zt （7.1.12）

注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入某些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：

zt?xt

一般情况下，我们可以有任意多个ARCH项和任意多个GARCH项。高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得到估计，记作GARCH (p, q)。其方差表示为：

??????iu2ti?1q2t?i ???i?t2?i??0??(B)ut2??(B)?t2 （7.1.13）

i?1pp?0并且?i?0，1?i?p。这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。其中，

为了使GARCH（p, q）模型的条件方差有明确的定义，相应的ARCH (∞) 模型

?t2??0??(B)ut2

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第 7章 条件异方差模型

的所有系数都必须是正数。只要?(B)和?(B)没有相同的根并且?(B)的根位于单位圆以外，那么当且仅当?(B)??(B)/(1??(B))的所有系数都是非负数时，这个正数限定条件才会得到满足。例如在GARCH(1,1)模型中：

?t2????ut2?1???t2?1??zt

这些条件要求所有三个参数都是非负数。

例7.1 沪市股票价格指数波动的ARCH模型 为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列{sp}是1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对{sp}进行自然对数处理，即将序列{log(sp)}作为因变量进行估计。由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程——随机游动（Random Walk）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为： log(spt)?a?log(spt?1)?ut 首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下： ?t)?1.000027log(sp?log(spt?1) （15531） R2=0.994 对数似然值 = 2874 AIC = -5.51 SC = -5.51 可以看出，这个方程的统计量很显.12.08.04.00-.04-.08-.121998199920002001著，而且，拟和的程度也很好。但是观察图1，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小（例如1999～2000年），在其他一些较长的时间内非常大（例如1996～1997年），这说明误差项具有条件异方差性。对这个方程进行异方差的White和ARCH-LM检验，发现q = 3时的ARCH -LM检验的相伴概率，即P值接近于0， White检验的结果类似，其相伴概率，即图7.1股票价格指数方程回归残差 P值也接近于0，这说明残差序列存在高阶ARCH效应，即存在GARCH效应，所以我们重新建立序列{log(sp)}的GARCH（1, 1）模型，结果如下：

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第三部分 扩展的单方程分析

（续） ?t)?1.000031均值方程：log(sp?log(spt?1) （23213） ?t2?1.2?10?5?0.250?u?t2?1?0.732???t2?1 方差方程：? （5.28） （11.44） （33.36） R2?0.994 对数似然值 = 3006 AIC = -5.76 SC = -5.74 方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行异方差的ARCH—LM检验，相伴概率为P = 0.857，说明利用GARCH模型消除?等于0.982，小于1，???了原残差序列的异方差效应。ARCH和GARCH的系数之和?满足参数约束条件。由于系数之和非常接近于1，表明一个条件方差所受的冲击是持久的，即它对所有的未来预测都有重要作用，这个结果在高频率的金融数据中经常可以看到。 ??7.1.3 ARCH—M（ARCH-in-Mean）模型

金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种预期风险用条件方差表示的模型被称为ARCH均值或ARCH—M回归模型，是由恩格尔（Engle）、利林（Lilien）和罗宾（Robbins）（1987） 引入的，表达式为：

①

yt?xt????t2?ut （7.1.14）

?t2??0??1ut2?1??2ut2?2?????put2?p （7.1.15）

参数?是用方差?t2表示的可观测的期望风险波动对yt水平的影响程度，它代表了风险和收益之间的一种权衡。

如果把?t2看成是一个（7.1.13）式那样的GARCH(p, q)过程，则方差方程就可以写为：

?t2??0??1ut2?1??2ut2?2?????put2?p??1?t2?1??2?t2?2????q?t2?q （7.1.16）

（7.1.14）和（7.1.16）被称为GARCH—M模型。

① Enlge, R., D. Lilen, and R. Robins. “Estimation Time Varying Risk Premia in the Term Structure: The ARCH-M Model.” Econometrica, 55, 1987, pp. 391-407.

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第 7章 条件异方差模型

ARCH—M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差。ARCH—M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险密切相关的金融领域，例如，如果回归的目的是要揭示股票或债券等金融资产的收益，我们就可以利用这个模型进行估计。根据金融理论，股票的风险越大，相应的收益率也就越高，所以我们可以认为股票指数的票面收益（returnt）的变动依赖于一个常数项，以及条件方差：

returnt?????t2?ut

例7.2 股票收益率的GARCH—M模型 在这个例子中，我们将要估计我国股票收益率的GARCH—M模型。选择的时间序列仍是1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数{sp}，股票的收益率是根据公式：ret?log(spt/spt?1)，即股票价格收盘指数对数的差分计算出来的，估计出的结果是： ?t?0.26???t?0.003 re（2.96） (-2.72) ?t2?1.58?10?5?0.29?u?t2?1?0.68???t2?1 ?(5.43) (12.45) (29.78) 对数似然值=3010 AIC=-5.77 SC=-5.74 我们在收益率方程中包括?t的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础——“均值方程假设”的含义。在这个假设下，?应该是正数，结果也正是如此，因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计?t的出的方程的所有系数都很显著，并且系数之和小于1，满足平稳条件。均值方程中的?系数为0.26，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加0.26个百分点。 7.2 非对称的ARCH模型

对于资产而言，在市场中我们经常可以看到向下运动通常伴随着比同等程度的向上运动更强烈的波动性。为了解释这一现象，Engle和Ng（1993）描述了对好消息和坏消息的非对称信息曲线。本节主要考虑了两个波动性的非对称冲击的模型：TARCH和EGARCH。

7.2.1 TARCH模型

TARCH或者门限（Threshold）ARCH模型由Zakoian(1990)和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993) 独立的引入。条件方差指定为：

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第三部分 扩展的单方程分析

?t2????ut2?1??ut2?1dt?1???t2?1 (7.2.1)

其中，当ut?1?0时，dt?1；否则，dt?0。

在模型(7.2.1)中，条件方差方程中的?ut2?1dt?1称为非对称效应项，或TARCH项。条件方差方程表明?t2依赖于前期的平方误差ut2?1和方差?t2?1的大小，好消息?ut?1?0?和坏消息

?ut?1?0?对条件方差有不同的影响：好消息有一个?的冲击，即当ut?1?0时有一个?倍

的冲击；坏消息有一个对???的冲击，即当ut?1?0时有一个???倍的冲击。只要??0，就存在非对称效应。如果??0，我们说存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果??0，则非对称效应的作用是使得波动减小。

高阶TARCH模型可表示为：

??????iu2ti?1q2t?i??udt?1???j?t2?j （7.2.2）

2t?1j?1p7.2.2 EGARCH模型

尽管我们假设了ut的分布是条件正态的，但这不是最基本的。进一步的改进是允许?t2和ut的关系比至今为止假设的二次方程映射更加灵活。EGARCH或指数（Exponential）GARCH模型由Nelson（1991）提出。在EViews 中条件方差被指定为：

log?t2????log?t2?1??????ut?1?t?1??ut?1?t?1 （7.2.3）

等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。杠杆效应的存在能够通过??0的假设得到检验。如果??0，则冲击的影响存在着非对称性。

在EViews指定的EGARCH模型（7.2.3）和一般的Nelson模型之间有两点区别。首先，Nelson假设ut 服从广义误差分布，而EViews假设扰动项服从正态分布；其次，Nelson指定的条件方差的对数与上述的不同：

?t????log?t?1?? log??2??2ut?1?t?1?2???ut?1?t?1 （7.2.4）

在正态误差的假设下估计这个模型将产生与EViews得出的那些结论恒等的估计结果，除了截矩项?外，还包含了?2

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?。

第 7章 条件异方差模型

令

f(ut/?t)??ut?1?t?1?2???ut?1?t?1 （7.2.5）

则f(?)称为“信息冲击曲线”，它将条件波动率的修正（这里是由log?t2给出）与“冲击信息”ut?1联系起来。由于当ut?1?0时，?f?ut?1=???，并且仅当ut?1?0时，

???f?ut?1=???，f(?)包含了非对称反应（注意，当没有冲击信息，即ut?1?0时，波动

率将会更小）。这种不对称性是十分有用，因为它允许波动率对市场下跌的反应比对市场上升的反映更加迅速，这被称为“杠杆”效应，是许多金融资产的一个重要特征事实。比如许多研究人员发现了股票价格行为的非对称实例——负的冲击似乎比正的冲击更容易增加波动。因为较低的股价减少了相对公司债务的股东权益，股价的大幅下降增加了公司的杠杆作用从而提高了持有股票的风险。我们可以很容易地证明，f(ut?1)是均值为零、方差为常数的白噪声，从而log?t2是一个ARMA(1,1)过程，它在??1时是平稳的。

Nelson设定的主要优点之一是由于方程（7.2.4）描述了?t的对数，所以方差?t2本身是正的，而不论方程右端的系数是否为正。所以，与GARCH模型不同，为了进行估计无需对（7.2.4）施加任何限制。这使得模型（7.2.4）成为求解过程更为简单并且更为灵活的一族动态模型。

更高阶的EGARCH模型为： log??????????2tj?1pjlog??2t?j??ut?iu2???it?i????i??t?i??t?ii?1?q?? （7.2.6） ??例7.3 股票价格波动的TARCH和EGARCH模型 克里斯汀(Christie，1982)的研究认为，当股票价格下降时，资本结构当中附加在债务上的权重增加，如果债务权重增加的消息泄漏以后，资产持有者和购买者就会产生未来资产收益率将导致更高波动性的预期，从而导致该资产的股票价格波动。因此，对于股价反向冲击所产生的波动性，大于等量正向冲击产生的波动性，这种“利空消息”作用大于“利好消息”作用的非对称性，在美国等国家的一些股价指数序列当中得到验证。 那么在我国的股票市场运行过程当中，是否也存在股票价格波动的非对称性呢？利用沪市的股票收盘价格指数，我们估计了股票价格波动的两种非对称模型，结果如下： 1．TARCH模型： ?t)?0.99?log(spt?1) 均值方程：log(sp(19689.6)

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第三部分 扩展的单方程分析

(续) ?t2?8.19?10?6?0.127?u?t2?1?0.150?dt?u?t2?1?0.789???t2?1 方差方程：? (5.57) (7.58) (5.31) (45.43) R2?0.99 对数似然值 =3012.5 AIC = -5.77 SC = -5.75 2．EGARCH模型： ?t)?0.99?log(spt?1) 均值方程：log(sp(19897.8) 方差方程：?t2)??0.58?0.30?u?t?1??t?1?0.07?(u?t?1??t?1)?0.96?log(??t2?1) log(?(-7.26) (9.63) (-5.63) (123.29) R2?0.99 对数似然值 =3020.3 AIC = -5.79 SC = -5.76 在TARCH模型中，杠杆效应项的系数?显著大于零，说明股票价格的波动具有“杠杆”效应：利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动，当出现“利好消息”时，会对股票价格指数带来一个0.127倍的冲击，而出现“利空消息”时，则会带来一个 0.277（0.127+0.150）倍的冲击。这个利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动的结果在EGARCH模型中??0.3，?也能够得到印证。在EGARCH模型中，其非对称项? 的系数小于零，????0.07，?????0.3?(?0.07)?0.23倍冲击，当 ut < 0 时，有一个当 ut > 0 时，有一个??????0.3?(?0.07)?(?1)?0.37倍冲击 。 ? 0 信息 波动性 图7.2 好消息和坏消息的非对称信息曲线 10

第 7章 条件异方差模型

7.3 成份ARCH模型 (Component ARCH Model)

GARCH (1,1) 模型将条件方差设定为：

?t2????ut2?1???t2?1

令???(1????)，其中?是非条件方差或长期波动率，过程变为：

?t2?????ut2?1???????t2?1??? (7.3.1)

表示了均值趋近于?，这个?在所有时期都为常数。相反的，成分ARCH模型允许均值趋近于一个变动的水平qt：

?t2?qt???ut2?1?qt?1?????t2?1?qt?1?

qt?????qt?1?????ut2?1??t2?1 (7.3.2)

??此处?t2仍然是波动率，而qt代替了?，它是随时间变化的长期变动率。第一个等式描述了暂时成分?t2?qt，它将随???的作用收敛到零。第二个等式描述了长期成分qt，它将在?的作用下收敛到?。典型的?在0.99和1之间，所以qt缓慢地接近?。我们把暂时方程和长期方程联合起来：

?t2??1??????1??????????ut2?1????????????ut2?2

???????t2?1?????????????t2?2 (7.3.3)

该方程表明了成分ARCH模型是一个非线性的有约束的GARCH (2,2) 模型。

在成分ARCH模型的条件方差方程中，可以包含进外生变量，它可以在长期方程中，也可以在暂时方程中（或者两者均可）。暂时方程中的变量将对变化率的短期移动产生影响，而长期方程中的变量将影响变动率的长期水平。

我们还可以在暂时方程中引入非对称影响，称为非对称的成分ARCH模型，估计方程的形式为：

yt?xt??ut

qt?????qt?1?????ut2?1??t2?1??1z1t

???t2?qt???ut2?1?qt?1????ut2?1?qt?1?dt?1????t2?1?qt?1???2z2t (7.3.4)

其中z是外生变量，d是哑变量，表示负的冲击，当ut?1?0时，dt?1；否则，dt?0，

??0意味着条件方差中的暂时杠杆效应。

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第三部分 扩展的单方程分析

例7.4 股票价格指数的CGARCH模型 我们在前面的例7.1中已经估计了沪市的股票收盘价格指数的GARCH模型，但是例7.1中的方差方程被假定为均值不变的，在引入了CGARCH模型后，对例7.1重新进行估计，得到的结果为： 1．CGARCH模型： ?t)?1.000027均值方程：log(sp?log(spt?1) (21201) ?t2?q?t?0.1769?(u?t2?1?q?t?1)?0.649?(??t2?1?q?t?1) 方差方程：? (4.545) (9.22) ?t?0.0008?0.993?(q?t?1?0.0008?t2?1???t2?1) q)?0.1427?(u(0.86) (115.14) (4.00) R2=0.994 对数似然值 = 3010 AIC = -5.77 SC = -5.74 ?）之和为0.826，小于1，表示暂时成分?????t2?q?t将收敛于在暂时成分方程中，（??= 0.993，缓慢的收敛于均值0.0008。 ?t则通过?的作用，本例中?零；而长期波动率q2．非对称的CGARCH模型： 例7.3已经证明了股价的波动具有非对称效应，“利空消息”产生的波动比等量的“利好消息”产生的波动大，利用非对称CGARCH模型，我们可以进一步印证这个结论： ?t)?1.000023均值方程： log(sp?log(spt?1) (44349) 方差方程： ?t2?q?t?0.127?(u?t2?1?q?t?1)?0.05?(u?t2?1?q?t?1)?dt?1?0.651?(??t2?1?q?t?1) ?（-2.96） （1.29） （9.41） ?t?0.0004?0.985?(q?t?1?0.0004?t2?1???t2?1) q)?0.132?(u(2.17) (118.11) (4.28) R2=0.994 对数似然值 = 3010 AIC = -5.76 SC = -5.73 在暂时方程中的非对称项的系数为0.05，说明存在杠杆效应。由于哑变量 d 表示负冲击，所以这种杠杆效应就可以解释为负的冲击比正的冲击带来的波动大。需要注意的是，这种非对称效应只出现在暂时方程中，也就是说，出现的这种非对称效应只是暂时的，它?减小为0.985，这将会导致长期波动率?t的影响是：它使得长期方程中的?对长期波动率q?t以更快的速度收敛于稳态。 q12

第 7章 条件异方差模型

7.4 在EViews中估计ARCH模型

7.4.1 EViews的基本操作

建立GARCH和ARCH模型，首先打开Quick/Estimate Equation，也可以通过Object/New Object/Equation Equation得到该对话框，然后在Method的下拉菜单中选择ARCH，即得到图7.3的对话框。与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。

图7.3 ARCH定义对话框

1．均值方程 (Mean equation specification)

在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入C。当需要估计一个更复杂的均值方程时，还可以用公式的形式输入均值方程。如果估计的式子中含有ARCH?M项，就需要点击对话框右上方对应的按钮，其中的None项表示方程中不含有ARCH?M项，Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差，而Variance项则表示在方程中含有条件方差。

2．方差方程的外生变量 (Variance Regressors)

在Variance Regressors栏中，可以根据需要列出包含在指定方差中的外生变量。注意到EViews在进行方差回归时总会包含一个常数项作为回归量，所以不必在变量表中列出C。

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第三部分 扩展的单方程分析

3．ARCH说明

在ARCH Specification标栏下选择ARCH项和GARCH项的阶数。EViews默认为选择1阶ARCH和1阶GARCH进行估计，这是目前最普遍的形式。

4．估计选项（Option）

EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。点击Options按钮，就会出现下面的对话框，按要求填写即可。

（1）回推 (Backcasting)

在缺省的情况下，MA初始的扰动项和GARCH项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，EViews会设置残差为零来初始化MA过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值，但使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化GARCH模型的效果要理想。

（2）系数协方差 (Coefficient Covariance)

点击Heteroskedasticity Consistent Covariances用Bollerslev和Wooldridge（1992）的方法计算极大似然（QML）协方差和标准误差。当怀疑残差不服从条件正态分布，应该使用这个选项。只有选定这一选项，协方差的估计才可能是一致的，才可能产生正确的标准差。需要注意的是，选择该项进行估计，参数估计将是不变的，改变的只是协方差矩阵。

（3）导数方法 (Derivatives)

EView现在用数值导数方法来估计ARCH模型。在计算导数的时候，可以利用Accuracy按钮达到更快的速度（较少的函数计算）或者Speed按钮获得更高的精确性（较多的函数

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第 7章 条件异方差模型

计算）。

（4）迭代估计控制 (Iterative process)

当用默认的设置进行估计不收敛时，可以通过改变初值、增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。

（5）算法选择 (Optimization algorithm)

ARCH模型的似然函数不总是正规的，所以，这时可以利用选项对话框来选择迭代算法（Marquard、BHHH）使其达到收敛。

7.4.2 实例

1．估计标准GARCH(1, 1)模型

我们以例7.1为基础，进行EViews操作。由于股票价格指数的最小二乘估计方程的残查出现了波动的成群现象，所以我们对这个方程进行了异方差性检验，就是点击View/Residual/ARCH LM Test，并在弹出的对话框中，输入滞后阶数，系统缺省为1，我们在输入3，检验结果为：

ARCH Test: F-statistic Obs*R-squared 19.89880 Probability 56.65915 Probability 0.000000 0.000000 相伴概率P = 0，说明股票价格指数存在着高阶ARCH效应，也就是存在GARCH效应。同时进行White异方差检验，点击View/Residual/White Heteroskedasticity，结果为：

White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared

10.36599 Probability 20.38508 Probability

0.000035 0.000037

相伴概率P也几乎为0，所以我们拒绝原假设，认为股票价格指数中存在异方差性。

下面使用ARCH模型估计股票价格指数的波动，在图7.3方程说明对话框中输入如下信息：

1.) 在构造均值方程的编辑栏中填入：log(sp) log(sp(-1))；

2.) ARCH和GARCH的阶数都选择1，并选择GARCH（symmetric）项； 3.) ARCH-M项选None；

4.) Variance Regressors编辑栏不填；

点击OK估计模型。ARCH模型是在误差服从条件正态分布的假设下，用极大似然法进行估计的。因为在似然方程中方差呈现出非线性，所以似然方程必须使用迭代算法进行估计。在工作文件下面的状态栏内，可以观察到似然值随着每次迭代而改变。当估计收敛

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第三部分 扩展的单方程分析

时，估计出的统计结果如下：

Dependent Variable: LOG(SP) Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/05/03 Time: 11:18 Sample: 1/02/1998 12/31/2001 Included observations: 1042

Convergence achieved after 17 iterations Variance backcast: ON LOG(SP(-1)) C ARCH(1) GARCH(1) R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood

Coefficient Std. Error 1.000031 4.31E-05 z-Statistic 23212.87 Prob. 0.0000 Variance Equation 1.20E-05

2.27E-06

5.276962 11.44399 33.36459 0.0000 0.0000 0.0000 7.381399 0.201880 -5.762150 -5.743153 1.935914

0.249838 0.021831 0.732119 0.021943 0.994221 Mean dependent var 0.994204 S.D. dependent var 0.015369 Akaike info criterion 0.245190 Schwarz criterion 3006.080 Durbin-Watson stat

ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下半部分，即“方差方程”包括系数，标准误差，z-统计量和方差方程系数的P值。ARCH的参数对应于方程（7.1.7）中的?，GARCH的参数对应于?。在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。

对这个重新估计出来的方程再进行异方差的检验，在滞后阶数对话框中选择1，得到的检验结果为：

ARCH Test: F-statistic Obs*R-squared 0.032613 Probability 0.032675 Probability 0.856724 0.856555 相伴概率P = 0.8567，接收原假设，即股票价格指数中的异方差性通过ARCH模型消除了。

2．估计TARCH模型

估计TARCH模型，要以一般形式指定ARCH模型，但是应该点击ARCH Specification目录下的TARCH(asymmetric)按钮。

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第 7章 条件异方差模型

点击OK以后，得到了例7.3中的TARCH模型的统计结果：

Dependent Variable: LOG(SP) Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/02/03 Time: 15:27 Sample: 1/02/1998 12/31/2001 Included observations: 1042

Convergence achieved after 25 iterations Variance backcast: ON LOG(SP(-1)) C ARCH(1) (RESID<0)*ARCH(1)

GARCH(1) R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Coefficient 0.999985 Std. Error z-Statistic 5.08E-05 19689.60 Prob. 0.0000 Variance Equation 8.19E-06 0.126555 0.149909 0.788729

1.47E-06 5.571094 0.016696 7.580203 0.028257 5.305174 0.017363 45.42694

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7.381399 0.201880 -5.772569 -5.748821 1.935038 0.994218 Mean dependent var 0.994196 S.D. dependent var 0.015380 Akaike info criterion 0.245290 Schwarz criterion 3012.508 Durbin-Watson stat 杠杆效应项(?)在结果中记作RES/SQR[ARCH](1)，显著大于零，说明股票价格的波动具有“杠杆”效应：“利空消息”能比等量的“利好消息”产生更大的波动：当出现“利好消息”时，会对股票价格指数带来一个0.127倍的冲击，而出现“利空消息”时，则会带来一个0.277（0.127+0.150）倍的冲击。

3．估计非对称成分ARCH模型

估计成分ARCH模型选择方程对话框中的Component ARCH选项。本例估计非对称的成分ARCH模型，应选择Asymmetric Component选项，估计的结果为：

Dependent Variable: LOG(SP) Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/06/03 Time: 10:38 Sample: 1/02/1998 12/31/2001 Included observations: 1042

Convergence achieved after 11 iterations Variance backcast: ON

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第三部分 扩展的单方程分析

LOG(SP(-1))

Perm: C Perm: [Q-C]

Perm: [ARCH-GARCH] Tran: [ARCH-Q] Tran: [GARCH-Q] R-squared

Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Prob. 0.0000

Coefficient Std. Error z-Statistic 1.000023

2.25E-05 44348.65

Variance Equation

0.000415 0.000191 2.170972 0.985226 0.008342 118.1069 0.132274 0.030877 4.283840 0.126747 0.042812 2.960563 0.650570 0.069164 9.406141 0.994221 Mean dependent var 0.994187 S.D. dependent var 0.015392 Akaike info criterion 0.245190 Schwarz criterion 3010.224 Durbin-Watson stat 0.0299 0.0000 0.0000 0.0031 0.1981 0.0000 7.381399 0.201880 -5.764346 -5.731100 1.935895 Tran: (RES<0)*[ARCH-Q] 0.050431 0.039183 1.287070

Perm的系数：表示长期方程的系数；Tran：表示暂时方程的系数。其中长期方程的系数为Perm: C非条件方差或长期波动率w；Perm: [Q-C]是长期分量中的持续性的估计?； Perm: [ARCH-GARCH]是系数?。

暂时方程表示短期的变动性，其中暂时方程的系数为Tran: [ARCH-Q]表示方差方程中的?；Tran: (RES)<0*[ARCH]就是非对称项?；Tran : [GARCG-Q] ]表示方差方程中的?。

??0.993，表明长期分量缓慢的收敛于稳态。短本例中长期分量中的持续性的估计为???0.777的控制，它是边际显著的。 ???期的变动性由?4．绘制估计的信息冲击曲线

为了更为具体地分析非对称性的效果，可以画出依赖冲击的信息影响曲线。下面以例7.3中EGARCH模型的方差方程中的波动性?t2相对于反向冲击u来绘制信息影响曲线的方法。

设z?u?为例介绍使用EViews

?，首先在工作文件中估计沪市股票价格指数数据的EGARCH模型，然后通

2过选择Procs/Make GARCH Variance Series产生条件方差序列?，序列名为garch01。通过选择Procs/Make Residual Series生成残差序列resid1，利用Genr计算z?u?：

z?resid1sqr(garch01)

利用EXCEL软件将z按由小到大排列，然后重新建立含有z的非时间序列工作文件SIG，样本期间是1～1041，利用EGARCH模型的系数?和?，通过以下的命令生成序列：

Serieslog(s)?0.304*abs(z)?0.07*z

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第 7章 条件异方差模型

其中s是序列名字。注意到EViews会从对数表达式中自动生成序列s。

最后，选择z和s序列，先双击Open Group，然后双击View/Graph/xy line。图7.4是描述EGARCH模型拟合沪市的股票收盘价格指数数据的信息冲击曲线。

6 5 4 3 2 1

0-5-4-3-2-101234567图7.4 沪市的股票收盘价格指数的信息冲击曲线

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